วันนี้เราจะมาพูดถึงเรื่องลำดับสักหน่อยครับ เป็นลำดับแบบทั่วๆไปครับ ถ้าพูดถึงลำดับแน่นอนทุกคนจะนีกถึงการเอาตัวเลขมาเขียนเรียงกัน ถูกต้องแล้วครับ ลำดับก็คือการเอาตัวเลขมาเขียนเรียงกันนั่นเองครับ  แต่ถ้าจะพูดให้ถูกต้องตามนิยามตามคณิตศาสตร์ ลำดับคือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก  แต่ไม่ต้องจำหรอกครับ ส่วนใหญ่เวลาเข้าออกข้อสอบเรื่องลำดับ เข้าจะไม่ออกพวกความหมายหรอก เข้าจะออกข้อสอบพวกให้หาพจน์ที่เหลือ  หรือให้หาพจน์ทั่วไปของลำดับที่กำหนดให้ เอาหละพูดมากปากแห้ง เรามาลองทำแบบฝึกหัดเรื่องลำดับกันดีกว่าครับ  ไปกันเลยครับ 

1. จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับต่อไปนี้

1) \(\frac{3}{5},\frac{4}{7},\frac{5}{9},\frac{6}{11},\frac{7}{13},\cdots\)

วิธีทำ การหาคำตอบข้อนี้ ต้องอาศัยวิธีการสังเกตครับ เราไปทำกันเลย จะเห็นว่า

\(a_{1}=\frac{3}{5}=\frac{1+2}{2(1)+3}\)

\(a_{2}=\frac{4}{7}=\frac{2+2}{2(2)+3}\)

\(a_{3}=\frac{5}{9}=\frac{3+2}{2(3)+3}\)

\(a_{4}=\frac{6}{11}=\frac{4+2}{2(4)+3}\)

\(a_{5}=\frac{7}{13}=\frac{5+2}{2(5)+3}\)

\(\vdots\)

\(a_{n}=\frac{n+2}{2n+3}\)

นั่นคือ พจน์ทั่วไปของลำดับข้อนี้คือ \(a_{n}=\frac{n+2}{2n+3}\) ครับ ดังนั้นเรารู้พจน์ทั่วไปแล้ว ถ้าโจทย์ต้องการให้หาพจน์ที่ 50 เราก็หาได้ ก็คือแทนค่า n ด้วย 50  จะได้

\(a_{50}=\frac{50+2}{2(50)+3}=\frac{52}{103}\)

2) \(2,5,10,17,26\cdots\)

วิธีทำ

\(a_{1}=2=1^{1}+1\)

\(a_{2}=4=2^{2}+1\)

\(a_{3}=10=3^{2}+1\)

\(a_{4}=17=4^{2}+1\)

\(a_{5}=26=5^{2}+1\)

\(\cdots\)

\(a_{n}=n^{2}+1\)

นั่นคือ พจน์ทั่วไปของลำดับนี้คือ \(a_{n}=n^{2}+1\)

---

2. จงหา 3 พจน์ถัดไปของลำดับที่กำหนดให้ต่อไปนี้

1) \(8,5,2,\cdots\)

วิธีทำ ถ้าเราสังเกตเราจะเห็นว่า จากพจน์ที่หนึ่งไปหาพจน์ที่สอง มันถูกลบออก 3  ก็คือดูง่ายๆเลย ถูกลบออกที่ละ 3 ครับดังนั้น พจน์ถัดไปคือ

\(a_{4}=2-3=-1\)

\(a_{5}=-1-3=-4\)

\(a_{6}=-4-3=-7\)

นั่นแหละครับ สามพจน์ถัดไปของลำดับนี้ \(8,5,2,\cdots\) คือ \(-1,-4,-7\)

2) \(2,5,10,17,26,\cdots\)

วิธีทำ ต้องสังเกตอีกแล้วครับ จะเห็นได้ว่า

\(2+3=5\)

\(5+5=10\)

\(10+7=17\)

\(17+9=26\)

ซึ่งก็คือ มันจะบวกเพิ่มแบบ \(3,5,7,9,11,13,15,\cdots \)  แบบนี้ไปเรื่อยๆ ดังนั้นพจน์ถัดไปคือ

\(26+11=37\)

\(37+13=50\)

\(50+15=65\) นั่นเองครับ

ดังนั้น 3 พจน์ถัดไปของลำดับนี้คือ \(37,50,65\)

3)\(\sqrt{2},\sqrt{3},2,\sqrt{5},\sqrt{6},\cdots\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ แค่เข้าเอาเครื่องหมายแสควร์รูทมาใส่ ไม่ต้องคิดมากครับ

ซึ่งเราจะเห็นว่าตัวเลขใต้รูทมันเริ่มที่ \(\sqrt{2}\) และตามด้วย\(\sqrt{3}\) แต่มันมีพจน์ที่ 3 ไม่มีรูทก็เพราะว่า \(\sqrt{4}=2\) นั่นเองครับ  ดังนั้น 3 พจน์ถัดไปก็คือ

\(\sqrt{7}\)

\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

\(\sqrt{9}=3\)

นั่นคือสามพจน์ถัดไปคือ \(\sqrt{7},2\sqrt{2},3\)

4) \(0,2,6,12,20,\cdots\)

วิธีทำ ข้อนี้คล้ายๆกับข้อ 2) ครับสังเกตดีๆ มันเพิ่มขึ้นเป็นเลขคู่ ซึ่งก็คือ

\(0+2=2\)

\(2+4=6\)

\(6+6=12\)

\(12+8=20\)

\(20+10=30\)

\(30+12=42\)

\(42+14=56\)

เห็นไหมครับ มันเพิ่มโดยเพิ่มเป็นเลขคู่คือ \(2,4,6,8,10,12,14,\cdots\) ดังนั้น 3 พจน์ถัดไปของลำดับนี้คือ \(30,42,56\)

5) \(-1,-7,-13,-19,\cdots\)

วิธีทำ ข้อนี้สังเกตดีๆ มันจะลดลงเรื่อยๆ นะ โดยลดลงทีละ \(-6\) ซึ่งก็คือ

\(-1-6=-7\)

\(-7-6=-13\)

\(-13-6=-19\)

\(-19-6=-25\)

\(-25-6=-31\)

\(-31-6=-37\)

นั่นคือ 3 พจน์ถัดไปของลำดับนี้คือ \(-25,-31,-37\)

ศึกษาเพิ่มเติมได้ที่คลิปด้านล่าง หรือถ้าต้องการทำแบบทดสอบ ก็ไปทำแบบทดสอบได้ตามลิงค์นี้ครับ แบบทดสอบเรื่องลำดับและพจน์ทั่วไปของลำดับ