ค้นหา

ลำดับเลขคณิต ม.5 และพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิตภาษาอังกฤษ ใช้คำว่า Arithmetic  Sequence ลำดับเลขคณิตมีลักษณะเป็นเช่นไรนั้น ให้

ลองพิจารณาลำดับที่ผมกำหนดให้ดูดังนี้

1) พิจาารณาลำดับ

1,3,5,7,9,...

จะเห็นว่า ถ้าเอา

3-1=2

5-3=2

7-5=2

9-7=2

นำพจน์ที่อยู่ข้างหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า จะได้ค่าค่าหนึ่งซึ่งคงที่ตลอดจากตัวอย่างคือ 2

ลำดับที่มีลักษณะเช่นนี้ เรียกว่าลำดับ เลขคณิต(Arithmetic Sequence)

2) พิจารณาลำดับ

4,8,12,16,20,24,....

จะเห็นว่า ถ้าเอา

8-4=4

12-8=4

16-12=4

20-16=4

24-20=4

นำพจน์ที่อยู่ข้างหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า จะได้ค่าค่าหนึ่งซึ่งคงที่ตลอดจากตัวอย่างคือ 4

ลำดับที่มีลักษณะเช่นนี้ เรียกว่าลำดับ เลขคณิต(Arithmetic Sequence)

จากตัวอย่างข้อ 1) และ 2)

ค่าที่เกิดจากการนำ พจน์ที่อยู่ด้านหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า  ค่าๆนี้เรียนกว่า ผลต่างร่วม(common difference) เราจะแทนผลต่างร่วมด้วยตัว d

ดังนั้นจึงได้ว่า

ลำดับ 1,3,5,7,9,...

มีผลต่างร่วมหรือว่า d=2

และ

ลำดับ 4,8,12,16,20,24,....

มีผลต่างร่วมหรือ d=4

 

พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ

\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

ไปดูเนื้อหารายละเอียดด้านล่างครับ....

ดูคลิปผ่าน youtube ก็ได้

หลังจากดูคลิปแล้วเรามาทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมดีกว่าคับ พยายามทำความเข้าใจเรื่องนี้ไม่ยาก ไปกันเลย

1.จงหาพจน์ที่ 40 ของลำดับเลขคณิต 1,5,9,13,...

วิธีทำ ข้อนี้เขาให้หา \( a_{40}\)         นั่นเองครับไม่มีอะไรยุ่งยากคับ

จาก \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)       ข้อนี้ n=40         \(a_{1}=1 , d=5-1=4\)

แทนค่าลงไปเลยจะได้

\(a_{40}=1+(40-1)4\)

\(a_{40}=1+39(4)\)

\(a_{40}=1+156\)

\(a_{40}=157\)

นั่นคือ พจน์ที่ 40 คือ 157

2.จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต 6,2,-2,-6,...

วิธีทำ เนื่องจากมันลำดับเลขคณิต ดังนั้น จะมีพจน์ทั่วไปคือ

\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

จากโจทย์  \(a_{1}=6 \quad , d=2-6=-4\)            แทนค่าลงไปเลยคับจะได้

\(a_{n}=6+(n-1)(-4)\)

\(a_{n}=6-4n+4\)

\(a_{n}=10-4n\)            แค่นี้คับเสร็จแล้ว

3.จงหาพจน์แรกของลำดับเลขคณิตที่มี       \(a_{4}=26\)           และ           \(a_{9}=61\)

วิธีทำ ข้อนี้จริงๆแล้วคิดในใจได้ แต่ถ้าถามถึงวิธีคิดทั่วไปคือ คิดแบบนี้น่ะ

จากที่เรารู้ คือ \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

\(a_{4}=a_{1}+(4-1)d\)  แต่ \(a_{4}=26\)                แทนค่าลงไปเลยจะได้ว่า

\(26=a_{1}+3d\)             ให้เป็นสมการที่ 1

\(a_{9}=a_{1}+(n-1)d\)          แต่          \(a_{9}=61\)                แทนค่าลงไปเลยจะได้ว่า

\(61=a_{1}+8d\)                   ให้เป็นสมการที่ 2

ข้อนี้เขาให้หา \(a_{1} \)               จากสมการที่ 1 และ 2  เราสามารถแก้ระบบสมการนี้เพื่อหาค่า \(a_{1}\)              ได้น่ะน่าจะมองออก

นำสมการที่ 2 ลบ  สมการที่ 1 จะได้

\(61-26=(a_{1}+8d)-(a_{1}+3d)\)

\(35=5d\)

\(d=\frac{35}{5}\)

\(d=7\)

นำค่า d=7 ที่เราได้นี้ไปแทนค่าในสมการที่ 1 หรือ สมการที่ 2 ก็ได้เพื่อหาค่า        \(a_{1}\)                 ออกมาผมแทนค่าในสมการที่ 1 นะจะได้

\(26=a_{1}+3d\)

\(26=a_{1}+3(7)\)

\(a_{1}=26-21\)

\(a_{1}=5\)

ข้อนี้ \(a_{1}=5 \)                ไม่ยากคับ ถ้าใครเข้าใจแล้วใช้เวลาทำไม่นานก็ได้แล้ว

4. ถ้า 4,a,b,c,16 เป็นพจน์ห้าพจน์ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต จงหาตัวไม่ทราบค่า

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเรารู้ค่า d  ก็จะหาค่า a,b,c ได้เลย ฉนั้นหาค่า d ให้ได้คับ จากโจทย์จะเห็นว่า

\(a_{1}=4 \)       และ          \(a_{5}=16\)              ข้อมูลที่โจทย์ให้มาเท่านี้ก็สามารถหาค่า d  ได้แล้ว

\(a_{5}=a_{1}+4d\)            แทนค่าลงไปเลยคับ

\(16=4+4d\)

\(d=\frac{16-4}{4}\)

\(d=3\)                 ได้แล้วคับค่า d  ต่อไปทุกอย่างอยู่ในเงื่อมมือเราแล้ว

\(a=a_{1}+d=4+3=7\)

\(b=a+d=7+3=10\)

\(c=b+d=10+3=13\)

5. จงหาว่าระหว่าง 7 กับ 1610 มีจำนวนที่ 6 หารลงตัวทั้งหมดกี่จำนวน

วิธีทำ ข้อนี้ไม่อยากคับ หาตัวเลขที่อยู่ระหว่าง  7 กับ 1610 ซึ่งเป็นเลขที่หารด้วย 6 ลงตัวว่ามีกี่ตัวหรือมีกี่พจน์นั้นเอง

เราก็จะได้ว่า ท่องสูตรคูณแม่ 6 เลยจะได้

7,12,18,24,30,36,42,48,...,1602,1608,1610    ได้แล้วต่อไปเราก็หาค่าตั้งแต่

12,18,24,30,36,...,1602,1608 ซึ่งจำนวนเหล่านี้หารด้วย 6 ลงตัวว่ามีกี่ตัวกี่พจน์ ซึ่งถ้าสังเกตมันเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต

มี \(a_{1}=12,d=6\)               เราก็แค่เพียงหาว่า 1608 เป็นพจน์ที่เท่าไรของลำดับนี้

จาก \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

\(1608=12+(n-1)6\)

\(1608=12+6n-6\)

\(1608=6n+6\)

\(6n=1608-12\)

\(n=\frac{1602}{6}\)

\(n=267\)

เราจะเห็นว่า 1608 เป็นพจน์ที่  267  ของลำดับดังนั้น พจน์นี้มีทั้งหมด 267 พจน์

6. จำนวน -176 เป็นพจน์ที่ เท่าใดของลำดับเลขคณิต -1,-6,-11,...

วิธีทำ ข้อนี้เขาให้หาว่า -176 เป็นตัวที่ท่าไรหรือเป็นพจน์ที่เท่าใดของลำดับนี้

ซึ่งจากโจทย์เราจะเห็นว่า

\(a_{1}=-1\)

\(a_{2}=-6\)

\(a_{3}=-11\)

แล้ว             \(a_{n}=-176\)            ก็คือหาค่า n นั่นเองท่านผู้ชม

จาก \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)            

ซึ่งค่า d=-6-(-1)=-5

\(-176=-1+(n-1)(-5)\)

\(-176=-1-5n+5\)

\(-176=-5n+4\)

\(n=\frac{-176-4}{-5}\)

\(n=36\)

นั่นคือ -176 เป็นพจน์ที่ 36 ของลำดับนี้นะ

7. ถ้าลำดับ         \(x+1,2x+1,4x-2 \)             เป็นลำดับเลขคณิต จงหาค่า x

วิธีทำ เนื่องจากลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิตจึงได้ว่า

\(2x+1-(x+1)=(4x-2)-(2x+1)\)                กระจายลบเข้าไป

\(2x+1-x-1=4x-2-2x-1\)

\(x=2x-3\)

\(x-2x=-3\)

\(-x=-3\)

\(x=3\)

8.ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งมีผลบวก 3 พจน์แรกเท่ากับ 3 และผลคูณ 2 พจน์แรกเท่ากับ -2 จงหาผลต่างร่วม

วิธีทำ การทำข้อนี้เราต้องสมมติตัวแปรขึ้นมาให้เป็นลำดับเลขคณิตซึ่งมี 3 พจน์ เวลาสมมติถ้าเราสมมติแบบนี้

\(a_{1},a_{2},a_{3}\)                 แบบนี้ตามเงื่อนไขของโจทย์เราจะได้ว่า

\(a_{1}+a_{2}+a_{3}=3\)          และ             \(a_{1} \times a_{2}=-2\)              จะเห็นว่ามีสามตัวแปร สองสมการยังไงก็แก้สมการไม่ได้แน่นอน ดังนั้นเราจึงควรสมมติลำดับใหม่  คือ 

ถ้าให้พจน์แรกคือ      \(a  \)

พจน์ที่สองคือ เอาพจน์แรกบวกกับผลต่างร่วมนั่นคือ       \(a+d\)

พจน์ที่สามคือ เอาพจน์ที่สองบวกกับผลต่างร่วมนั่นคือ        \( a+d+d=a+2d\)

ดังนั้นเราจึงได้ลำดับเลขคณิตที่สมมติขึ้นมาใหม่คือ

\(a,a+d,a+2d\)

จากเงื่อนไขในโจทย์เราก็จะได้

\(a+a+d+a+2d=3\)           ให้เป็นสมการที่ 1      และ            \(a\times (a+d)=-2\)             ให้เป็นสมการที่ 2

จากสมการที่ 1 จะได้

\(3a+3d=3\)

\(3(a+d)=3\)

\(a+d=1\)               เอาค่าที่ได้นี้ไปแทนในสมการที่ 2 จะได้

\(a\times 1=-2\)

\(a=-2\) ได้ค่า a แล้วต่อไปหาค่า d ได้

จาก \(a+d=1\)            แทน a ด้วย -2 ลงไปจะได้

\(-2+d=1\)

\(d=1+2\)

\(d=3\) 

Ans  ข้อนี้  d=3

9.ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งมีผลบวก 5 พจน์แรกเท่ากับ 20 ถ้าพจน์ที่สี่ มากกว่าพจน์ที่สองอยู่ 6 จงหาพจน์ที่ 4

วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนข้อที่ 8 ครับ สมมติลำดับขึ้นมาก่อน

เราก็จะได้ \(a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d\)

จากเงื่อนไขในโจทย์เราก็จะได้

\(a+a+d+a+2d+a+3d+a+4d=20\)                 ให้เป็นสมการที่ 1

\(5d+10d=20\)                 เอา 5 หารทั้งสองข้างของสมการ

\(a+2d=4\)

จากเงื่อนไขที่โจทย์บอกมาอีกคือ พจน์ที่ี 4 มากกว่าพจน์ที่ 2 อยู่ 6 เราก็จะได้

\(a+3d)-(a+d)=6\)                เอาพจน์ที่ 4 ลบออกจากพจน์ที่ 2 นั่นเอง

\(a+3d-a-d=6\)

\(2d=6\)

\(d=3\)            ได้ค่า d แล้ว 

โจทย์ให้เราหาพจน์ที่ 4 หรือว่าหาค่า         \(a_{4}\)                นั่นเอง

จาก \(a_{4}=a+3d\)             ค่า d เรารู้แล้วติดตรงค่า a ยังไม่รู้ ต้องไปหาค่า a ให้ได้

จากสมการข้างบน เรารู้ว่า         \(a+2d=4\) 

จะได้ \(a+2(3)=4\)

\(a=4-6\)

\(a=-2\)

ได้ทั้งค่า a และ d แล้ว ก็หาพจน์ที่ 4 ได้

\(a_{4}=a+3d=-2+3(3)=7\)               Ans  ความจริงไม่ยากหรอกพิมพ์ไปพิมพ์มาอ่านดูอีกทียาวเหลือเกิน

10. จงหาว่าลำดับ 100,97,94,91,... มีกี่พจน์ที่เป็นจำนวนเต็มบวก

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเราหาพจน์ทั่วไปได้แล้ว เราก็สามารถหาคำตอบโดยการสุ่มตัวเลขได้ แต่อาจจะค่อนข้างช้าสำหรับคนที่ไม่ค่อยเข้าใจ แต่ผมจะหาคำตอบให้ดูโดยการสร้างเป็นอสมการแล้วหาคำตอบ

ขั้นตอนแรกต้องหา พจน์ทั่วไปก่อนหรือก็คือหา             \(a_{n}\)              นั่นเอง

จากลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต ดังนั้น

\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

\(a_{1}=100, d=97-100=-3\)                  แทนค่าลงไปจะได้

\(a_{n}=100+(n-1)(-3)\)

\(a_{n}=100-3n+3\)

\(a_{n}=103-3n\)

เขาถามว่ามีกี่พจน์ที่เป็นจำนวนเต็มบวก คำว่าจำนวนเต็มบวกคือต้องมากกว่า 0 ดังนั้นเราจึงได้อสมการคือ

\(103-3n>0\)            แก้อสมการคับ

\(-3n>-103\)

\(3n<103\)

\(n<\frac{103}{3}\)

\(n<34.33\)

เนื่องจาก n ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก เราจะได้ว่าจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าและมีค่าใกล์เคียง 34.33 คือ n=34

ข้อนี้ คือ มีจำนวนเต็มบวกทั้งหมด 34 พจน์ Ans

ถ้าเราทำแบบสุ่มตัวเลข ก็ลองแทน n=34 เราก็จะได้

\(a_{34}=103-3(34)=103-102=1\)             เป็นจำนวนเต็มบวก

แต่ถ้าเราแทน n=35 เราก็จะได้

\(a_{35}=103-3(35)=103-105=-2\)               เป็นจำนวนเต็มลบ

นั่นก็หมายความว่าตั้งแต่พจน์ที่ 1-34 จะเป็นจำนวนเต็มบวก 

แต่ตั้งแต่พจน์ที่ 35 เป็นต้นไปจะเป็นจำนวนเต็มลบ 

11. ลำดับเลขคณิต -43,-34,-25,... มีพจน์ที่น้อยกว่า 300 อยู่กี่พจน์

วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนกับข้อข้างบน สุ่มตัวเลขเอาหรือแก้อสมการก็ได้ครับ

แต่ต้องหาพจน์ที่ไปให้ได้ก่อน

จาก \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

\(a_{1}=-43, d=-34-(-43)=9\)

เราจะได้ \(a_{n}=-43+(n-1)9\)

\(a_{n}=-43+9n-9\)

\(a_{n}=9n-52\)

เนื่องจากโจทย์ให้หามีกี่พจน์ที่น้อยกว่า 300 เราจะได้อสมการ

\(9n-52<300\)

\(9n<300+52\)

\(9n<352\)

\(n<\frac{352}{9}\)

\(n<39.1\)              เนื่องจาก n ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกดังนั้นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าใกล้เคียงและน้อยกว่า 39.1 คือ 39

\(n=39\)    Ans ลองแทนค่าเหมือนข้อข้างบนดูได้นะ 

 

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com