สำหรับเรื่องการจัดหมู่(Combination) เป็นเรื่องที่จะได้เรียนตอน ม.ปลาย บางโรงเรียนก็เรียนตอน ม.5 บางโรงเรียนก็เรียนตอน ม.6 อันนี้ก็แล้วแต่การจัดหลักสูตรแต่ละโรงเรียน สำหรับเรื่องนี้เป็นเรื่องที่เกี่ยงข้องกับเรื่องของความน่าจะเป็น ดังนั้นถ้าได้เรื่องนี้ก็จะได้เรื่องของความน่าจะเป็นด้วย การจัดหมู่ แปลความหมายเป็นภาษาบ้านๆ ก็คือ การนำสิ่งของที่เรามีอยู่มาจัดกลุ่ม ว่าจะได้ทั้งหมดกี่กลุ่ม เช่น เรามีคนสามคนคือ A ,B,C นำมาจัดกลุ่มกลุ่มละ 2 คน ก็จะได้กลุ่มที่เป็นไปได้ทั้งหมดดังนี้คิอ AB ,AC, BC ซึ่งแตกต่างกับเรื่องของการ การเรียงสับเปลี่ยน ถ้าเราเข้าใจคอนเซปต์ตรงนี้แล้วก็จะทำให้เราเรียนเข้าใจง่ายขึ้น
สูตรในการหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดหมู่ที่เรารู้จักกันคือ
\[C_{n,r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\]
หรืออาจจะใช้แทนด้วยสัญลักษณ์นี้ก็ได้
\[\binom{n}{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\]
ตัวอย่างที่เราเห็นกันและสามารถนำการจัดหมู่ไปช่วยในการคิดคำนวณได้ เช่น ในการแข่งขันฟุตบอลพรีเมียร์ลีกของอังกฤษ ซึ่งมีทั้งหมด 20 ทีม ถ้าจัดการแข่งขันแบบทุกทีมเจอกันหมด ก็จะมีการแข่งขันทั้งหมด 190 นัด ซึ่งคำนวนได้จาก
\begin{array}{lcl}\binom{20}{2}&=&\frac{20!}{(20-2)!2!}\\&=&\frac{20!}{18!2!}\\&=&\frac{20\times 19}{2}\\&=&190\end{array}
แต่ในการแข่งขันมีการสลับกัน เป็นทีมเหย้า ทีมเยือนด้วย ดังนั้นใน 1 ฤดูกาลจะมีการแข่งขันทั้งหมด \(190\times 2=380\) นัดนั่นเองคับ
นี่คือตัวอย่างการนำความรู้การจัดหมู่ ไปใช้ในการคำนวณคับ
มาดูเฉลยเพิ่มเติมเกี่ยวกับการจัดหมู่กันเลยคับผม
1. มีหนังสือต่างกันอยู่ 10 เล่ม นาย ก ต้องการยืมไปอ่าน 3 เล่ม นาย ก สามารถเลือกยืมได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ การยืมหนังสือ 3 เล่ม จาก 10 เล่ม คือการเลือกสิ่งของ 3 สิ่ง จากสิ่งของ 10 สิ่ง ดังนั้น จำนวนวิธีการเลือกที่จะทำได้คือ \(C_{10,3}\)
\begin{array}{lcl}C_{10,3}&=&\frac{10!}{(10-3)!3!}\\&=&\frac{10!}{7!3!}\\&=&120\end{array}
นาย ก สามารถเลือกยืมได้ทั้งหมด 120 วิธี
2. จงหาจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่สร้างได้จากการลากเส้นเชื่อมจุดยอด 6 จุดของรูป 6 เหลี่ยม
วิธีทำ รูปหกเหลี่ยมก็จะมีจุด เชื่อมต่อกันทั้งหมด 6 จุด เลือกมา 3 จุดเพื่อสร้างเป็นรูปสามเหลี่ยม ก็จะได้สามเหลี่ยมที่แตกต่างกันทั้งหมด \(\binom{6}{3}\) รูป ก็คือ
\begin{array}{lcl}\binom{6}{3}&=&\frac{6!}{(6-3)!3!}\\&=&\frac{6!}{3!3!}\\&=&20\end{array}
ดังนั้น สามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมจากจุด 6 จุดในรูปหกเหลี่ยมได้ทั้งหมด 20 รูป
3. จงหาจำนวนเส้นทแยงมุมของรูป 20 เหลี่ยมด้านเท่า
วิธีทำ ให้จินตนาการถึงรูป 20 เหลี่ยม ซึ่งจะมีจุดเชื่อมต่อกัน 20 จุด เราต้องการสร้างเส้นทแยงมุมจากรูป 20 เหลี่ยมนี้ แสดงว่าเราต้องเลือกจุด 2 จุดมาแล้วลากเส้นแทยงมาต่อกันใช่ไหมคับ ดังนั้นจำนวนวิธีในการเลือกจุดมา 2 จุดก็คือจำนวนเส้นทแยงมุมที่เกิดขึ้นนั่นเองคับ แต่ยังต้องลบออกด้วย 20 เส้นนะคับ เพราะ 20 เส้นที่ว่านี้มันไม่ใช่เส้นทแยงมุม แต่เป็นเส้นที่เชื่อต่อกันเพื่อให้ได้รูป 20 เหลี่ยมนั่นเอง เริ่มทำเลย
\begin{array}{lcl}\binom{20}{2}&=&\frac{20!}{(20-2)!2!}\\&=&\frac{20!}{18!2!}\\&=&190\end{array}
ต้องเอา 190 ไปลบออกด้วย 20 เพราะว่า 20 เส้นที่ว่านี้ไม่ใช่เส้นทแยงมุม แต่คือเส้นเชื่อมต่อกันที่ทำให้เกิดรูป 20 เหลี่ยม
นั่นคือเส้นทแยงมุม จะมีได้ทั้งหมด 190-20=170 เส้น นั่นเองคับ
4. จะเลือกนักเรียน 4 คน จากนักเรียน 17 คน ไปตอบแข่งขันปัญหาคณิตศาสตร์ได้กี่วิธี
วิธีทำ มีนักเรียนทั้งหมด 17 คน เลือกนักเรียน 4 คน ไปตอบปัญหาแข่งขันจะเลือกได้ทั้งหมด \(\binom{17}{4}\) วิธี
จะได้
\begin{array}{lcl}\binom{17}{4}&=&\frac{17!}{13!4!}\\&=&\frac{17\times 16\times 15\times 14\times 13!}{13!\times 4\times 3\times 2}\\&=&17\times 4\times 5\times 7\\&=& 2380\end{array}
จะได้จำนวนวิธีเลือกทั้งหมด 2380 วิธี
5.มีหนังสืออยู่ 12 เล่ม ต้องการแบ่งให้นาย ก และ นาย ข โดยที่คนหนึ่งจะได้ 9 เล่ม อีกคนหนึ่งจะได้ 3 เล่ม จะมีวิธีแบ่งหนังสือดังกล่าวได้กี่วิธี
วิธีทำ การคิดข้อนี้ ต้องแบ่งกรณีคิดเป็น 2 กรณีคือ
1. ถ้านาย ก ได้ 9 เล่ม นาย ข จะได้ 3 เล่ม
2. ถ้านาย ข ได้ 9 เล่ม นาย ข จะได้ 3 เล่ม
มาดูกรณี 1 ถ้านาย ก ได้ 9 เล่ม นาย ข จะได้ 3 เล่ม
ขั้นตอนที่ 1 จำนวนวิธีแบ่งหนังสือให้ นาย ก จำนวน 9 เล่มจากหนังสือทั้งหมด 12 คือ
\begin{array}{lcl}\binom{12}{9}&=&\frac{12!}{3!9!}\\&=&\frac{12\times 11\times 10\times 9!}{9!\times 3\times 2}\\&=&220\end{array}
ขั้นตอนที่ 2 จำนวนวิธีแบ่งหนังสือให้ นาย ข จากหนังสือที่เหลือ 3 เล่ม คือ
\begin{array}{lcl}\binom{3}{3}&=&1\end{array}
ดังนั้นในกรณี 1 ทำได้ทั้งหมด \(220\times 1=220\) วิธี
กรณี 2 ถ้านาย ข ได้ 9 เล่ม นาย ก จะได้ 3 เล่ม คำตอบจะได้เท่ากับ กรณี 1 ถูกไหม ลองคิดดู
นั่นก็คือ รวมวิธีแบ่งหนังสือให้นาย ก และ นาย ข เท่ากับ 220+220=440 วิธี
6.กำหนดให้พยัญชนะ 8 ตัวต่างๆกัน สระ 4 ตัวต่างๆกัน ถ้าเราต้องการสร้างคำ ซึ่งประกอบด้วยตัวอักษร 5 ตัว จะทำได้กี่วิธี โดยมีเงื่อนไขว่า ในแต่ละคำต้องประกอบด้วยพยํญชนะ 3 ตัว และสระ 2 ตัว โดยไม่จำเป็นต้องมีความหมาย
วิธีทำ แน่นอนวิธีการคือเราต้องไปเลือกพยัญชนะมาก่อน 3 ตัวจากทั้งหมด 8 ตัว
และก็ไปเลือก สระมาอีก 2 ตัวจากทั้งหมด 4 ตัว
ขั้นตอน 1 จำนวนวิธีในการเลือกพยัญชนะ 3 ตัว จากพยัญชนะทั้งหมด 8 ตัวคือ
\begin{array}{lcl}\binom{8}{3}&=&\frac{8!}{5!3!}\\&=&\frac{8\times 7\times 6\times 5!}{5!\times 3\times 2}\\&=&56\end{array}
ขั้นตอน 2 จำนวนวิธีในการเลือกสระ 2 ตัว จากสระทั้งหมด 4 ตัวคือ
\begin{array}{lcl}\binom{4}{2}&=&\frac{4!}{2!2!}\\&=&\frac{4\times 3\times 2!}{2!\times 2}\\&=&6\end{array}
ดังนั้นจำนวนวิธีในการสร้างคำที่ประกอบด้วยตัวอักษร 5 ตัวสร้างได้ทั้งหมด \(56\times 6=336\) วิธี
ตอนนี้สิ่งที่เราได้คือ ตัวอักษร 5 ตัวซึ่งประกอบไปด้วยพยัญชนะ 3 ตัวและสระ 2 ตัว จำนวน 336 ก้อน เราก็เอาเจ้า 336 ก้อนนี้มาเรียงสับเปลี่ยนกันเพื่อให้เกิดคำต่างๆ ซึ่ง 1 ก้อน เช่น ABCIE ก็จะเรียงสับเปลี่ยนให้ได้คำต่างๆโดยไม่สนใจความหมายจำนวน \(5!\) วิธี ดังนั้นจะได้คำต่างๆเท่ากับ \(5!\times 336=120\times 336=40320 \) คำ นั่นเองคับ
7. สมาคมแห่งหนึ่งมีสมาชิกอยู่ 25 คน ซึ่งใน 25 คนนั้นมีอยู่ 4 คน เป็นหมอ จะมีกี่วิธีที่จะเลือกคณะกรรมการจำนวน 3 คน ซึ่งต้องมีหมออยู่ด้วยอย่างน้อย 1 คน
วิธีทำ ข้อนี้ต้องแบ่งกรณีในการคิดครับ แล้วเอาทุกกรณีมาบอกกันก็จะได้จำนวนวิธีทั้งหมด
กรณี 1 คือกรณีที่มีหมอเป็นคณะกรรมการด้วย 1 คน
ดังนั้น
จำนวนวิธีในการเลือกหมอมา 1 คน คือ \(\binom{4}{1}=4\)
จำนวนวิธีในการเลือกคณะกรรมการคนอื่นที่ไม่ใช่หมอคือ \(\binom{21}{2}=210\)
\begin{array}{lcl}\binom{21}{2}&=&\frac{21!}{19!2!}\\&=&\frac{21\times 20\times 19!}{19!\times 2}\\&=&21\times 10\\&=&210\end{array}
นั่นคือ จำนวนวิธีเลือกคณะกรรมการ 3 คนมีหมออยู่ด้วย 1 คนทำได้ทั้งหมด \(210\times 4=840\) วิธี
***อธิบายเพิ่มเติม มีสมาชิกทั้งหมด 25 คน ตัดหมอทิ้ง 4 คน ก็จะเหลือสมาชิก 21 คน และใน 21 คนนี้จะต้องเลือกมาอีก 2 คนเพื่อมาเป็นคณะกรรมการและรวมกรรมการอีก 1 คนที่เป็นหมอ ก็จะมีคณะกรรมการครบ 3 คน พอดี นี้คือกรณีที่ 1
กรณี 2 คือกรณีที่มีหมอเป็นคณะกรรมการด้วย 2 คน
ดังนั้น
จำนวนวิธีในการเลือกหมอมา 2 คน คือ \(\binom{4}{2}=6\)
จำนวนวิธีในการเลือกคณะกรรมการคนอื่นที่ไม่ใช่หมอคือ \(\binom{21}{1}=21\)
นั่นคือ จำนวนวิธีเลือกคณะกรรมการ 3 คนมีหมออยู่ด้วย 2 คนทำได้ทั้งหมด \(21\times 6= 126\) วิธี
กรณี 3 คือกรณีที่มีหมอเป็นคณะกรรมการด้วย 3 คน
ดังนั้น
จำนวนวิธีในการเลือกหมอมา 3 คน คือ \(\binom{4}{3}=4\)
กรณีไม่ต้องเลือกคณะกรรมการอื่นที่ไม่ใชหมอแล้วเพราะว่าครบ 3 คนแล้ว
คำตอบ ก็คือต้องเอาทุกกรณีมาบวกกันครับ จำนวนวิธีเลือกคณะกรรมการจำนวน 3 คน ซึ่งต้องมีหมออยู่ด้วยอย่างน้อย 1 คน
เท่ากับ \(840+126+4=970\) วิธี
ข้อนี้สามารถคิดแบบกลับได้ครับก็คือ เอาจำนวนวิธีในการเลือกคณะกรรมการทั้งหมด ลบออกด้วย จำนวนวิธีเลือกคณะกรรมการที่ไม่เลือกหมอเป็นกรรมการเลยก็คือ \(\binom{25}{3} -\binom{21}{3}=970\) ได้คำตอบเหมือนกัน แล้วแต่ความสะดวกของแต่ละคน
8. จำนวนวิธีที่จะเลือกผู้แทน 3 คน จากกลุ่มคน 9 คน ซึ่งประกอบด้วยชาย 4 คน และหญิง 5 คน เข้าร่วมในคณะกรรมการชุดหนึ่ง โดยต้องมีชายอย่างน้อย 1 คน จะมีวิธีการเลือกทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ ข้อนี้เราจะทำแบบวิธีตรงข้ามก็คือ
เอาจำนวนวิธีในการเลือกผู้แทนทั้งหมด ลบออกด้วย จำนวนวิธีเลือกผู้แทน 3 คนโดย 3 คนนั้นไม่เป็นผู้ชายเลย
นั่นก็คือ
จำนวนวิธีเลือกผู้แทนทั้งหมดคือ \(\binom{9}{3}=84\) วิธี
จำนวนวิธีเลือกผู้แทน 3 คน โดย 3 คนนั้นไม่เป็นผู้ชายเลยคือ \(\binom{5}{3}=10\) วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีในการเลือกผู้แทน 3 คน โดยต้องมีชายอย่างน้อย 1 คน เท่ากับ \(84-10=74\) วิธี
9.คนกลุ่มหนึ่งมี 10 คน ต้องการเลือกมา 6 คน เพื่อนำมานั่งรอบโต๊ะกลม จะจัดได้กี่วิธี
วิธีทำ ข้อนี้ต้องทำงาน 2 ขั้นตอน คือ 1.หาจำนวนวิธีในการเลือกคนมา 6 คนก่อน
2. นำแต่ละวิธีที่หาได้ในขั้นตอนที่ 1 มาจัดรอบโต๊ะกลม
เริ่มทำเลย
ขั้นตอนที่ 1 จำนวนวิธีเลือกคนมา 6 คนจากทั้งหมด 10 คนคือ \(\binom{10}{6}=210\)
ขั้นตอนที่ 2 จะเห็นว่าในการเลือกคน 6 คนจากคนทั้งหมด 10 คนทำได้ 210 วิธี แต่ละวิธีนำมาจัดนั่งรอบโต๊ะกลม ได้ \(5!=120\) วิธี
ดังนั้น เลือกคนมา 6 คนจากทั้งหมด 10 คน มานั่งรอบโต๊ะกลมทำได้ทั้งหมด \(210\times 120=25200\) วิธี
*** ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
10.กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลที่แตกต่างกัน 11 ลูก เป็นลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 3 ลูก และสีน้ำเงิน 3 ลูก ถ้าต้องการหยิบลูกบอลพร้อมกัน 3 ลูกจากกล่องใบนี้ จงหาจำนวนวิธีการหยิบโดยที่
1) หยิบได้ลูกบอลครบทุกสี
2)ได้ลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก
3) ได้ลูกบอลสีน้ำเงินอย่างน้อย 1 ลูก และไม่มีลูกบอลสีขาว
\[\cdots\]
1) หยิบได้ลูกบอลครบทุกสี
วิธีทำ ข้อนี้แบ่งการทำงานออกเป็น 3 ขั้นตอน คือ
ขั้นตอน 1 จำนวนวิธีในการหยิบลูกบอลสีแดง 1 ลูกจาก 5 ลูกคือ \(\binom{5}{1}=5\)
ขั้นตอน 2 จำนวนวิธีในการหยิบลูกกบอลสีขาว 1 ลูกจาก 3 ลูกคือ \(\binom{3}{1}=3\)
ขั้นตอน 3 จำนวนวิธีในการหยิบลูกบอลสีน้ำเงิน 1 ลูกจาก 3 ลูกคือ \(\binom{3}{1}=3\)
ดังนั้นจำนวนวิธีหยิบลูกบอลแล้วได้ลูกบอลครบทุกสีเท่ากับ \(5\times 3\times 3=45\) วิธี
2)ได้ลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก
วิธีทำ ข้อนี้เราจะทำวิธีแบบตรงกันข้ามนะคับ ก็คือ
เอาจำนวนวิธีในการหยิบทั้งหมด ลบออกด้วย จำนวนวิธีที่หยิบลูกบอลแล้วไม่ได้สีแดงเลย
ก็จะได้ว่า
จำนวนวิธีในการหยิบลูกบอลทั้งหมดคือ \(\binom{11}{3}=165\)
จำนวนวิธีที่หยิบลูกบอลแล้วไม่ได้สีแดงเลย นั่นก็คือหยิบได้สีขาวหรือสีน้ำเงิน ตัดสีแดงออกไปเลย คือ \(\binom{6}{3}=20\)
ดั้งจำนวนวิธีหยิบแล้วได้ลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก คือ \(165-20=145\) วิธี
3) ได้ลูกบอลสีน้ำเงินอย่างน้อย 1 ลูก และไม่มีลูกบอลสีขาว
วิธีทำ ข้อนี้ผมแบ่งกรณีในการทำนะคับ แต่อย่าลืมว่าไม่มีลูกบอลสีขาวเลย ฉะนั้นตัดลูกบอลสีขาวออกไปเลย
กรณี 1 จำนวนวิธีหยิบได้ลูกบอลสีน้ำเงิน 1 ลูก และสีอื่นที่ไม่ใช่สีขาวอีก 2 ลูก คือ \(\binom{3}{1}\times \binom{5}{2}=3\times 10=30\)
กรณี 2 จำนวนวิธีหยิบได้ลูกบอลสีน้ำเงิน 2 ลูก และสีอื่นที่ไม่ใช่สีขาวอีก 1 ลูก คือ \(\binom{3}{2}\times \binom{5}{1}=3\times 5=15\)
กรณี 3 จำนวนวิธีหยิบได้ลูกบอลสีน้ำเงิน 3 ลูก สีอื่นไม่ต้องหยิบเพราะครบ 3 ลูกแล้ว คือ \(\binom{3}{3}=1\)
ดังนั้นจำนวนวิธีในการหยิบลูกบอลให้ได้ลูกบอลสีน้ำเงินอย่างน้อย 1 ลูก และไม่มีลูกบอลสีขาวเลยคือ \(30+15+1=46\) วิธี