ลอการิทึมที่ใช้มากในการคำนวณคือ ลอการิทึมสามัญ ซึง ลอการึทึมสามัญ หมายถึง ลอการิทึมที่มีฐานเป็น
สิบ การเขียนลอการิทึมสามัญนิยมเขียนโดยที่ไม่มีฐานกำกับไว้ เช่น
\(\log_{10}5\) นิยมเขียนเป็น \(\log5\)
\(\log_{10}9\) นิยมเขียนเป็น \(\log9\)
\(\log_{10}10\) นิยมเขียนเป็น \(\log10\)
\(\log_{10}N\)นิยมเขียนเป็น \(\log N\) เมื่อ N เป็นจำนวนจริงบวก
การหาค่าลอการิทึมของจำนวนจริงบวกที่สามารถเขียนอยู่ในรูป \(10^{n}\) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม
ตัวอย่างเช่น
\(\log1000=\log10^{3}=3\log10=3(1)=3\)
\(\log100=\log10^{2}=2\log10=2(1)=2\)
\(\log 0.1=\log 10^{-1}=-1\log10=(-1)(1)=-1\)
\(\log 0.001=\log 10^{-3}=-3\log10=(-3)(1)=-3\)
จากตรงนี้เราจึงสรุปได้ว่า \(\log10^{n}=n\) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม...คับ
เนื่องจากจำนวนจริงบวก N ใดๆ สามารถที่จะเขียนให้อยู่ในรูป \(N_{0}\times 10^{n}\) ได้ เมื่อ \(1\leq N_{0} < 10\) และ n เป็นจำนวนเต็ม เช่น
\(1234=1.234 \times 10^{3}\) เลื่อนจุดจากข้างหลังไปข้างหน้าสามครั้งก็คูณด้วยสิบกำลังสาม
\(123=1.23 \times 10^{2}\quad\) เลื่อนจุดจากข้างหลังไปข้างหน้าสองครั้งก็คูณด้วยสิบกำลังสอง
\(0.1234=1.234 \times 10^{-1}\quad\) เลื่อนจุดถอยหลังหนึ่งครั้งก็คูณด้วยสิบกำลังลบหนึ่ง
\( 0.001234=1.234 \times 10^{-3}\quad\) เลื่อนจุดถอยหลังสามครั้งก็คูณด้วยสิบกำลังลบสาม
ต่อไปจะยกตัวอย่างการหาค่าลอการิทึมของจำนวนจริงบวก N ใดๆ...ให้ดูน่ะคับ ค่อยๆอ่านไม่ยากเลยคับ...
แบบฝึกหัด
1.จงหาค่าลอการิทึมของจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เมื่อกำหนด \(\log3.71=0.5694 ,\log8.32=0.9201\)
1) 37,100
ให้หาค่า \(\log37,100 \) ไม่ยากคับง่ายๆ แต่ต้องเขียน 37100 ให้อยู่ในรูปของ \(N_{0}\times 10^{n}\) ก่อนน่ะคับ...เริ่มทำกันเลยดีกว่า
เนื่องจาก
\(37100=3.71 \times 10^{4}\quad\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\log37,100&=&\log(3.17\times 10^{4})\\&=&\log 3.17+\log 10^{4}\\&=&0.5694+4\\&=&4.5694\end{array}
ล็อกคูณเท่ากับล็อกบวกน่ะอย่าลืมสมบัติของล็อก ข้อที่ 1
2) 0.0832
เนื่องจาก
\(0.0832=8.32 \times 10^{-2}\quad\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\log(0.0832)&=&\log(8.32\times 10^{-2})\\&=&\log 8.32+\log 10^{-2}\\&=&0.9201-2\\&=&-1.0799\end{array}
2. จงหาค่า N เมื่อกำหนด \(\log 2.56 = 0.4082\quad \) และค่า \(\log N\quad\)ดังต่อไปนี้
1) 0.4082
\(\log N=0.4082\quad\) เนื่องจาก \(0.4082=\log 256\quad\) แทนค่าลงไปคับ...จะได้
\(\log N=\log 256\quad\) ดังนั้น
\(N=256\quad\) ง่ายๆข้อนี้
ต่อไปจะเป็นตัวอย่างเพิ่มเติมในการหาค่าลอการิทึมน่ะคับ ซึ่งเป็นตัวอย่างที่ผมหามาให้เพิ่มเติม และขอบอกว่าการที่เราจะหาค่าลอการิทึมได้ เราต้องเข้าใจสมบัติของลอการิทึมให้ได้ ซึ่งมีทั้งหมดประมาณแปดข้อ เป็นต้นว่า
\(1. log_{a}MN=log_{a}M+log_{a}N\)
\(2.log_{a}\frac{M}{N}=log_{a}M-log_{a}N\quad\)
นี่คือตัวอย่างของสมบัติของลาการิทึมใครที่ยังจำไม่ได้ก็ตามลิงค์นี้ไปอ่านก่อนน่ะ http://mathpaper.net/index.php/5/246-2013-06-08-14-04-27
เริ่มการหาค่าลอการิทึมเลยดีกว่า เริ่มข้อแรกก่อน
\(1)\\ log15+log12+log5-log9\)
\(=log\frac{(15\times12\times5)}{9}\)
\(=log100\)
\(=log10^{2}\)
\(=2log10\)
\(=2(1)\)
\(=2\)
\(2)\\ log_{4}(log_{3}(log_{2}512))\)
\(=log_{4}(log_{3}(log_{2}2^{9}))\) \(512=2^{9} น่ะจ๊ะ\)
\(=log_{4}(log_{3}9)\)
\(=log_{4}(log_{3}3^{2})\)
\(=log_{4}2\)
\(=log_{2^{2}}2\)
\(=\frac{1}{2}log_{2}2\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(3)\)
\(log_{3}4)(log_{4}5)(log_{5}6)(log_{6}7)(log_{7}9)...(log_{242}243)\)
ข้อนี้ทำไม่ยากคับใช้ความรู้การเปลี่ยนฐานลอการิทึมก็จะเห็นว่าสามารถตัดทอนกันได้
\(=\frac{log4}{log3}\times \frac{log5}{log4}\times \frac{log6}{log5}\) \(\times...\times \frac{log242}{log241}\times \frac{log243}{log242}\)\(\quad\) จะเห็นว่าบางพจน์สามารถตัดทอนกันได้เมื่อตัดแล้วก็จะเหลือ
\(=\frac{log243}{log3}\) เข้าใจไหมจ๊ะ
\(=log_{3}243\)
\(=log_{3}3^{5}\) \(\quad\) รู้น่ะว่า\(\quad\) \(243=3^{5}\)
\(=5log_{3}3\)
\(=5\)
\(4)\\ \frac{1}{1+log_{a}bc}+\frac{1}{1+log_{b}ca}+\frac{1}{1+log_{c}ab}\)\(\quad\)
ง่ายคับข้อนี้ลองอ่านตามแล้วกันค่อยๆดูตามน่ะ
\(=\frac{1}{log_{a}a+log_{a}bc}+\frac{1}{log_{b}b+log_{b}ca}+\frac{1}{log_{c}c+log_{c}ab} \quad\) จะเห็นว่า\(1=log_{a}a,1=log_{b}b \quad\) น่ะจ๊ะ
ต่อไปก็ใช้สมบัติล็อกบวกเท่ากับล็อกคูณ
\(=\frac{1}{log_{a}abc}+\frac{1}{log_{b}bca}+\frac{1}{log_{c}cab}\) \(\quad\) ต่อไปใช้สมบัติข้อนี้น่ะ\(\quad\) \(\frac{1}{log_{a}b}=log_{b}a\)
\(=log_{abc}a+log_{bca}b+log_{cab}c\)
\(=log_{abc}a+log_{abc}b+log_{abc}c\)
\(=log_{abc}abc\)
\(=1\)
หรือดูวิดิโอเพิ่มเติมก็ได้คับ
ต่อไปเราจะลองทำแบบฝึกหัด Pat 1 ที่เกี่ยวกับลอการิทึมดูครับ ข้อสอบไม่ยากครับแต่ต้องจำสมบัติของลอการิทึมให้ได้ครับ มาดูแบบฝึกหัดลอการิทึมกันเลยครับ
1. กำหนดให้ \(a,b,c>1\) ถ้า \(log_{a}d=30\quad , \quad log_{b}d=50\) และ \(log_{abc}d=15\) แล้วค่าของ \(log_{c}d\) เท่ากับเท่าใด [Pat 1(ก.ค.52)/20]
วิธีทำ ข้อนี้ต้องเริ่มต้นให้ถูกครับ คือต้องรู้ว่าต้องเริ่มต้นที่ตรงไหน เขากำหนดสมการให้เรามาสามสมการ คือ
\begin{array}{lcl}log_{a}d&=&30\\\frac{1}{log_{d}a}&=&30\\log_{d}a&=&\frac{1}{30}\quad\cdots (1)\end{array}
ทำต่อครับ
\begin{array}{lcl}log_{b}d&=&50\\\frac{1}{log_{d}b}&=&50\\log_{d}b&=&\frac{1}{50}\quad\cdots (2)\end{array}
ทำต่ออีกครับ
\begin{array}{lcl}log_{abc}d&=&15\\ \frac{1}{log_{d}abc}&=&15\\ log_{d}abc&=&\frac{1}{15}\\ log_{d}a+log_{d}b+log_{d}c&=&\frac{1}{15}\\\frac{1}{30}+\frac{1}{50}+log_{d}c&=&\frac{1}{15}\\ log_{d}c&=&\frac{1}{15}-\frac{1}{30}-\frac{1}{50}\\ log_{d}c&=&\frac{1}{75}\\\frac{1}{log_{c}d}&=&\frac{1}{75}\\ log_{c}d&=&75\end{array}
ดูแล้วก็ยากพอสมควรครับ เพราะต้องจำพวกสมบัติของลอการิทึมครับ และที่สำคัญคือไม่รู้จะเริ่มต้นตรงไหนก่อนนี่แหละครับ ฉนั้นต้องหัดทำแบบฝึกหัดบ่อยๆครับ
2. กำหนดให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ \(3^{5x}\cdot 9^{x^{2}}=27\) และ \(y=\frac{(log_{2}3)(log_{4}5)(log_{6}7)}{log_{4}3)(log_{6}5)(log_{8}7)}\) แล้วค่าของ \(x^{y}\) เท่ากับเท่าใด [Pat 1 (ก.ค.53)/14]
วิธีทำ เขามีสองสมการมาให้เราลองเริ่มแก้จากสมการที่ง่ายๆก่อนครับ เริ่มเลย
\begin{array}{lcl}3^{5x}\cdot 9^{x^{2}}&=&27\\3^{5x}\cdot 3^{2x^{2}}&=&3^{3}\\3^{5x+2x^{2}}&=&3^{3}\\ so\\5x+2x^{2}&=&3\\2x^{2}+5x-3&=&0\\(2x-1)(x+3)&=&0\end{array}
เพราะฉนั้น
\(x=\frac{1}{2}\) หรือ \(x=-3\)
แต่โจทย์บอกว่า \(x\) ต้องเป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้นเราเอาค่าที่ \(x=\frac{1}{2}\) ครับ
ต่อไป ไปดูอีกสมการหนึ่งครับคือสมการนี้ จะทำสมการนี้ได้ต้องใช้ความรู้การเปลี่ยนฐานของลอการิทึมนะครับ ไปอ่านดูดีๆนะ
\begin{array}{lcl}y&=&\frac{(log_{2}3)(log_{4}5)(log_{6}7)}{log_{4}3)(log_{6}5)(log_{8}7)}\\&=&(\frac{log_{2}3}{log_{2^{2}}3})(\frac{log_{4}5}{log_{8}7})(\frac{log_{6}7}{log_{6}5})\\&=&(\frac{log_{2}3}{\frac{1}{2}log_{2}3})(\frac{log_{2^{2}5}}{log_{2^{3}}7})(log_{5}7)\\&=&2(\frac{\frac{1}{2}log_{2}5}{\frac{1}{3}log_{2}7})(log_{5}7)\\&=&2(\frac{3}{2})(log_{7}5)(log_{5}7)\\&=&3(log_{7}5)\frac{1}{log_{7}5}\\&=&3\end{array}
เพราะฉนั้นตอนนี้เราได้ \(x=\frac{1}{2}\) และ \(y=3\)
แต่โจทย์ให้หาค่า \(x^{y}\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}x^{y}&=&(\frac{1}{2})^{3}\\&=&\frac{1}{8}\end{array}
3. กำหนดให้ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงบวก และ \(y\neq 1\)
ถ้า \(log_{y}2x=a\) และ \(2^{y}=b\) แล้ว \(x\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [Pat 1 (มี.ค.53)/10]
- \(\frac{1}{2}(log_{2}b)^{a}\)
- \((2log_{2}b)^{a}\)
- \(\frac{a}{2}(log_{2}b)\)
- \(2a(log_{2}b)\)
วิธีทำ ข้อนี้ถือว่าเป็นข้อแจกคะแนนก็ว่าได้ครับ เพราะแค่เราเปลี่ยนสมการลอการิทึมเป็นสมการเลขยกกำลังได้ และเปลี่ยนสมการเลขยกกำลังเป็นสมการลอการิทึมได้ แค่นี้ก็ทำข้อสอบข้อนี้ได้แล้วครับ
จาก
\begin{array}{lcl}log_{y}2x&=&a&\equiv &2x&=&y^{a}\end{array}
ดังนั้นเราจึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}2x&=&y^{a}\\x&=&\frac{1}{2}y^{a}\quad\cdots \quad (1)\end{array} เก็บสมการนี้ไว้ก่อนครับ
จากอีกสมการหนึ่งคือ
\begin{array}{lcl}2^{y}&=&b&\equiv & y&=&log_{2}b\end{array}
ต่อไปเราก็แทน \(y=\) ด้วย \(log_{2}b\) ในสมการที่ (1) ก็จะได้
\begin{array}{lcl}x&=&\frac{1}{2}y^{2}\\x&=&\frac{1}{2}(log_{2}b)^{a}\end{array}
ดังนั้น ข้อนี้ตอบ choice ที่หนึ่งครับ