พิสูจน์ Heron's formula ที่กล่าวว่า พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) เมื่อ \(a,b\) และ \(c\) หน่วย เป็นความยาวของด้าน ของรูปสามเหลี่ยม และ \(s=\frac{a+b+c}{2}\)

วิธีทำ   จากรูปเราจะเห็นว่า พื้นที่รูปสามเหลี่ยม \(\triangle{ABC}=\frac{1}{2}\times c\times b\sin A\)  และ \(\sin A=\sqrt{1-\cos^{2}A}\) เริ่มพิสูจน์เลยครับ

\begin{array}{lcl}area \triangle{ABC}&=&\frac{1}{2}\times c\times b\sin A\\&=&\frac{1}{2}cb \sqrt{1-\cos^{2}A}\\&=&\frac{1}{2}cb\sqrt{1-(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc})^{2}}\\&=&\frac{1}{2}cb\sqrt{\frac{(2bc)^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}}{(2bc)^{2}}}\\&=&\frac{1}{2}\cdot \frac{bc}{2bc}\sqrt{(2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2})(2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2})}\\&=&\frac{1}{4}\sqrt{[a^{2}-(b^{2}-2bc+c^{2})][(b^{2}+2bc+c^{2})-a^{2}]}\\&=&\frac{1}{4}\sqrt{[a^{2}-(b-c)^{2}][(b+c)^{2}-a^{2}]}\\&=&\frac{1}{4}\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}\\&=&\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-b)(\frac{a+b+c}{2}-c)}\end{array}

จากที่กำหนดให้ \(s=\frac{a+b+c}{2}\) ดังนั้นเราจะได้ว่า

พื้นที่รูปสามเหลี่ยม \(ABC=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) ตารางหน่วย

Pin It