มีสามสิ่งอันดับ \((a,b,c)\) ของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดกี่ชุดที่สอดคล้องกับสมการ \(ab+bc+ca=11\)
วิธีทำ
สมการ \( ab + bc + ca = 11 \) เป็นสมการที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มบวก ซึ่งเราต้องการหาชุดของจำนวนเต็มบวก \( (a, b, c) \) ที่ทำให้สมการนี้เป็นจริง
เริ่มจากการพิจารณาค่าของ \( a, b, c \) ที่เป็นจำนวนเต็มบวก:
1. ถ้า \( a = 1 \):
- สมการจะกลายเป็น \( b + bc + c = 11 \), หรือ \( b(c+1) + c = 11 \).
- ลองพิจารณาค่าของ \( b \) และ \( c \):
- \( b = 1 \) → \( c + 1 + c = 11 \) → \( 2c + 1 = 11 \) → \( c = 5 \).
- \( b = 2 \) → \( 2(c+1) + c = 11 \) → \( 2c + 2 + c = 11 \) → \( 3c = 9 \) → \( c = 3 \).
- \( b = 3 \) → \( 3(c+1) + c = 11 \) → \( 3c + 3 + c = 11 \) → \( 4c = 8 \) → \( c = 2 \).
- \( b = 4 \) → \( 4(c+1) + c = 11 \) → \( 4c + 4 + c = 11 \) → \( 5c = 7 \), ซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้น จาก \( a = 1 \), ได้ชุดคำตอบ \( (1, 1, 5), (1, 2, 3), (1, 3, 2) \).
2. ถ้า \( a = 2 \):
- สมการจะกลายเป็น \( 2b + 2c + bc = 11 \), หรือ \( bc + 2(b + c) = 11 \).
- ลองพิจารณาค่าของ \( b \) และ \( c \):
- \( b = 1 \) → \( c + 2c = 11 \) → \( 3c = 9 \) → \( c = 3 \).
- \( b = 2 \) → \( 2c + 4 + c = 11 \) → \( 3c = 7 \), ซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้น จาก \( a = 2 \), ได้ชุดคำตอบ \( (2, 1, 3), (2, 3, 1) \).
3. ถ้า \( a = 3 \):
- สมการจะกลายเป็น \( 3b + 3c + bc = 11 \), หรือ \( bc + 3(b + c) = 11 \).
- ลองพิจารณาค่าของ \( b \) และ \( c \):
- \( b = 1 \) → \( c + 3c = 11 \) → \( 4c = 8 \) → \( c = 2 \).
- \( b = 2 \) → \( 2c + 6 + c = 11 \) → \( 3c = 5 \), ซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้น จาก \( a = 3 \), ได้ชุดคำตอบ \( (3, 1, 2), (3, 2, 1) \).
โดยสรุป ชุดคำตอบทั้งหมดคือ:
\[
(1, 1, 5), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)
\]
ดังนั้นมีทั้งหมด 7 ชุดที่สอดคล้องกับสมการ \( ab + bc + ca = 11 \).