ค้นหา

เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

สำหรับเลขยกกำลังที่เป็นที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ก็คือ เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนเพราะจำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้

ตัวอย่างเช่น

\( 2^{\frac{1}{3}}\)

\(5^{\frac{2}{5}}\)

เหล่านี้คือ เลขยกกำลังที่่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ คับ

ทีนี้มาดู นิยาม ของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจำนวนตรรกยะ ดีกว่า ว่านิยามของมันเป็นอย่างไรครับ

บทนิยาม

ให้ \( a \) เป็นจำนวนจริงใดๆ \( k,n \) เป็นจำนวนเต็มใดๆ แล้ว

\(a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^{k}}\)

อ่านนิยามแล้วอาจจะงงๆ มาดูตัวอย่างกันครับ รับรองหาย งง แน่

ตัวอย่างเช่น

\( 3^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{3^{2}}=\sqrt[5]{9}\)

\( 21^{\frac{9}{11}}=\sqrt[11]{21^{9}}\)

\(3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\)

\(5^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{5}\)

\(4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2\)

\(\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}\)

\(\sqrt[3]{7^{2}}=7^{\frac{2}{3}}\)

เป็นไงบ้างคับ คงหาย มึนงงได้บ้างน่ะคับสำหรับตัวอย่างนี้

มาดูวิธีแบบฝึกหัดกันดีกว่าคับ

แบบฝึกหัด

1.จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย

1)\((9a^{3})^{\frac{1}{6}}\)

\(=9^{\frac{1}{6}}a^{3\times \frac{1}{6}}\) เก้าคือสามยกกำลังสองน่ะครับ

\(=3^{2\times \frac{1}{6}}a^{\frac{3}{6}}\)

\(=3^{\frac{2}{6}}a^{\frac{3}{6}}\)    ตัดทอนได้น่ะ

\(=3^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{2}}\)

2)\(\left( \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{-\frac{3}{2}}}\right)^{3}\)

\(=\left( \frac{x^{\frac{2}{3}\times 3}}{x^{-\frac{3}{2}\times 3}}\right)\)  เลขชี้กำลังตัดทอนกันได้น่ะครับ

\(=\left( \frac{x^{2}}{x^{-\frac{9}{2}}}\right)\)  ทำเลขชี้กำลังให้เป็นบวก

\(=x^{2}x^{\frac{9}{2}}\)  ฐานเหมือนกันคูณกันให้นำเลขชี้กำลังมาบวกกันครับ

\(=x^{2 + \frac{9}{2}}\)

\(=x^{\frac{13}{2}}\)   ความจริงข้อนี้ทำได้หลายวิธีน่ะครับ ไม่จำเป็นต้องทำเหมือนผมก็ได้

3) \(\left(-\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}\)

\(=\left(-\frac{1}{2^{3}}\right)^{-\frac{2}{3}}\)   แปดคือสองยกกำลังสามน่ะคับ

\(=\left((-1)2^{-3}\right)^{-\frac{2}{3}}\)

\(=(-1)2^{-3\times  -\frac{2}{3}}\)

\(=(-1)2^{2}\)

\(=(-1)4\)

\(=-4\)

4) \(\left(0.027\right)^{\frac{2}{3}}\)

เพื่อความง่ายเราต้องเปลี่ยน 0.027 ให้อยู่ในรูปเศษส่วนก่อนครับ เรารู้ว่า \(0.027=\frac{27}{1000}\)

\(=\left(\frac{27}{1000}\right)^{\frac{2}{3}}\)

\(=\frac{27^{\frac{2}{3}}}{1000^{\frac{2}{3}}}\)   ต่อไปก็ยากแล้วต้องมองให้ออกน่ะว่าควรทำอย่างไรต่อไป \(27=3^{3},1000=10^{3}\) แทนค่าลงไปเลยครับ

\(=\frac{3^{3\cdot \frac{2}{3}}}{10^{3\cdot \frac{2}{3}}}\)  สังเกตเลขชี้กำลังน่ะคับ ตัดทอนกันได้คับตัดทอนเลย

\(=\frac{3^{2}}{10^{2}}\)

\(=\frac{9}{100}\)

\(=0.09\)

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com