การแก้สมการลอการิทึม หรือ การการสมการ log นั้นผมได้ทำการเขียนให้ดูแล้วหลายบทความซึ่งใครที่ต้องการอ่านก็สามารถอ่านได้ตามลิงค์ต่อไปนี้เลย
การแก้สมการลอการิทึม เวอร์ชันวิดีโอ
แบบฝึกหัดเสริมเรื่องการแก้สมการลอการิทึม
ใบงานข้อสอบ Pat 1 เรื่องการหาค่าลอการิทึมและการแก้สมการลอการิทึม
แบบฝึกหัดเสริมเรื่องการแก้สมการลอการิทึม
แจกแบบฝึกหัดเรื่องการหาค่าลอการิทึมและการสมการลอการิทึม
หาอ่านเอาเองตามลิงค์ด้านบนเลยครับ วันนี้ผมจะเพิ่มตัวอย่างลงไปเพื่อให้ทุกคนได้ลองทำโจทย์เพิ่ม มาดูกันเลยครับผม
1. จงหาค่า \(x\) จากสมการต่อไปนี้
1) \(\log_{5}x=3\)
วิธีทำ ข้อนี้เราแค่เปลี่ยนจากสมการลอการิทึมให้เป็นสมการเลขยกกำลังครับไม่มีอะไรยาก
\begin{array}{lcl}\log_{5}x&=&3\\x&=&5^{3}\\x&=&125\end{array}
ต้องตรวจคำตอบด้วยนะครับ คือตัวเลขหลัง log ห้ามติดลบห้ามเป็น 0 ข้อนี้ตัวเลขหลัง log เป็น 125 แสดงว่าใช้ได้ครับ
2) \(\log_{4}x=-\frac{1}{2}\)
วิธีทำ ทำเหมือนข้อหนึ่งครับเปลี่ยนจากสมการ log เป็นสมการเลขยกกำลัง
\begin{array}{lcl}\log_{4}x&=&-\frac{1}{2}\\x&=&4^{-\frac{1}{2}}\\x&=&\frac{1}{4^{1/2}}\\x&=&\frac{1}{\sqrt{4}}\\x&=&\frac{1}{2}\end{array}
ต้องตรวจคำตอบด้วยนะครับ คือตัวเลขหลัง log ห้ามติดลบห้ามเป็น 0 ข้อนี้ตัวเลขหลัง log เป็น \(\frac{1}{2}\) แสดงว่าใช้ได้ครับ
3) \(\log_{3}\left(x-\frac{2}{3}\right)=1\)
วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนสองข้อด้านบนครับผม
\begin{array}{lcl}\log_{3}\left(x-\frac{2}{3}\right)&=&-1\\(x-\frac{2}{3})&=&3^{-1}\\x&=&\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\\x&=&\frac{3}{3}\\x&=&1\end{array}
ตรวจคำตอบนิดหนึ่ง เพราะเราแทน \(x\) ด้วย \(1\) ใน \(x-\frac{2}{3}\) ได้ค่าออกมาคือ \(1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\) ซึ่งตัวเลขหลัง log คือ \(\frac{1}{3}\) ไม่ติดลบไม่เป็น 0 ดังนั้นคำตอบ \(x=1\) ถือว่าใช้ได้ครับ
4) \(\log_{2}(x^{2}+x+2)=3\)
วิธีทำ ทำเหมือนข้อที่ผ่านๆมาเลย เปลี่ยนจากสมการ log เป็นสมการเลขยกกำลัง
\begin{array}{lcl}\log_{2}(x^{2}+x+2)&=&3\\x^{2}+x+2&=&2^{3}\\x^{2}+x+2&=&8\\x^{2}+x+2-8&=&0\\x^{2}+x-6&=&0\\(x+3)(x-2)&=&0\end{array}
ดังนั้น
\(x=-3\) หรือ \(x=2\)
ตรวจสอบคำตอบโดยการเอาค่าของ \(x\) ไปแทนใน \(x^{2}+x+2\) ดูว่ามันจะติดลบหรือเป็น 0 ไหม ถ้าไม่ใช่แสดงว่าคำตอบใช้ได้ครับ
\(x=-3\rightarrow (-3)^{2}+(-3)+2=8\) คำตอบนี้ใช้ได้
\(x=2\rightarrow 2^{2}+2+2=8\) คำตอบนี้ใช้ได้
ดั้งนั้นข้อนี้ตอบ \(x=2,-3\)
5) \(\log_{x}8=3\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมไม่มีอะไรเปลี่ยนครับ คือ เปลี่ยนสมการ log เป็นสมการเลขยกกำลัง
\begin{array}{lcl}\log_{x}8&=&3\\8&=&x^{3}\\x^{3}&=&2^{3}\end{array}
ดังนั้น \(x=2\)
ข้อนี้สังเกตดีๆ \(x\) เป็นฐานของ log ฐานของ log นั้นต้องมากกว่า 0 และห้ามเป็นเลข 1 นะ จำไว้ ดังนั้นข้อนี้ฐานมันเป็น 2 ดังนั้นคำตอบ \(x=2 \) จึงใช้ได้
6) \(log_{x}9\sqrt{3}=\frac{5}{2}\)
วิธีทำ เปลียนจากสมการ log ให้เป็นสมการเลขยกกำลัง
\begin{array}{lcl}\log_{x}9\sqrt{3}&=&\frac{5}{2}\\9\sqrt{3}&=&x^{5/2}\\3^{2}\cdot 3^{1/2}&=&x^{5/2}\\3^{5/2}&=&x^{5/2}\end{array}
ดังนั้น \(x=3\) ข้อนี้ \(x\) เป็นฐานของ log และ \(x=3\) ซึ่งมากกว่า 0 และไม่เท่ากับ 1 ดังนั้นคำตอบนี้ใช้ได้ครับ
7) \(\log_{3}\left(\frac{2}{x+1}\right)=\log_{3}(x+2)\)
วิธีทำ จะเห็นว่าข้อนี้ต่างจากข้อที่ผ่านมา เพราะทั้งสองข้างของสมการต่างก็มี log และเป็น log ฐานเดียวกันด้วยคือ ฐาน 3 ดังนั้นเราสามารถเอา log ออกได้เลยครับ ไม่ผิดครับ
\begin{array}{lcl}\log_{3}\left(\frac{2}{x+1}\right)&=&\log_{3}(x+2)\\\left(\frac{2}{x+1}\right)&=&x+2\\2&=&(x+2)(x+1)\\2&=&x^{2}+3x+2\\x^{2}+3x&=&0\\x(x+3)&=&0\end{array}
ดังนั้น
\(x=0\) หรือ \(x=-3\)
แต่ว่า \(x=-3\) ใช้ไม่ได้นะครับเพราะว่าแทนลงไปในสมการแล้วทำให้หลังตัวเลขหลัง log ติดลบ
นั่นคือต้องตอบ \(x=0\)
8) \(\log_{4}(3-x)=\log_{2}(2x)\)
วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่าเป็น log คนละฐานนะคับ คือเป็น log ฐาน 4 และ log ฐาน 2 ผมจะใช้วิธีทำฐานให้เท่ากันก่อนแล้วค่อยตัด log ทิ้งครับ
\begin{array}{lcl}\log_{4}(3-x)&=&\log_{2}(2x)\\\log_{2^{2}}(3-x)&=&\log_{2}(2x)\\\frac{1}{2}\log_{2}(3-x)&=&\log_{2}(2x)\\\log_{2}(3-x)^{1/2}&=&\log_{2}(2x)\\(3-x)^{\frac{1}{2}}&=&2x\\(3-x)^{\frac{1}{2}\times 2}&=&(2x)^{2}\\(3-x)&=&4x^{2}\\0&=&4x^{2}+x-3\\0&=&(4x-3)(x+1)\end{array}
ดังนั้น \(x=\frac{3}{4}\) หรือ \(x=-1\)
แต่ \(x=-1\) ใช้ไม่ได้นะครับเพราะทำให้ log เป็นเลขติดลบ
9) \(\log_{3}(x^{2}+8)=\log_{3}x+\log_{3}6\)
วิธีทำ ข้อนี้สังเกตว่าเป็น log ฐาน 3 เหมือนกันทั้งสองข้างของสมการ แต่ทางฝั่งขวาของสมการเป็น log บวก ต้องทำให้เป็น log คูณ อย่าลืมนะสมบัติของลอการิทึม ต้องแม่นไม่อย่างนั้นจะแก้สมการ log ไม่ได้เริ่มทำกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}\log_{3}(x^{2}+8)&=&\log_{3}x+log_{3}6\\\log_{3}(x^{2}+8)&=&\log_{3}(6x)\\x^{2}+8&=&6x\\x^{2}-6x+8&=&0\\(x-4)(x-2)&=&0\end{array}
ดังนั้น \(x=4\) หรือ \(x=2\)
คำตอบใช้ได้ทั้งสองค่าครับผม เพราะไม่ทำให้หลัง log ติดลบครับ นั่นคือ \(x=4,2\)
10) \(log_{4}(log_{3}x)=1\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องมองภาพให้ออกแล้วจะง่าย ผมจะให้ \(\log_{3}x=A\) ดังนั้นเราจะได้ ดังนี้นะ
\begin{array}{lcl}\log_{4}(\log_{3}x)&=&1\\\log_{4}A&=&1\\A&=&4^{1}\\\log_{3}x&=&4^{1}\\x&=&3^{4}\\x&=&81\end{array}
คำตอบใช้ได้เพราะไม่ทำให้หลัง log ติดลบแน่นอนครับนั่นคือ \(x=81\)
11) \(\log_{2}[\log_{3}\log_{4}(x+1)]=0\)
วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนข้อข้างบนครับ แต่ต้องทำหลายครั้งหน่อยครับ ไปดูวิธีการทำกันเลยครับ
ผมจะให้ \(\log_{3}\log_{4}(x+1)=A\) ก่อนจะได้
\begin{array}{lcl}\log_{2}A&=&0\\A&=&2^{0}\\A&=&1\end{array}
เมื่อแทนค่ากลับจะได้
\begin{array}{lcl}A&=&1\\\log_{3}\log_{4}(x+1)&=&1\end{array}
ต่อไป ผมจะให้ \(\log_{4}(x+1)=B\) จะได้
\begin{array}{lcl}\log_{3}\log_{4}(x+1)&=&1\\\log_{3}B&=&1\\B&=&3^{1}\\B&=&3\end{array}
แทนค่ากลับจะได้
\begin{array}{lcl}B&=&3\\\log_{4}(x+1)&=&3\\(x+1)&=&4^{3}\\x+1&=&64\\x&=&63\end{array}
ข้อนี้คำตอบใช้ได้ครับไม่ทำให้หลัง log ติดลบ นั่นคือ \(x=63\)
12) \(\log_{2}(x+1)-\log_{2}(x-1)=1\)
วิธีทำ ข้อนี้สมบัติของลอการิทึมครับ log ลบ เท่ากับ log หารใครจำสมบัติlog ไม่ได้ให้ไปดูที่ลิงค์นี้สมบัติของลอการิทึมครับเริ่มทำกันต่อเลย
\begin{array}{lcl}\log_{2}(x+1)-\log_{2}(x-1)&=&1\\\log_{2}(\frac{x+1}{x-1})&=&1\\\frac{x+1}{x-1}&=&2^{1}\\x+1&=&2(x-1)\\x+1&=&2x-2\\0&=&x-3\\x&=&3\end{array}
ข้อนี้ตอบ \(x=3\)
13) \((\log_{2}x)^{2}+\log_{2}x^{3}=4\)
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าอยากให้ง่ายต้องใช้วิธีการแทนค่าด้วยตัวแปรครับ ซึ่งจะสังเกตเห็นว่ามันมี \(\log_{2}x\)อยู่สองพจน์ ดังนั้นเราควรให้ \(log_{2}x=A\) ครับเริ่มทำต่อเลย
\begin{array}{lcl}(\log_{2}x)^{2}+log_{2}x^{3}&=&4\\(\log_{2}x)^{2}+3\log_{2}x&=&4\\A^{2}+3A&=&4\\A^{2}+3A-4&=&0\\(A+4)(A-1)&=&0\end{array}
ดังนั้นเราจึงได้ว่า
\(A=-4\) หรือ \(A=1\)
ต่อแทนค่ากลับครับ
\begin{array}{lcl}A&=&-4\\\log_{2}x&=&-4\\x&=&2^{-4}\\x&=&\frac{1}{16}\end{array}
อีกอันคือ
\begin{array}{lcl}A&=&1\\\log_{2}x&=&1\\x&=&2^{1}\\x&=&2\end{array}
ข้อนี้คำตอบใช้ได้ทั้งสองตัวครับ นั่นคือ \(x=2,\frac{1}{16}\)
14) \(\log_{2}\left(x^{\log_{2}x}\right)=1\)
วิธีทำ ข้อนี้ใช้สมบัติ log นิดหนึ่งก็ทำได้แล้วครับ ทำต่อเลย
\begin{array}{lcl}\log_{2}\left(x^{\log_{2}x}\right)=1\\(\log_{2}x)(\log_{2}x)&=&1\end{array}
ต่อไปเพื่อความง่ายผมให้ \(\log_{2}x=A\) จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}(\log_{2}x)(\log_{2}x)&=&1\\A\cdot A&=&1\\A^{2}&=&1\\A&=&\pm 1\end{array}
ดังนั้นเราจึงได้ว่า \(A=1\) และ \(A=-1\) ต่อไปแทนค่ากลับเพื่อหาคำตอบจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}A&=&1\\\log_{2}x&=&1\\x&=&2^{1}\\x&=&2\end{array}
อีกอัน
\begin{array}{lcl}A&=&-1\\\log_{2}x&=&-1\\x&=&2^{-1}\\x&=&\frac{1}{2}\end{array}
คำตอบใช้ได้ทั้งสองอันครับดังนั้น \(x=2,\frac{1}{2}\)
15) \(x^{\log_{3}x}=81\)
วิธีทำ ข้อนี้ดูวิธีการทำผมดีๆนะครับ ผมจะ take log ฐาน 3 ลงไปทั้งสองข้างของสมการครับ
\begin{array}{lcl}x^{\log_{3}x}&=&81\\\log_{3}x^{\log_{3}x}&=&\log_{3}81\\\log_{3}x\cdot \log_{3}x&=&\log_{3}3^{4}\\(\log_{3}x)^{2}&=&4\end{array}
ต่อไปผมความง่ายผมจะให้ \(\log_{3}x=A\) จึงได้ต่อไปว่า
\begin{array}{lcl}(\log_{x}x)^{2}&=&4\\A^{2}&=&4\\A&=&\pm 2\end{array}
นั่นคือ \(A=2\) และ \(A=-2\)
กรณี \(A=2\) จะได้
\begin{array}{lcl}A&=&2\\\log_{3}x&=&2\\x&=&3^{2}\\x&=&9\end{array}
กรณี \(A=-2\) จะได้
\begin{array}{lcl}A&=&-2\\\log_{3}x&=&-2\\x&=&3^{-2}\\x&=&\frac{1}{9}\end{array}
16) \(\log_{3}x+\log_{x}3=\frac{10}{3}\)
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเราสังเกตจะเห็นว่ามัมมี \(log_{3}x\) และ \(log_{x}3\) ดังนั้นถ้าผมให้
\(log_{3}x=A\) เราจึงได้ว่า \(log_{x}3=\frac{1}{A}\) เริ่มทำต่อกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}\log_{3}x+\log_{x}3&=&\frac{10}{3}\\A+\frac{1}{A}&=&\frac{10}{3}\\A^{2}+1&=&\frac{10A}{3}\\3A^{2}+3&=&10A\\3A^{2}-10A+3&=&0\\(3A-1)(A-3)&=&10\end{array}
ดังนั้น \(A=\frac{1}{3}\) หรือ \(A=3\)
กรณี \(A=\frac{1}{3}\) จะได้
\begin{array}{lcl}A&=&\frac{1}{3}\\log_{3}x&=&\frac{1}{3}\\x&=&3^{1/3}\\x&=&\sqrt[3]{3}\end{array}
กรณี \(A=3\) จะได้
\begin{array}{lcl}A&=&3\\log_{3}x&=&3\\x&=&3^{3}\\x&=&27\end{array}
คำตอบทั้งสองทั้งสอง ใช้ได้ทั้งคู่ครับ เพราะเมื่อแทนลงไปในโจทย์แล้วไม่ทำให้หลัง log ติดลบหรือเท่ากับศูนย์ และ ก็ไม่ทำให้ฐานของ log ติดลบ และไม่เท่ากับหนึ่ง
หลังการดูคำตอบว่าใช้ได้ไหม
1 เมื่อเอาคำตอบที่ได้ไปแทนในตัวแปรแล้ว หลัก log ต้องไม่ติดลบ ไม่เป็นศูนย์ ต้องเป็นเลขบวกเท่านั้น
2 เมื่อเอาคำตอบที่ได้ไปแทนในตัวแปรที่ฐานของ log ฐานของ log นั้น ต้อง มากว่า 0 และต้องไม่เป็น 1 ก็คือห้ามเป็นเลขติดลบ หรือห้ามเป็นเลข 1
เอาไปดูทั้งหมด 16 ข้อ ก็แน่จะทำข้อสอบได้แล้วครับ ต้องพยายามอ่านทำความเข้าใจนะครับ มีปัญหาตรงไหนก็สอบถามได้ที่เว็บบอร์ดในเว็บครับ