ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงสมบัติต่างๆของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นหัวข้อที่สำคัญมาก

จำเป็นจะต้องเข้าใจคุณสมบัติทุกข้อของเลขยกกำลัง  ดังนั้นต้องทำความเข้าใจแบบฝึกหัดที่ผมจะเขียนและจะพยายามอธิบายอย่างละเอียด ขอให้ตั้งใจเวลาอ่าน

ตอนแรก ต้องเข้าใจก่อนว่า เลขยกำลังคืออะไร มีความหมายอย่างไร   ไปดูนิยามของเลยยกกำลังกันครับ

บทนิยาม

ถ้า \(a\) เป็นจำนวนจริงและ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว

\(a^{n}\) หมายถึง \(a\) คูณกันจำนวน \(n\) ครั้ง

ตัวอย่างเช่น

\(a^{2}= a \times a \)    หมายถึงมี  \(a\) คูณกัน \(2\)  ตัว

\(a^{4}=a \times a \times a \times a \)  หมายถึงมี \(a\)คูณกัน \(4\) ตัว

\(5^{3}=5 \times 5 \times 5 \) หมายถึงมี \( 5 \) คูณกัน \(3\) ตัว

 

\(a^{0}=1\) เมื่อ \(a\neq 0\)  จำนวนใดๆก็ตามยกเว้นเลขศูนย์ ยกกำลังศูนย์จะมีค่าเท่ากับ 1 เสมอครับ   ตัวอย่างเช่น

\( 10^{0}=1\)

\( -50^{0}=1\)

\((\frac{1}{13})^{0}=1\)

\(x^{0}=1\) เมื่อ \(x\) เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์

\(0.006^{0}=1\)

\(0^{0}\) อันนี้หาค่าไม่ได้ หรือไม่นิยามน่ะครับ

\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) เมื่อ \(a\neq 0 \)

ตัวอย่างเช่น

\(4^{-2}=\frac{1}{4^{2}}\)

\(2^{-5}=\frac{1}{2^{5}}\)

\(y^{-5}=\frac{1}{y^{5}}\) เมื่อ \(y\) เป็นจำนวนจริงใดๆ

 

เรียก \(a^{n}\) ว่าเลขยกกำลัง

ซึ่งเรียก \(a\) ว่าฐานของเลขยกกำลัง และ \(n\) เรียกว่าเลขชี้กำลัง

ตัวอย่างเช่น

1) \( 5^{4}\)

มี \(5\) เป็นฐาน

มี \(4\) เป็นเลขชี้กำลัง

2) \(-3^{9}\)

มี \( -3\) เป็นฐาน

มี \(9\) เป็นเลขชี้กำลัง

3) \(m^{2}\) เมื่อ \(m\) เป็นจำนวนจริงใดๆ

มี \(m\) เป็นฐาน

มี \(2\) เป็นเลขชี้กำลัง

ลองทำแบบฝึกหัดได้ที่ด้านล่างครับผม

แบบฝึกหัด 

1. จงทำให้เป็นรูปอย่างง่ายและมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก 

1) \(\left(\frac{x}{y}\right)^{3}\left(\frac{y^{2}x}{z}\right)^{4}\) 

วิธีทำ เราต้องพิจารณาโจทย์ก่อนครับ แล้วก็ดูว่าโจทย์แบบนี้จะใช้  ทฤษฎีเกี่ยวกับเลขยกำลัง ข้อไหน  จะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้เป็นเลยยกกำลังที่ฐานเป็นเศษส่วน  ดังนั้น จะต้องใช้ ทฤษฎีเกี่ยวกับเลขยกำลัง ข้อที่ 4  ครับ

เริ่มทำเลยน่ะครับ

\(\begin{array}{lcl}\left(\frac{x}{y}\right)^{3}\left(\frac{y^{2}x}{z}\right)^{4}&=& \left(\frac{x^{3}}{y^{3}}\right) \left( \frac{y^{2\times 4}x^{4}}{z^{4}}\right)\\ &=& \left(\frac{x^{3}}{y^{3}}\right) \left( \frac{y^{8}x^{4}}{z^{4}}\right) \\&=&(x^{3}x^{4})\left(\frac{y^{8}}{y^{3}}\right) \frac{1}{z^{4}}\\ &=& (x^{3+4})(y^{8-3})\frac{1}{z^{4}}\\&=& x^{7}y^{5}\frac{1}{z^{4}}\\ &=& \frac{x^{7}y^{5}}{z^{4}}\end{array}\) 


2.\( \frac{2^{-3}3^{-5}}{3^{-5}2^{0}}\) 

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ ฐานเหมือนกันจัดให้อยู่ด้วยกันครับ แล้วก็จัดการเลย ฐานเหมือนกันหารกันนำเลขชี้กำลังมาลบกันครับ

\( \begin{array}{lcl} \frac{2^{-3}3^{-5}}{3^{-5}2^{0}}&=& \left( \frac{2^{-3}}{2^{0}}\right) \left( \frac{3^{-5}}{3^{-5}}\right)\\&=&(2^{-3-0})(3^{(-5)-(-5)})\\&=& 2^{-3}3^{0}\\&=&\frac{1}{2^{3}}(1)\\&=&\frac{1}{2^{3}}\\&=&\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \end{array}\)


3.\(\frac{x^{9}(2x)^{4}}{x^{3}}\)

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายๆครับ มาดูวิธีทำกันเลย step by step 

จากโจทย์

\(\frac{x^{9}(2x)^{4}}{x^{3}}\)

\(=\frac{x^{9}2^{4}x^{4}}{x^{3}}\)  note: \((2x)^{4}=2^{4}x^{4}\)

น่ะครับ  เอา \(4\) ไปเป็นเลขชี้กำลังตัวที่อยู่ข้างในวงเล็บครับ

ต่อไปจัดรูปให้สวยงามครับ ไม่ยากแล้ว ฐานเหมือนกันคือฐาน \(x\)จัดให้อยู่ด้วยกันครับ

\(=2^{4}\frac{x^{9}x^{4}}{x^{3}}\) 

\(=16 \frac{x^{9+4}}{x^{3}}\) ฐานเหมือนกันคูณกันนำเลขชี้กำลังมาบวกกันน่ะครับ

\(=16\frac{x^{13}}{x^{3}}\)

\(=16x^{13-3}\) ฐานเหมือนกันหารกันนำเลขชี้กำลังมาลบกันครับ

\(=16x^{10}\)


4.\((a^{-5}b^{7})(a^{-2}b^{-7}c^{0})\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับง่าย ถึงง่ายมาก ครับ วิธีทำข้อนี้คือ ฐานเหมือนกันจัดให้อยู่ด้วยกันครับ มีสามฐานคือ ฐาน a,b และ ฐาน c เริ่มจัดกันเลย

\((a^{-5}b^{7})(a^{-2}b^{-7}c^{0})\) 

\(=(a^{-5}a^{-2})(b^{7}b^{-7})c^{0}\)

\(=\left(a^{(-5)+(-2)}\right) \left(b^{7+(-7)}\right) (1)\)

อะไรก็ตามยกเว้นเลขศูนย์ยกกำลังศูนย์มีค่าเท่ากับหนึ่ง ดังนั้น \(c^{0}=1\)

\(=a^{-7}b^{0}\)

\(=a^{-7}\)

\(=\frac{1}{a^{7}}\)

note: ทำ \(a^{-7}\)ให้มีเลขชี้กำลังเป็นบวกคือเป็น 7 ครับ โดยใช้ทฤษฎีนี้ครับ\( a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) ในทำนองเดียวกัน \(\frac{1}{a^{-n}}=a^{n}\)


5.\(\left(\frac{1}{2} x^{-3}y^{2}\right)^{-4}\)

วิธีทำ ข้อ 5 ไม่มีอะไรยากครับ แค่เข้าใจทฤษฎี 2 ข้อนี้คือ

\((ab)^{m}=a^{m}b^{m}\)

\((a^m)^{n}=a^{mn}\) ก็ทำได้แล้วครับไม่ยากครับ

เริ่มทำกันเลย

\(\left(\frac{1}{2} x^{-3}y^{2}\right)^{-4}\)

\(=\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}(x^{-3})^{-4}(y^{2})^{-4}\)

\(=\frac{(1)^{-4}}{(2)^{-4}}  x^{(-3 \times -4)}y^{(2 \times -4)} \)

\(=\frac{(1)^{-4}}{(2)^{-4}}x^{12}y^{-8}\) ทำเลขชี้กำลังให้เป็นบวกครับ วิธีการทำเลขชี้กำลังให้เป็นบวกง่ายๆครับ คือ สลับที่กันระหว่างเศษกับส่วน ไปดูกันเลยครับ สังเกตให้ดีน่ะอธิบายไม่ถูกเหมือนกัน ถ้าอ่านทฤษฏีนี้เข้าใจจะทำได้เลยครับ คือ \( a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) ในทำนองเดียวกัน \(\frac{1}{a^{-n}}=a^{n}\)

\(=\frac{(2)^{4}}{(1)^{4}} x^{12} \frac{1}{y^{8}}\)  สังเกตวิธีการทำเลขชี้กำลังให้เป็นบวกดีๆน่ะครับ แค่เปลี่ยนสลับที่กันจากเศษไปเป็นส่วน จากส่วนไปเป็นเศษเลขชี้กำลังจะเปลี่ยนน่ะครับ

\(=\frac{2^{4}x^{12}}{y^{8}}\)

\(=\frac{16x^{12}}{y^{8}}\)

หรืออีกแนวหนึ่งที่ชอบออกสอบก็คือแบบนี้ครับ

ตัวอย่าง กำหนด n เป็นจำนวนเต็มบวก ในแต่ละข้อจงเขียนให้เป็นรูปอย่างง่าย

\(1) \quad \frac{2^{n+4}- 2(2^{n})}{2(2^{n+3})}\)

วิธีทำ การทำข้อนี้ให้พวกเราใช้ ทฤษฎีเลขยกกำลังข้อนี้ จำได้ไหมเอ่ย  คือ \(a^{m+n}=a^{m}a^{n}\)

ดังนั้น \(2^{n+4}=2^{n}2^{4}\)  เข้าใจไหม ถ้าเข้าใจลองแยกตัวอื่นต่อเลย

 จากโจทย์

\(\quad \frac{2^{n+4}- 2(2^{n})}{2(2^{n+3})}\)

\(=\frac{2^{n}2^{4}-2\cdot 2^{n}}{2\cdot 2^{n}\cdot 2^{3}}\)        เห็นตัวร่วมไหมตัวร่วมคือสองกำลังเอ็นดึงตัวร่วมออกมาเลยนะ

\(=\frac{2^{n}(2^{4}-2)}{2\cdot 2^{n}\cdot 2^{3}}\)      มีตัวตัดทอนกันได้คือสองกำลังเอ็นตัดเลยนะ

\(=\frac{2^{4}-2}{2\cdot 2^{3}}\)

\(=\frac{16-2}{2^{4}}\)

\(=\frac{14}{16}\)      ตัดทอน

\(=\frac{7}{8} \quad Ans\)


\(2)\quad \frac{9^{n+2}+36\cdot 9^{n-1}}{9^{n}}\)

วิธีทำ  ทำเหมือนกันกับข้อที่ 1 เลยครับ แยกก่อน แล้วดึงตัวร่วม

จากโจทย์

\(\quad \frac{9^{n+2}+36\cdot 9^{n-1}}{9^{n}}\)

\(=\frac{9^{n}\cdot 9^{2}+36\cdot 9^{n}\cdot 9^{-1}}{9^{n}}\)

\(=\frac{9^{n}(9^{2}+36\cdot 9^{-1})}{9^{n}}\)     ตัดทอนได้นะเก้ากำลังเอ็น

\(=9^{2}+36\cdot\frac{1}{9}\)     ตัดทอนได้หนึ่งส่วนเก้ากับสามสิบหก

\(=81+4\)

\(=85\)


\(3)\quad \frac{9^{-n+2}\times 3^{2n+1}\times 81^{n+1}}{3^{4n+4}}\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องทำฐานให้เท่ากันก่อนครับ คือทำฐานให้เป็น 3 จะได้

จากโจทย์

\( \frac{9^{-n+2}\times 3^{2n+1}\times 81^{n+1}}{3^{4n+4}}\)

\(=\frac{(3^{2})^{-n+2}\times 3^{2n+1}\times (3^{4})^{n+1}}{3^{4n+4}}\)        อย่าลืมนะเก้าคือสามกำลังสอง  แปดสิบเอ็ดคือสามกำลังสี่

\(=\frac{3^{-2n+4}\times 3^{2n+1}\times 3^{4n+4}}{3^{4n+4}}\)   เห็นตัวตัดทอนไหมสามยกกำลังสี่เอ็นบวกสี่ตัดกันได้นะ

\(=3^{(-2n+4)+(2n+1)}\)

\(=3^{5}\)

\(=243\)

สำหรับตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดดูได้ที่คลิปนี้ครับ

Pin It