ดอกเบี้ยทบต้น    เราได้เรียนดอกเบี้ยคงต้นไปแล้ววันนี้เรามารู้จักความหมายของดอกเบี้ยทบต้นกันดีกว่าครับว่าแตกต่างจากดอกเบี้ยดอกเบี้ยคงต้น   สมมติผมไปฝากเงินในธนาคารแห่งหนึ่ง 200 บาท ธนาคารให้ดอกเบี่ยร้อยละ 2 ต่อปี ผ่านไปหนึ่งปีผมก็จะได้ดอกเบี้ยจากเงินฝากนี้จำนวน 4 บาท  แสดงว่าตอนนี้ผมมีเงินรวมในบัญชี 204 บาท ในปีถัดไปในการคำนวณหาดอกเบี้ย 

ถ้าเป็นดอกเบี้ยแบบคงต้นก็จะนำเงินต้นตอนแรกมาคำนวณหาดอกเบี้ยคือนำเงิน 200 บาทมาคำนวณหาดอกเบี้ยต่อ

ถ้าเป็นดอกเบี้ยแบบทบต้นก็จะนำเงินที่เกิดจากการรวมกับดอกเบี้ยก่อนหน้านั้นก็คือ 206 บาทมาคำนวณหาดอกเบี้ยในปีถัดไปต่อ   นี้คือข้อแตกต่างของของดอกเบี้ยแบบคงต้น กับดอกเบี้ยแบบทบต้น

ความหมายของดอกเบี้ยทบต้น

ดอกเบี้ยทบต้น(Compound Interest)  คือ ดอกเบี้ยที่กำหนดให้มีการนำเอาดอกเบี้ยที่เกิดขี้นในแต่ละครั้งที่มีการคิดดอกเบี้ยไปรวมกับเงินต้น  เพื่อนำมาเป็นเงินต้นของงวดถัดไป โดยสามารถคำนวณได้จากสูตร

\[A=P(1+i)^{n}\]

โดยที่ 

\(A\)  แทนเงินรวมทั้งหมด

\(P\) แทนเงินต้น

\(i\)  แทนอัตราดอกเบี้ย

\(n\) แทนจำนวนงวดที่คิดดอกเบี้ยทบต้น

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้นกันครับ

1. สมชายฝากเงินกับธนาคารเป็นเงิน 90000 บาท เป็นเวลา 4 ปี และธนาคารให้ดอกเบี้ยแบบทบต้นต่อปี โดยให้ดอกเบี้ย 1.5% ต่อปี  เมื่อสิ้นปีที่ 4 สมชายจะมีเงินรวมทั้งหมดเท่าไร

วิธีทำ  จากโจทย์จะเห็นว่า  \(P=90000\quad ,n=4\quad i=0.015\)

จากสูตร    \(A=P(1+i)^{n}\)  แทนค่าลงไปจะได้

\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\&=&90000(1+0.015)^{4}\\&=&90000(1.06)\\&=&95400\end{array}

เมื่อสิ้นปีที่ 4 สมชายมีเงินรวม 95400 บาท


2. สมหญิงฝากเงินกับธนาคารแห่งหนี่งให้ดอกเบี้ย 2% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นต่อปี   เมื่อสิ้นปีที่ 3 สมหญิงมีเงินต้นพร้อมดอกเบี้ย 46000 บาท สมหญิงฝากเงินกับธนาคารเท่าไร

วิธีทำ  ข้อนี้โจทย์ถามหาเงินต้นครั้งแรกที่ สมหญิงฝากไว้กับธนาคาร   

จากโจทย์ \(A=46000\quad ,n=3\quad i=0.02\)

แทนค่าลงไปในสูตรจะได้

\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\46000&=&P(1+0.02)^{3}\\46000&=&P(1.06)\\\frac{46000}{1.06}&=&P\\P&=&43396.23\end{array}


3.สมพรฝากเงินไว้กับธนาคารจำนวน ุ60000 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ย 1.8% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 4 เดือน เมื่อสิ้นปีที่ 2 สมพรมีเงินพร้อมดอกเบี้ยทั้งหมดเท่าไร

วิธีทำ  จากโจทย์ \(P=60000\)

เนื่องจากธนาคารให้ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 4 เดือน  ดังนั้น

จะได้ว่าใน  1 ปี ธนาคารจะคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นจำนวน 3 ครั้ง

จะได้ว่าในเวลา 2 ปี ธนาคารจะคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นจำนวน  6 ครั้ง

จะได้ว่า

\(n=6\quad i=\frac{0.018}{3}=0.006\)

จากสูตร \(A=P(1+i)^{n}\)  แทนค่าลงไปจะได้

\begin{array}{lcl}A&=&60000(1+0.006)^{6}\\A&=&60000(1.04)\\A&=&62400\end{array}


4. สมควรกู้เงินจากธนาคารจำนวน 200000 บาท เป็นเวลา  4 ปี ถ้าธนาคารคิดดอกเบี้ย 5% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน เมื่อสิ้นปีที่ 4  สมควรต้องชำระเงินรวมทั้งหมดเท่าไร

วิธีทำ  จากโจทย์จะได้ \(P=200000\)

เนื่องจากธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน  ดังนั้น

ในระยะเวลา 1 ปีมีการคิดดอกเบี้ยทบต้นจำนวน 4 ครั้ง  จะได้ว่า

ในระยะเวลา 4 ปีมีการคิดดอกเบี้ยทบต้นจำวน   16 ครั้ง  

จะได้ \(n=16\quad i=\frac{0.05}{4}=0.0125\)  จากสูตร

\(A=P(1+i)^{n}\)  แทนค่าลงไปจะได้

\begin{array}{lcl}A&=&200000(1+0.0125)^{16}\\A&=&244000\end{array}


5.ประมาณฝากเงินกับธนาคารจำนวน 4000000 บาท ซึ่งธนาคารให้ดอกเบี้ยแบบทบต้นต่อปี เมื่อสิ้น 10 ปี ประมาณมีเงินต้นพร้อมดอกเบี้ยรวม 4880000 บาท ธนาคารแห่งนี้ให้คิดอัตราดอกเบี้ยร้อยละเท่าไรต่อปี

วิธีทำ  จากโจทย์ \(P=4000000\quad ,A=4880000\quad ,n=10\)

แทนค่าลงในสูตร  \(A=P(1+i)^{n}\)  จะได้

\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\4880000&=&4000000(1+i)^{10}\\\frac{4880000}{4000000}&=&(1+i)^{10}\\1.22&=&(1+i)^{10}\\1+i&=&1.02\\i&=&0.02\end{array}

ดังนั้น ประมาณได้ดอกเบี้ย \(0.02\times 100=2\%\)  ต่อปี


6. นายเขียว ฝากเงิน 100,000 บาท กับธนาคารโดยธนาคารให้ดอกเบี้ย 12% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยบทต้นทุก 3 เดือน อยากทราบว่าเมื่อสิ้นปี นายเขียว จะได้เงินต้นพร้อมดอกเบี้ยเป็นเงินรวมเท่าใด

วิธีทำ จากโจทย์ ถามเงินเงินรวมทั้งหมดคือค่า \(A\) นั่นเองครับ

จากให้  \(P=100,000\)

คิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน แสดงว่า 1 ปี คิดดอกเบี้ยทบต้น 4 ครั้ง นั่นคือ \(n=4\)

จึงได้ว่า \(i=\frac{0.12}{4}=0.03\) บาท

แทนค่าลงไปในสูตรเลยครับผม

\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\A&=&100,000(1+0.03)^{4}\\A&=&112,550.88\end{array}


7. สมพรต้องการเก็บเงินเพื่อดาวน์บ้านในอีก 2 ปีข้างหน้าจำนวน 220,000 บาท จึงวางแผนเก็บเงินโดยการฝากเงินกับธนาคารจำนวน 200,000 บาท โดยที่เงินจำนวนนี้ไม่สามารถถอนก่อน 2 ปีได้ และธนาคารจะคิดดอกเบี้ยทบต้นให้ทุกๆ 3 เดือน ในอัตรา 5% ต่อปี เมื่อครบกำหนด 2 ปี สมพรจะได้เงินรวมเพียงพอที่จะดาวน์บ้านหรือไม่

วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ให้หาเงินรวมนั้นเองครับก็คือหาค่า \(A\) จากโจทย์

\(P=200,000\)

ธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน นั่นคือ

ในระยะเวลา 1 ปี คิดดอกเบี้ยทบต้น 4 ครั้ง

ดังนั้นในระยะเวลา 2 ปี จะคิดดอกเบี้ย \(4\times 2=8\) ครั้ง นั่นคือ \(n=8\) นั่นเอง

\(i=\frac{0.05}{4}=0.0125\)  เอาไปแทนในสูตรเลยครับ

\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\A&=&200,000(1+0.0125)^{8}\\A&=&220,897.22\end{array}

ดังนั้นจำนวนเงิน 220,897.22 บาท เพียงพอในการดาวน์บ้านแน่นอนครับ


8. นายแดง ฝากประจำที่ธนาคารแห่งหนึ่งจำนวน 20,000 บาท โดยธนาคารจะคิดดอกเบี้ยให้ร้อยละ 7 ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นให้ทุกๆ เดือน เป็นเวลา 3 ปี  ถามว่า

1) นายแดง จะได้เงินรวมเท่าไร

2) นายแดง ได้ดอกเบี้ยทั้งหมดเป็นจำนเงินเท่าไร

วิธีทำ จากโจทย์ ธนาคารให้ดอกเบี้ยทบต้นทุกๆเดือน ดังนั้น

ในระยะเวลา 1 ปี ธนาคารให้ดอกเบี้ยทบต้นจำนวน 12 ครั้ง

ดังนั้นในระยะเวลา 3 ปีธนาคารให้ดอกเบี้ยทบต้นจำนวน \(12\times 3=36\) ครั้ง นั่นคือ \(n=36\)

\(i=\frac{0.07}{12}\)

แทนค่าลงไปในสูตรเลยครับผม

\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\A&=&20,000(1+\frac{0.07}{12})^{36}\\A&=&24,658.51\end{array}

ดังนั้นในระยะเวลา 3 ปี นายแดงได้เงินรวม 24,658.51 บาท

นั่นคือ ดอกเบี้ยที่นายแดงจะได้คือ \(24,658.51-20,000=4,658.51\) บาท


9.ฝากเงิน 10000 บาทกับธนาคารแห่งหนึ่งที่ให้อัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือน จงหาเงินรวมเมื่อฝากเงินครบ 10 ปี โดยที่ไม่มีการฝากและถอนเงินในระหว่างนี้

วิธีทำ จากโจทย์ \(P=10000\) ธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือนดังนั้น 1 ปี คิดดอกเบี้ยให้ 2 ครั้ง จึงได้ว่า 10 ปี คิดดอกเบี้ยให้ \(10\times 2=20\) ครั้ง(งวด)นั่นคือ \(n=20\) นั่นเอง ต่อไปเนื่องจากธนาคารให้ดอกเบี้ยทบต้นทุก 6 เดือนนั่นคืออัตราดอกเบี้ยต่อครั้งหรืต่องวดเท่ากับ \(i=\frac{0.003}{2}=0.015\) ต้องหาร 2 ดัวยนะครับเพราะคิดดอกเบี้ย 2 ครั้งใน 1 ปี เริ่มหาเงินรวมกันเลย

\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\&=&10000(1+0.015)^{20}\\&\approx&13,468.55\end{array}

ดังนั้นเมื่อครบ 10 ปี จะมีเงินรวมประมาณ 13,468.55 บาท

ข้อนี้ ลองคิดเทียบดูซิว่าถ้าธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดปีละครั้งเท่านั้นผ่านไป 10 จะได้เงินรวมเท่าไร ก็จะได้ \(P=10000,n=10,i=0.03\) เอาไปแทนค่าในสูตรเลย

\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\&=&10000(1+0.03)^{10}\\&\approx&13,439.16\end{array}

ดังนั้น ถ้าให้ดอกเบี้ยปีละครั้งผ่านไป 10 ปี ได้เงินรวม 13,439.16 บาท ต่างกันอยู่ 13,468.55-13,439.16=29.39 บาท ต่างกันไม่เยอะ


10. ฝากเงิน 10000 บาทกับธนาคารแห่งหนึ่ง โดยธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 3 เดือน เมื่อสิ้นปีที่ 3 ธนาคารแจ้งว่ามีเงินอยู่ในบัญชีประมาณ 10,938 บาท จงหาอัตราดอกเบี้ยต่อปีที่ธนาคารกำหนด

วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ให้ \(i\) และจากโจทย์ \(P=10000,\) ธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือนแสดงว่าหนึ่งปีคิดดอกเบี้ย 4 ครั้ง(งวด) นั่นคือ \(n=3\times 4=12\) หนึ่งปีคิดดอกเบี้ย 4 ครั้ง นะครับอย่าลืมตรงนี้ ไปหากันต่อเลย จากสูตร

\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\10,938&=&10000(1+\frac{i}{4})^{12}\\(1+\frac{i}{4})&=&\sqrt[12]{1.0938}\\i&=&4(\sqrt[12]{1.0938}-1)\\i&\approx&0.029998\end{array}

ดังนั้น ธนาคารให้อัตราดอกเบี้ยเงินฝากประมาณ 3% ต่อปี


11. ฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่งจำนวน 5000 บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 1.5 ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน จงหาจำนวนเงินในบัญชี เมื่อฝากเงินครบ 3 ปี

วิธีทำ ฝึกทำโจทย์เรื่อยๆนะคับ ก็โจทย์ก็คล้ายๆของเดิมนี่แหละครับ เปลี่ยนแค่ตัวเลยนิดหนี่งจากโจทย์จะได้ \(P=5000,n=3\times 4=12,i=\frac{0.015}{4}\) แทนค่าลงไปในสูตรเลยจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\&=&5000(1+\frac{0.015}{4})^{12}\\&\approx&5229.70\end{array}

ผ่านไป 3 ปีมีเงินในบัญชีประมาณ 5229.70 บาท


12. ธีระฝากเงินจำนวนหนึ่งไว้กับธนาคารแห่งหนึ่ง เมื่อเวลาผ่านไป 10 ปี พบว่ามีเงินในบัญชี 122,079.42 บาท ถ้าธนาคารคงอัตราดอกเบี้ย 2% ต่อปี และคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 3 เดือน จงหาเงินต้นที่ธีระฝากไว้เมื่อ 10 ปีก่อน

วิธีทำ ข้อนี้เกี่ยวของกับเรื่องมูลค่าของเงิน ซึ่งโจทย์กำหนดมูลค่าเงินในอนาคตให้ และให้หาเงินต้นตอนฝากครั้งแรก จริงๆสูตรเกี่ยวกับมูลค่าของเงิน กับสูตรของดอกเบี่ยทบต้นอันเดียวกันแหละครับ เอาละเริ่มทำกันเลย จากโจทย์ได้ว่า \(A=122,079.42,n=4\times 10=40,\quad i=\frac{0.02}{4}\) เอาไปแทนค่าในสูตรเลยครับผมจะได้

\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\122,079.42&=&P(1+\frac{0.02}{4})^{40}\\P&=&\frac{122.079.42}{(1+\frac{0.02}{4})^{40}}\\P&\approx&100,000\end{array}

ดังนั้นเมื่อ 10 ปีก่อนธีระฝากเงินไว้ประมาณ 10,000 บาท

อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องดอกเบี้ยและมูลค่าของเงินตามลิงค์ด้านล่างครับ

Pin It