เฉลยข้อสอบ สอวน. คณิตศาสตร์

กำหนดให้ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับสมการ \(1+68x+66y=xy\) จงหาค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ของ \(|x+y|\)

วิธีทำ

ให้สมการ:

\[
1 + 68x + 66y = xy
\]

เราจะหาค่ามากที่สุดของ \(|x + y|\) โดยการหาค่า \(x\) และ \(y\) ที่เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับสมการนี้

เริ่มต้นโดยการจัดรูปสมการใหม่:

\[
xy - 68x - 66y = 1
\]

แล้วเพิ่ม \(68 \times 66\) ทั้งสองข้างของสมการ:

\[
xy - 68x - 66y + 68 \times 66 = 1 + 68 \times 66
\]

ทำการคำนวณ \(68 \times 66 = 4488\), ดังนั้นสมการจะกลายเป็น:

\[
(x - 66)(y - 68) = 4489
\]

ตอนนี้เราได้สมการในรูปของผลคูณ \((x - 66)(y - 68) = 4489\). เราจึงสามารถหาค่าของ \(x - 66\) และ \(y - 68\) ที่เป็นตัวประกอบของ 4489 ได้

การหาตัวประกอบของ 4489:

\[
4489 = 67^2
\]

ดังนั้นตัวประกอบของ 4489 คือ \(1, 67, -1, -67, 4489, -4489\)

เราจะพิจารณาคู่ตัวประกอบของ 4489 และหาค่า \(x\) และ \(y\) ที่เป็นไปได้จาก:

\[
x - 66 = d \quad \text{และ} \quad y - 68 = \frac{4489}{d}
\]

โดยที่ \(d\) เป็นตัวประกอบของ 4489 และหาค่าของ \(x\) และ \(y\) ดังนี้:

1. \(d = 1 \Rightarrow x - 66 = 1, y - 68 = 4489 \Rightarrow x = 67, y = 4557\)
2. \(d = 67 \Rightarrow x - 66 = 67, y - 68 = 67 \Rightarrow x = 133, y = 135\)
3. \(d = -1 \Rightarrow x - 66 = -1, y - 68 = -4489 \Rightarrow x = 65, y = -4421\)
4. \(d = -67 \Rightarrow x - 66 = -67, y - 68 = -67 \Rightarrow x = -1, y = 1\)
5. \(d = 4489 \Rightarrow x - 66 = 4489, y - 68 = 1 \Rightarrow x = 4555, y = 69\)
6. \(d = -4489 \Rightarrow x - 66 = -4489, y - 68 = -1 \Rightarrow x = -4423, y = 67\)

ตอนนี้เรามาหาค่า \(|x + y|\) สำหรับแต่ละกรณี:

1. \(|67 + 4557| = 4624\)
2. \(|133 + 135| = 268\)
3. \(|65 + (-4421)| = 4356\)
4. \(|-1 + 1| = 0\)
5. \(|4555 + 69| = 4624\)
6. \(|-4423 + 67| = 4356\)

ค่ามากที่สุดของ \(|x + y|\) คือ \(4624\).

ดังนั้น ค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ของ \(|x + y|\) คือ **4624**.