ค้นหา

การแก้สมการลอการิทึม

ว้นนี้นำเสนอเรื่อง การแก้สมการลอการิทึม หรือเรียนสั้นๆ ว่าการแก้สมการล็อก การที่จะแก้สมการล็อกได้ก็

จำเป็นต้องอาศัยคุณสมบัติของลอการิทึม มาช่วยในการแก้คับ...ดูตัวอย่างกันเลย

1.จงหาค่าของ x จากสมการต่อไปนี้

1)\(\ln x =10\)

วิธีทำ จากโจทย์  \(\ln x =10\)

เนื่องจาก \(\ln x =\frac{\log x}{\log e} \) จึงได้ว่า

\(\ln x =10\)

\(\frac{\log x}{\log e}=10\)

\(\log x =10\log e\)

\(\log x=\log e^{10}\)  ทำการปลด log คับ จะได้

\(x=e^{10}\)

2)\(\log x=-2\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากน่ะ...ต้องนำคุณสมบัติของล็อกมาใช้ให้เป็นประโยชน์

จากโจทย์

\(\log x=-2\)

\(\log x=-2\log 10 \)  อย่าลืมน่ะ log10=1 ดังนั้นจะเอา log10 มาคูณกับอะไรก็ได้ ค่าไม่เปลี่ยนแปลงคับ

\(\log x=\log 10^{-2}\) ปลดล็อกคับ จะได้

\(x=10^{-2}=\frac{1}{10^{2}}=0.01\)

3)\(\log 2x =\log 2 +5\)

วิธีทำ ดูน่ะไม่ยาก...ใช้สมบัติของล็อกล้วนๆเลย ใครไม่รู้ว่าใช้ยังไง...ใช้ข้อไหนรีบกลับไปดูเลยน่ะ...ตามนี้ คุณสมบัติของลอการิทึม

จากโจทย์

\(\log 2x =\log 2 +5\)

\(\log 2 +\log x=\log 2+5\)

\(\log x=\log 2 -\log 2 +5\)

\(\log x=5\)

\(\log x=5\log 10\)

\(\log x=\log 10^{5}\)  ปลดล็อก

\(x=10^{5}\)

2.จงแก้สมการต่อไปนี้

1)\(x^{2}2^{x}-2^{x}=0\)

วิธีทำ ข้อนี้มีวิธีการทำหลายวิธี...วิธีที่ผมจะแสดงให้ดูเป็น...วิธีแวบแรกที่ผมคิดออกน่ะ...ส่วนใครจะทำวิธีอื่นก็ได้น่ะ

จากโจทย์

\(x^{2}2^{x}-2^{x}=0\)

\(x^{2}x^{2}=2^{x}\)

\(x^{2}=\frac{2^{x}}{2^{x}}\)

\(x^{2}=1\)

\(x=1\)

2)\(4x^{3}e^{-3x}-3x^{4}e^{-3x}=0\)

วิธีทำ จากโจทย์

\(4x^{3}e^{-3x}-3x^{4}e^{-3x}=0\)   ...ดึงตัวร่วมคับ

\(e^{-3x}(4x^{3}-3x^{4})=0\) จากตรงนี้สองพจน์คูณกันแล้วได้ศูนย์...จึงได้ว่า...

\(e^{-3x}=0\)  หรือ \(4x^{3}-3x^{4}=0\)

พิจารณา
\(e^{-3x}=0\)  เป็นไปไม่ได้ เนื่องจาก \( e^{x}>0\) สำหรับจำนวนจริง x

พิจารณา

\(4x^{3}-3x^{4}=0\)

\(x^{3}(4-3x)=0\)  จะได้ว่า

\( x^{3}=0\) หรือ \(4-3x=0\)

\(x=0\) หรือ \(x=\frac{4}{3}\)

ดังนั้น ข้อนี้ ตอบ \( x=0\) หรือ \(x=\frac{4}{3}\)

3) \(e^{2x}-3e^{x}+2=0\)

วิธีทำ

จากโจทย์...

\(e^{2x}-3e^{x}+2=0\)

\((e^{x}-1)(e^{x}-2)=0\)

จะได้ว่า

\(e^{x}-1=0\)  หรือ \(e^{x}-2=0\)

\(e^{x}=1\)  หรือ \(e^{x}=2\)

\(e^{x}=e^{0}\) หรือ \(\ln e^{x}=\ln 2\)

\(x=0\) หรือ \(x\ln e=\ln 2\) จะได้ \(x=\ln 2\)

4) \(x^{\log x}=100x\)

วิธีทำ \(x^{\log x}=100x\)  การทำข้อนี้ เราต้อง take  log เข้าทั้งสองข้างของสมการน่ะ ใส่ log ลงไปเลยคับก็จะได้

\(\log x^{\log x}=\log 100x \)   ทำต่อคับโดยใช้สมบัติของ log

\(\log x \log x =\log 100 +\log x \)   หนึ่งร้อยคือ สิบยกกำลังสองน่ะ ก็จะได้บรรทัดต่อไปคือ

\((\log x)^{2}=\log 10^{2}+\log x \)  ใช้สมบัติของล็อก ก็จะได้

\((\log x)^{2}=2\log 10+\log x \)      ต่อไปจะเห็นว่า log10=1 น่ะก็จะได้

\((\log x)^{2}=2(1)+\log x \)    ย้ายข้างทำให้ฝั่งขวาของสมการเป็น 0

\( (\log x)^{2} - \log x - 2 = 0 \)   ต่อไปเพื่อให้ง่ายต่อการมอง ผมจะใช้วิธีการที่เรียกว่าการ

แทนค่าด้วยตัวแปรโดยให้ \( A= \log x \)  แทนค่าลงไปก็จะได้

\( A^{2} - A - 2 = 0 \)   ต่อไปเราก็ทำการแยกตัวประกอบคับ

\( (A-2)(A+1)=0\)  ต่อไปเราก็จะได้

\( A-2=0\)  หรือ  \( A+1=0\)

พิจารณา \( A-2=0\)  ก่อน

จะได้

\( A=2\)   แทนค่า A กลับซึ่งเมื่อกี่เราให้   A=logx   เราก็จะได้

\(\log x =2\)  ต่อไปแก้สมการหาค่า x คับ  เนื่องจากว่า log10=1 ดังนั้นผมเอา log10 คูณเข้าทางฝั่งขวาของสมการจะได้

\(log x=2\log 10 \)  ค่าไม่เปลี่ยนน่ะ เพราะเหมือนกับการเอา 1 คูณเข้าทำ่ต่อก็จะได้

\(\log x = \log 10^{2}\)   ต่อไปตัด log ทิ้งก็จะได้

\( x=10^{2}=100\)

ต่อไปพิจารณา\( A+1=0\)

จะได้

\( A=-1 \)  แก้สมการเหมือนกันกับข้างบนน่ะพยายามทำเอง

ด้านล่างนี้เป็นโจทย์เสริมเกี่ยวกับการแก้สมการล็อกคับลองฟังดูเพื่อจะเข้าใจกว่าเดิม

5) \(log_{2}x+4log_{x}2=5\)

วิธีการทำข้อนี้จะเห็นว่ามี log ฐาน2 กับ log ฐาน x ฉนั้นควรที่จะทำฐานให้มันเท่ากันในข้อนี้ผมจะทำเป็นlog ฐาน 2 ก็แล้วกันครับ จะได้

\(log_{2}x+4\cdot \frac{1}{log_{2}x}-5=0\)  เพื่อให้ง่ายต่อการแก้สมการผมจะให้ \(log_{2}x=A  น่ะคับ ก็จะได้ \)

\(A+\frac{4}{A}-5=0\)   บรรทัดนี้จะเห็นว่ามีส่วนคือ A พยายามกำจัดส่วน A ออกโดยการนำ A คูณเข้าทั้่งสองข้างของสมการคับ จะได้

\(A(A+\frac{4}{A}-5)=0(A)\)

\(A^{2}-5A+4=0\)   ต่อไปแยกตัวประกอบคับจะได้

\((A-1)(A-4)=0\)  จะได้ว่า

\((A-1)=0 \quad หรือ  \quad(A-4)=0 \)

\(A=1 \quad หรือ\quad A=4 \)  \(\quad\) เมื่อกี๊เราให้ \(A=log_{2}x\quad แทนค่ากลับจะได้\)

\(log_{2}x=1 \quad หรือ \quad log_{2}x=4\)  \(\quad\)  เปลี่ยนจากสมการล็อกเป็นสมการเลขยกกำลังจะได้

\(x=2^{1} \quad หรือ \quad x=2^{4} \)

ตรวจสอบคำตอบเองน่ะคับ เห็นไหมคับง่ายๆไม่ยาก

6) \((logx)^{2}+5(logx)(log2)+6(log)^{2}=0\)

ข้อนี้ง่ายคับเราจะเห็นว่ามีตัวละครสองตัวคือ  \(logx \quad กับ \quad \log2\)

ดังนั้นเพื่อความง่ายต่อการแก้สมการ ผมจะให้ \( logx=A \quad และ \quad log2=B\)  \(\quad\) จะได้

\(A^{2}+5AB+6B=0\) \(\quad\) แยกตัวประกับจะได้

\((A+2B)(A+3B)=0 \) \(\quad\) จะได้

\((A+2B)=0 \quad หรือ \quad (A+3B)=0\) \(\quad\) แทนค่ากลับจะได้

\(logx+2log2=0 \quad หรือ \quad  logx+3log2=0\)

\(logx=-2log2 \quad หรือ \quad logx=-3log2\)

\(logx=log2^{-2} \quad หรือ \quad logx=log2^{-3}\)

\(x=2^{-2}=\frac{1}{4} \quad หรือ \quad x=2^{-3}=\frac{1}{8}\) \(\quad\)

ไม่ยากน่ะ ไม่เข้าใจถามได้น่ะทุกคน

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com