การแก้สมการโดยวิธีการยกกำลังสองทั้งสองข้าง

ถ้าเราไปเจอสมการที่ฝั่งซ้ายหรือฝั่งขวาของสมการติดค่าราก การแก้สมการที่ทำได้ก็คือพยายามทำให้

เครื่องหมายรากนั้นหายไป วิธีการทำให้เครื่องหมายรากนั้นหาไป ก็คือการยกกำลังนั้นเอง  ถ้าเป็นรากที่สอง ก็คือ ต้องยกกำลังสอง รากที่สามก็คือต้องยกกำลังสาม รากที่ n ก็คือต้องยกกำลัง n นั้นเอง ครับ ถึงตรงนี้อาจจะยังมองภาพไม่ออก เดี๋ยวผมจะพาทำแบบฝึกหัดครับ แต่สิ่งที่จำเป็นต้องรู้คือ สิ่งนี้ครับ

\( (\sqrt[n]{a})^{n}=| a|\)\(\quad\) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่ เช่น

\( (\sqrt{2})^{2}=|2|=2\)

\((\sqrt[n]{a}^{n}=a\) \(\quad\)เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคี่ เช่น

\((\sqrt[3]{4})^{3}=4\)

\((\sqrt[5]{7})^{5}=7\)

อีกสิ่งหนึ่งที่ใช้มักจะนำไปใช้ตลอดคือ กำลังสองสมบูรณ์ ครับ จำให้ขึ้นใจเลยครับ

\((A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}\) \(\quad\) ตัวอย่างเช่น

\((x+3)^{2}=x^{2}+2x(3)+3^{2}=x^{2}+6x+9\)  \(\quad\)นำไปใช้เสมอๆครับ

เรามาเริ่มทำโจทย์กันดีกว่าครับผม....เริ่มเลยครับ

จงหาคำเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้

1) \(\sqrt{m}-8=0\)

วิธีทำ

\(\sqrt{m}-8=0\)  \(\quad\)ย้าย 8 ออกไปก่อนครับให้เหลือ รูท m ตัวเดียวเพื่อจะได้ยกกำลังสองง่ายขึ้นจะได้

\(\sqrt{m}=0+8 \) \(\quad\)จะเห็นว่า m ติดรากที่สองการที่จะให้รากที่สองหายไปก็ต้องยกกำลังสองครับ เวลายกกำลังสองก็ต้องยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการครับ จะได้

\((\sqrt{m})^{2}= 8^{2}\) \(\quad\)  เมื่อยกกำลังสองแล้วเครื่องหมายรากหายครับเหลือแค่ตัวที่อยู่ข้างในคือ m นั้่นเองครับ จะได้

\(m=64\)

ดังนั้นเซตคำตอบของข้อนี้คือ {64} คับ  ง่ายๆ ข้อนี้คับ

2) \(\sqrt{5x+1}+6=10\)

วิธีทำ
\(\sqrt{5x+1}+6=10\)\(\quad\)  ย้าย 6 ออกไปก่อนคับ จะได้

\(\sqrt{5x+1}=10-6\) \(\quad\) ลบกันเลยคับ จะได้

\(\sqrt{5x+1}=4\)  \(\quad\) ต่อไปเอาเครื่องหมายรากที่สองออกไป ครับ โดยการยกกำลังสองคับ อย่าลือเวลายกกำลังสองต้องยกทั้งสองข้างครับ

\((\sqrt{5x+1})^{2}=4^{2}\)

\(5x+1=16 \) \(\quad\)ยกกำลังสองแล้ว เครื่องหมายรากที่สองหายไปคับ

ต่อไปก็แก้สมการธรรมดา...อิๆๆ...ง่ายๆ

\(5x=16-1\)\(\quad\) ย้ายข้างธรรมดา คับ

\(x=\frac{15}{5}\)

\(x=3\)

เชตคำตอบของข้อนี้คือ {3} เสร็จแล้ว...ง่ายๆ

3) \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=2\)

วิธีทำ

\(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=2\) \(\quad\) ดูโจทย์แล้วย้ายข้างนิดหนึ่งเพื่อสะดวกในการยกกำลังสองคับ จะได้

\(\sqrt{x+1}=2+\sqrt{x}\)\(\quad\) ย้ายข้างแล้วต่อไปคือยกกำลังสองทั้งข้างของสมการคับ จะได้

\((\sqrt{x+1})^{2}=(2+\sqrt{x})^{2}\) \(\quad\) ยกเลยน่ะ จะได้

\(x+1=2^{2}+2(2)\sqrt{x}+(\sqrt{x})^{2}\) \(\quad\) ฝั่งขวาของสมการใช้กำลังสองสมบูรณ์น่ะคงจำกันได้

\(x+1=4+4\sqrt{x}+x \) \(\quad\) คงคูณเลขกันธรรมดาครับ ต่อไปก็ย้ายข้างครับดูเองน่ะย้ายอะไรบ้าง

\(x+1-4-x=4\sqrt{x}\)  \(\quad\) ลบเลขครับ x-x=0 ตัดออกคับ 1-4=-3 น่ะ

\(-3=4\sqrt{x}\)  \(\quad\)    ได้อย่างนี้แล้วก็ย้ายข้างต่อคับ

\(-\frac{3}{4}=\sqrt{x}\) \(\quad\)   ย้าย 4 มาหารน่ะ

จากตรงนี้จะเห็นรากที่สองของเอ็กซ์มีค่าเป็นลบ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะรากที่สองของจำนวนจริงใดๆมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เท่านั้นไม่มีสิทธิ์ติดลบฉนั้นข้อนี้ไม่มีคำตอบคับ

4)\(\sqrt{4x+1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{x+3}\)

วิธีทำ

\(\sqrt{4x+1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{x+3}\)   \(\quad\) โจทย์ข้อนี้ดูแล้วคงต้องออกแรกมากหน่อยน่ะ...เริ่ม ยกกำลังสองทัังสองข้างของสมการเลยน่ะ

\((\sqrt{4x+1}-\sqrt{x-2})^{2}=(\sqrt{x+3})^{2}\)    \(\quad\) บรรทัดนี้คงต้องใช้กำลังสองสมบูรณ์คับ จะได้

\((\sqrt{4x+1})^{2}-2\sqrt{4x+1}(\sqrt{x-2})+(\sqrt{x-2})^{2}=x+3\)

\((4x+1)-2\sqrt{(4x+1)(x-2)}+(x-2)=x+3\)

\(-2\sqrt{4x^{2}-7x-2}=x+3-4x-1-x+2\)

\(-2\sqrt{4x^{2}-7x-2}=-4x+4\)

\(\sqrt{4x^{2}-7x-2}=2x-2\)

\((\sqrt{4x^{2}-7x-2})^{2}=(2x-2)^{2}\)

\(4x^{2}-7x-2=4x^{2}-8x+4\)

\(4x^{2}-4x^{2}-7x+8x=4+2\)

\(x=6\)

ดังนั้นเซตคำตอบของข้อนี้คือ {6} คับ  ข้อนี้ไม่ขออธิบายน่ะดูเอาเองคับ...

Pin It

© 2012 Mathpaper.Net. All Rights Reserved.