ในการวัดระยะทางที่การวัดแบบว่า วัดได้ยาก เข้าไปวัดแบบโดยตรงไม่ได้ เช่นการวัดความสูงของตึก การวัดระยะระหว่างสถานที่สองแห่งที่มีเนินเขากั้นกลาง ปัญหาการวัดระยะนี้ อาจนำความรู้เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ความรู้เรื่องมุมก้ม (angle of depression) และ มุมเงย (angle of elevation) กฎของไซน์และโคไซน์มาช่วยหาได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 ต้องการขึงเชือกจากจุด \(A\) กับยอดเสาธง ซึ่งจุด \(A\) ทำมุม \(45^{\circ}\) กับยอดเสาธง และจุด \(A\) อยู่ห่างจากโคนเสาธง \(10\) เมตร ถามว่าจะต้องใช้เชือกยาวกี่เมตรจึงจะขึงเชือกยอดเสาธงถึงจุด \(A\) ได้
วิธีทำ กำหนดให้ \(AB\) คือความยาวของเชือกที่ขึงระหว่างจุด \(A\) และยอดเสาธง ข้อนี้ใช้ความรู้เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติในการหาคำตอบครับ จากรูปจะได้ว่า
\(\cos 45^{\circ}=\frac{AC}{AB}\) เราต้องการหาความยาวของ \(AB\) เริ่มหากันเลยครับผม
\begin{array}{lcl}\cos 45^{\circ}&=&\frac{AC}{AB}\\AB&=&\frac{AC}{\cos 45^{\circ}}\\AB&=&\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\AB&=&10\times \frac{2}{\sqrt{2}}\\AB&=&\frac{20}{\sqrt{2}}\\AB&=&\frac{20}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\AB&=&10\sqrt{2}\end{array}
เนื่องจาก \(\sqrt{2}\approx 1.414\) ดังนั้น
\(AB=10\sqrt{2}=10\times 1.414=14.14\)
ดังนั้นต้องใช้เชือกในการขึงยาวประเมาณ 14.14 เมตร
ตัวอย่างที่ 2 เนตรยืนอยู่บนสนามแห่งหนึ่งมองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 15 องศา แต่เมื่อเดินตรงเข้าไปหาเสาธงอีก 60 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเป็ฯมุมเงย 75 องศา ถ้าเนตรสูง 150 เซนติเมตร จงหาความสูงของเสาธง
วิธีทำ ให้ CD เป็นความสูงของเสาธงที่อยู่เหนือระดับสายตา
จุด A เป็นจุดที่เนตรมองเห็นยอดเสาธงในครั้งแรก
จุด B เป็นจุดที่เนตรมองยอดเสาธงในครั้งหลัง และระยะทาง AB เท่ากับ 60 เมตร
เนื่องจาก \(C\hat{A}D=15^{\circ}\) และ \(C\hat{B}D=75^{\circ}\)
จะได้ \(A\hat{D}B=60^{\circ}\)
ในรูป \(\triangle{ABD}\) จากกฎของไซน์ จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{sin 15^{\circ}}{BD}&=&\frac{sin 60^{\circ}}{AB}\\BD&=&\frac{ABsin 15^{\circ}}{sin 60^{\circ}}\end{array}
ใน \(\triangle{BCD}\) จะได้
\begin{array}{lcl}CD&=&BD sin 75^{\circ}\\&=&(\frac{AB sin 15^{\circ}}{sin 60^{\circ}})sin 75^{\circ}\\&=&60\times \frac{2}{\sqrt{3}}sin 15^{\circ}sin 75^{\circ}\\&=&\frac{60}{\sqrt{3}}\times 2 sin 15^{\circ} cos 15^{\circ}\\&=&\frac{60\sqrt{3}}{3} sin 2(15^{\circ})\\&=&20\sqrt{3} sin 30^{\circ}\\&=&20\sqrt{3}\times \frac{1}{2}\\&=&10\sqrt{3}\\&\approx&17.32\end{array}
นั่นคือ เสาธงมีความสูงเหนือระดับสายตายเนตรเท่ากับ 17.32 เมตร
นั่นคือ เสาธงนี้มีความสูงจริงๆเท่ากับ \(17.32+1.50=18.82 \) เมตร
ตัวอย่างที่ 3 จากหน้าผาซึ่งสูง 200 เมตร เหนือระดับน้ำทะเล ผู้สังเกตการณ์คนหนึ่งมองเห็นเรือสองลำทอดสมออยู่ในทะเลเป็นมุมก้ม 40 องศา และ 60 องศา ตามลำดับ เส้นระดับสายตาเส้นเดียวกัน อยากทราบว่าเรือทั้งสองลำนั้นอยู่ห่างกันเท่าใด
วิธีทำ
ให้ CD เป็นหน้าผาสูง 200 เมตร
A และ B เป็นเรือสองลำ ให้เรือทั้งสองห่างกัน \(x\) เมตร โดยใช้ความรู้เรื่องเส้นขนาน จะได้ว่า
\(D\hat{A}C=40^{\circ}\) และ \(D\hat{B}C=60^{\circ}\)
ฉะนั้น \(A\hat{D}B=60^{\circ}-40^{\circ}=20^{\circ}\)
ใน \(\triangle{BCD}\) เราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl} sin C\hat{B}D&=&\frac{CD}{BD}\\sin 60^{\circ}&=&\frac{200}{BD}\\\frac{\sqrt{3}}{2}&=&\frac{200}{BD}\\BD&=&\frac{200}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\BD&=&\frac{400\sqrt{3}}{3}\end{array}
ทำต่ออีก ใน \(\triangle{ADB}\) เราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{sin A\hat{D}B}{x}&=&\frac{sin B\hat{A}D}{BD}\\\frac{sin 20^{\circ}}{x}&=&\frac{sin 40^{\circ}}{BD}\\x&=&\frac{BDsin 20^{\circ}}{sin 40^{\circ}}\\x&=&\frac{400\sqrt{3}}{3}\times \frac{sin 20^{\circ}}{2sin 20^{\circ}cos 20^{\circ}}\\x&=&\frac{400\sqrt{3}}{3}\times \frac{1}{2 cos 20^{\circ}}\\x&\approx&122.88\end{array}
นั่นคือ เรือสองลำหางกันประมาณ 122.88 เมตร
ลองทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมครับผม
1. พิเชษฐ์ยืนอยูห่างจากตึกหลังหนึ่ง 18 เมตร มองเห็นยอดตึกและยอดเสาอากาศซึ่งอยู่บนยอดตึกเป็นมุมเงย \(30^{\circ}\) และ \(60^{\circ}\) ตามลำดับ จงหาความสูงของเสาอากาศ
วิธีทำ จากรูปกำหนดให้ \(BC\) เป็นความสูงของตึก
\(CD\) เป็นความสูงของเสาอากาศ
\(A\) เป็นจุดที่พิเชษฐ์มองยอดตึกและยอดเสาอากาศ
มุมเงย \(BAC=30^{\circ}\) และมุมเงย \(BAD=60^{\circ}\)
จะเห็นว่าใน \(\triangle{ABD}\) จะได้
\begin{array}{lcl}BD&=&AB\tan 60^{\circ}\\&=&18\sqrt{3}\end{array}
ใน \(\triangle{ABC}\) จะได้
\begin{array}{lcl}BC&=&AB\tan 30^{\circ}\\&=&\frac{18}{\sqrt{3}}\\&=&6\sqrt{3}\end{array}
ดังนั้นจากรูปจะได้ว่า \(DC=18\sqrt{3}-6\sqrt{3}=12\sqrt{3}\)
2. เรือสองลำทอดสมออยู่ห่างกัน 60 เมตร และอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันกับประภาคาร ทหารในเรือแต่ละลำมองเห็นยอดประภาคารเป็นมุมเงย \(45^{\circ}\) และ \(30^{\circ}\) จงหาว่าเรือลำที่อยู่ใกล้ประภาคารอยู่ห่างจากประภาคารเท่าไร
วิธีทำ จากรูป กำหนดให้ \(AB\) เป็นประภาคารหลังนี้
ให้ \(C\) และ \(D\) เป็นตำแหน่งที่เรือสองลำจอดอยู่ห่างกัน \(60\) เมตร
มุมเงย \(ACB=45^{\circ}\) และมุมเงย \(ADB=30^{\circ}\)
พิจารณา \(\triangle{ABC}\) จะได้
\begin{array}{lcl}BC&=&\frac{AB}{\tan 45^{\circ}}\\BC&=&AB\end{array}
พิจารณา \(\triangle{ABD}\) จะได้
\begin{array}{lcl}BD&=&\frac{AB}{\tan 30^{\circ}}=\sqrt{3} AB\end{array}
จากรูปจะเห็นว่า \(BD-BC=CD\)
นั่นคือ \(\sqrt{3}AB-AB=60\)
เนื่อง \(\sqrt{3}\approx 1.732\)
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}1.732AB-AB&=&60\\0.732AB&=&60\\AB&=&\frac{60}{0.732}\\AB&\approx&81.97\end{array}
อย่าลืมนะ \(AB=BC\) นั่นคือเรือลำที่อยู่ใกล้ประภาคารอยู่ห่างจากประภาคาร \(81.97\) เมตร
3. \(A\) และ \(B\) เป็นจุดสองจุดที่อยู่ตรงข้ามกันของบึงแห่งหนึ่ง \(C\) เป็นจุดๆหนึ่งบนพื้นราบเดียวกัน ถ้าระยะ \(CA\) และ \(CB\) เท่ากับ \(3.2\) และ \(2.4\) กิโลเมตร ตามลำดับ และวัดมุม \(ACB\) ได้ \(75^{\circ}\) จงหาความกว้างของบึงตามแนว \(AB\)
วิธีทำ ข้อนี้ใช้กฎของโคไซน์ ได้เลยครับ จากรูปถ้าใช้กฎของโคไซน์จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}AB^{2}&=&AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC \cos 75^{\circ}\\&=&(3.2)^{2}+(2.4)^{2}-2\times 3.2\times 2.4\times 0.2588\\&=&10.24+5.76-3.98\\AB&\approx&3.47\end{array}
นั่นคือ บึงกว้าง \(3.47\) กิโลเมตร
4.กำหนดให้ \(ABC\) เป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมี \(A\hat{C}B=60^{\circ}\) ลากเส้นตรงจากจุด \(A\) ไปพบด้าน \(BC\) ที่จุด \(D\) โดยทำให้ \(B\hat{A}D=30^{\circ}\) ถ้าระยะ \(BD\) ยาว \(3\) หน่วย และระยะ \(AD\) ยาว \(2\) หน่วย แล้ว ระยะ \(CD\) ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
- \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
- \(\frac{7\sqrt{6}}{9}\)
- \(\frac{8\sqrt{6}}{9}\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดรูปครับเพื่อให้เห็นภาพชัดเจน สิ่งที่โจทย์ให้หาคือความยาวของ \(CD\) ผมกำหนดให้ยาว \(CD\) ยาว \(m\) แสดงว่าเรากำลังหาความยาวของ \(m\) นั่นเองคับ
ข้อนี้ต้องความรู้เรื่องของ กฎของไซน์ หรือ กฎของโคไซน์ แต่ผมขอใช้กฎของไซน์นะคับน่าจะง่ายกว่า
สนับสนุนเว็บไซต์