สำหรับเลขยกกำลังที่เป็นที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ก็คือ เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนเพราะจำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้

ตัวอย่างเช่น

\( 2^{\frac{1}{3}}\)

\(5^{\frac{2}{5}}\)

เหล่านี้คือ เลขยกกำลังที่่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ คับ

ทีนี้มาดู นิยาม ของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจำนวนตรรกยะ ดีกว่า ว่านิยามของมันเป็นอย่างไรครับ

บทนิยาม

ให้ \( a \) เป็นจำนวนจริงใดๆ \( k,n \) เป็นจำนวนเต็มใดๆ แล้ว

\(a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^{k}}\)

อ่านนิยามแล้วอาจจะงงๆ มาดูตัวอย่างกันครับ รับรองหาย งง แน่

ตัวอย่างเช่น

\( 3^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{3^{2}}=\sqrt[5]{9}\)

\( 21^{\frac{9}{11}}=\sqrt[11]{21^{9}}\)

\(3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\)

\(5^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{5}\)

\(4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2\)

\(\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}\)

\(\sqrt[3]{7^{2}}=7^{\frac{2}{3}}\)

เป็นไงบ้างคับ คงหาย มึนงงได้บ้างน่ะคับสำหรับตัวอย่างนี้

มาดูวิธีแบบฝึกหัดกันดีกว่าคับ

แบบฝึกหัด

1.จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย

1)\((9a^{3})^{\frac{1}{6}}\)

\(=9^{\frac{1}{6}}a^{3\times \frac{1}{6}}\) เก้าคือสามยกกำลังสองน่ะครับ

\(=3^{2\times \frac{1}{6}}a^{\frac{3}{6}}\)

\(=3^{\frac{2}{6}}a^{\frac{3}{6}}\)    ตัดทอนได้น่ะ

\(=3^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{2}}\)


2)\(\left( \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{-\frac{3}{2}}}\right)^{3}\)

\(=\left( \frac{x^{\frac{2}{3}\times 3}}{x^{-\frac{3}{2}\times 3}}\right)\)  เลขชี้กำลังตัดทอนกันได้น่ะครับ

\(=\left( \frac{x^{2}}{x^{-\frac{9}{2}}}\right)\)  ทำเลขชี้กำลังให้เป็นบวก

\(=x^{2}x^{\frac{9}{2}}\)  ฐานเหมือนกันคูณกันให้นำเลขชี้กำลังมาบวกกันครับ

\(=x^{2 + \frac{9}{2}}\)

\(=x^{\frac{13}{2}}\)   ความจริงข้อนี้ทำได้หลายวิธีน่ะครับ ไม่จำเป็นต้องทำเหมือนผมก็ได้


3) \(\left(-\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}\)

\(=\left(-\frac{1}{2^{3}}\right)^{-\frac{2}{3}}\)   แปดคือสองยกกำลังสามน่ะคับ

\(=\left((-1)2^{-3}\right)^{-\frac{2}{3}}\)

\(=(-1)2^{-3\times  -\frac{2}{3}}\)

\(=(-1)2^{2}\)

\(=(-1)4\)

\(=-4\)


4) \(\left(0.027\right)^{\frac{2}{3}}\)

เพื่อความง่ายเราต้องเปลี่ยน 0.027 ให้อยู่ในรูปเศษส่วนก่อนครับ เรารู้ว่า \(0.027=\frac{27}{1000}\)

\(=\left(\frac{27}{1000}\right)^{\frac{2}{3}}\)

\(=\frac{27^{\frac{2}{3}}}{1000^{\frac{2}{3}}}\)   ต่อไปก็ยากแล้วต้องมองให้ออกน่ะว่าควรทำอย่างไรต่อไป \(27=3^{3},1000=10^{3}\) แทนค่าลงไปเลยครับ

\(=\frac{3^{3\cdot \frac{2}{3}}}{10^{3\cdot \frac{2}{3}}}\)  สังเกตเลขชี้กำลังน่ะคับ ตัดทอนกันได้คับตัดทอนเลย

\(=\frac{3^{2}}{10^{2}}\)

\(=\frac{9}{100}\)

\(=0.09\)


5) \((-125)^{-\frac{1}{3}}\)

วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่า \((-5)^{3}=-125\) ดังนั้นจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}(-125)^{-\frac{1}{3}}&=&(-5)^{3\times -\frac{1}{3}}\\&=&(-5)^{-1}\\&=&\frac{1}{-5}\\&=&-\frac{1}{5}\end{array}


6) \(\left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{3}{2}}\)

วิธีทำ เนื่องจาก \(9=3^{2}\)  และ \(16=4^{2}\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{3}{2}}&=&\left(\frac{3^{2}}{4^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\\&=&\left(\frac{3}{4}\right)^{2\times \frac{3}{2}}\\&=&\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\\&=&\frac{3^{3}}{4^{3}}\\&=&\frac{27}{64}\end{array}


7) \(\left(-\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}\)

วิธีทำ เนื่องจาก \(-\frac{1}{8}=(-\frac{1}{2})^{3}\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\left(-\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}&=&\left(-\frac{1}{2}\right)^{3\times -\frac{2}{3} }\\&=&(-\frac{1}{2})^{-2}\\&=&\frac{(-1)^{-2}}{2^{-2}}\\&=&\frac{2^{2}}{(-1)^{2}}\\&=&4\end{array}


2. จงทำให้เป็นรูปอย่างง่ายและเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก เมื่อกำหนดให้ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงบวก

1)\(\left(\frac{x^{-4}}{4y^{6}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}\left(\frac{x^{-4}}{4y^{6}}\right)^{\frac{1}{2}}&=&\frac{x^{-4\times \frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}y^{6\times \frac{1}{2}}}\\&=&\frac{x^{-2}}{2y^{3}}\\&=&\frac{1}{2x^{2}y^{3}}\end{array}


2) \(\left(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{-\frac{3}{2}}}\right)^{3}\)

วิธีทำ ข้อนี้ทำในวงแล็บใหญ่ก่อนครับ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\left(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{-\frac{3}{2}}}\right)^{3}&=&\left(x^{\frac{2}{3}-(-\frac{3}{2}}\right)^{3}\\&=&(x^{\frac{2}{3}+\frac{3}{2}})^{3}\\&=&(x^{\frac{13}{6}})^{3}\\&=&x^{\frac{13}{2}}\end{array}


3) \(\left(\frac{125x^{3}y^{4}}{27x^{-6}y}\right)^{\frac{1}{3}}\)

วิธีทำ  ข้อนี้ทำ \(125\) และ \(27\) ให้อยู่ในรูปของเลขยกกำลังก่อนคับ จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\left(\frac{125x^{3}y^{4}}{27x^{-6}y}\right)^{\frac{1}{3}}&=&\left(\frac{5^{3}x^{3}y^{4}}{3^{3}x^{-6}y}\right)^{\frac{1}{3}}\\&=&\frac{5^{3\times \frac{1}{3}}x^{3\times \frac{1}{3}}y^{4\times \frac{1}{3}}}{3^{3\times \frac{1}{3}}x^{-6\times \frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}}\\&=&\frac{5xy^{\frac{4}{3}}}{3x^{-2}y^{\frac{1}{3}}}\\&=&\frac{5}{3}x^{[1-(-2)]}y^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}\\&=&\frac{5}{3}x^{3}y\end{array}

Pin It