ลำดับเลขคณิตภาษาอังกฤษ ใช้คำว่า Arithmetic Sequence ลำดับเลขคณิตมีลักษณะเป็นเช่นไรนั้น ให้
ลองพิจารณาลำดับที่ผมกำหนดให้ดูดังนี้
1) พิจาารณาลำดับ
1,3,5,7,9,...
จะเห็นว่า ถ้าเอา
3-1=2
5-3=2
7-5=2
9-7=2
นำพจน์ที่อยู่ข้างหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า จะได้ค่าค่าหนึ่งซึ่งคงที่ตลอดจากตัวอย่างคือ 2
ลำดับที่มีลักษณะเช่นนี้ เรียกว่าลำดับ เลขคณิต(Arithmetic Sequence)
2) พิจารณาลำดับ
4,8,12,16,20,24,....
จะเห็นว่า ถ้าเอา
8-4=4
12-8=4
16-12=4
20-16=4
24-20=4
นำพจน์ที่อยู่ข้างหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า จะได้ค่าค่าหนึ่งซึ่งคงที่ตลอดจากตัวอย่างคือ 4
ลำดับที่มีลักษณะเช่นนี้ เรียกว่าลำดับ เลขคณิต(Arithmetic Sequence)
จากตัวอย่างข้อ 1) และ 2)
ค่าที่เกิดจากการนำ พจน์ที่อยู่ด้านหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า ค่าๆนี้เรียนกว่า ผลต่างร่วม(common difference) เราจะแทนผลต่างร่วมด้วยตัว d
ดังนั้นจึงได้ว่า
ลำดับ 1,3,5,7,9,...
มีผลต่างร่วมหรือว่า d=2
และ
ลำดับ 4,8,12,16,20,24,....
มีผลต่างร่วมหรือ d=4
พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ
\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
ไปดูเนื้อหารายละเอียดด้านล่างครับ....
ดูคลิปผ่าน youtube ก็ได้
หลังจากดูคลิปแล้วเรามาทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมดีกว่าคับ พยายามทำความเข้าใจเรื่องนี้ไม่ยาก ไปกันเลย
1.จงหาพจน์ที่ 40 ของลำดับเลขคณิต 1,5,9,13,...
วิธีทำ ข้อนี้เขาให้หา \( a_{40}\) นั่นเองครับไม่มีอะไรยุ่งยากคับ
จาก \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\) ข้อนี้ n=40 \(a_{1}=1 , d=5-1=4\)
แทนค่าลงไปเลยจะได้
\(a_{40}=1+(40-1)4\)
\(a_{40}=1+39(4)\)
\(a_{40}=1+156\)
\(a_{40}=157\)
นั่นคือ พจน์ที่ 40 คือ 157
2.จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต 6,2,-2,-6,...
วิธีทำ เนื่องจากมันลำดับเลขคณิต ดังนั้น จะมีพจน์ทั่วไปคือ
\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
จากโจทย์ \(a_{1}=6 \quad , d=2-6=-4\) แทนค่าลงไปเลยคับจะได้
\(a_{n}=6+(n-1)(-4)\)
\(a_{n}=6-4n+4\)
\(a_{n}=10-4n\) แค่นี้คับเสร็จแล้ว
3.จงหาพจน์แรกของลำดับเลขคณิตที่มี \(a_{4}=26\) และ \(a_{9}=61\)
วิธีทำ ข้อนี้จริงๆแล้วคิดในใจได้ แต่ถ้าถามถึงวิธีคิดทั่วไปคือ คิดแบบนี้น่ะ
จากที่เรารู้ คือ \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
\(a_{4}=a_{1}+(4-1)d\) แต่ \(a_{4}=26\) แทนค่าลงไปเลยจะได้ว่า
\(26=a_{1}+3d\) ให้เป็นสมการที่ 1
\(a_{9}=a_{1}+(n-1)d\) แต่ \(a_{9}=61\) แทนค่าลงไปเลยจะได้ว่า
\(61=a_{1}+8d\) ให้เป็นสมการที่ 2
ข้อนี้เขาให้หา \(a_{1} \) จากสมการที่ 1 และ 2 เราสามารถแก้ระบบสมการนี้เพื่อหาค่า \(a_{1}\) ได้น่ะน่าจะมองออก
นำสมการที่ 2 ลบ สมการที่ 1 จะได้
\(61-26=(a_{1}+8d)-(a_{1}+3d)\)
\(35=5d\)
\(d=\frac{35}{5}\)
\(d=7\)
นำค่า d=7 ที่เราได้นี้ไปแทนค่าในสมการที่ 1 หรือ สมการที่ 2 ก็ได้เพื่อหาค่า \(a_{1}\) ออกมาผมแทนค่าในสมการที่ 1 นะจะได้
\(26=a_{1}+3d\)
\(26=a_{1}+3(7)\)
\(a_{1}=26-21\)
\(a_{1}=5\)
ข้อนี้ \(a_{1}=5 \) ไม่ยากคับ ถ้าใครเข้าใจแล้วใช้เวลาทำไม่นานก็ได้แล้ว
4. ถ้า 4,a,b,c,16 เป็นพจน์ห้าพจน์ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต จงหาตัวไม่ทราบค่า
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเรารู้ค่า d ก็จะหาค่า a,b,c ได้เลย ฉนั้นหาค่า d ให้ได้คับ จากโจทย์จะเห็นว่า
\(a_{1}=4 \) และ \(a_{5}=16\) ข้อมูลที่โจทย์ให้มาเท่านี้ก็สามารถหาค่า d ได้แล้ว
\(a_{5}=a_{1}+4d\) แทนค่าลงไปเลยคับ
\(16=4+4d\)
\(d=\frac{16-4}{4}\)
\(d=3\) ได้แล้วคับค่า d ต่อไปทุกอย่างอยู่ในเงื่อมมือเราแล้ว
\(a=a_{1}+d=4+3=7\)
\(b=a+d=7+3=10\)
\(c=b+d=10+3=13\)
5. จงหาว่าระหว่าง 7 กับ 1610 มีจำนวนที่ 6 หารลงตัวทั้งหมดกี่จำนวน
วิธีทำ ข้อนี้ไม่อยากคับ หาตัวเลขที่อยู่ระหว่าง 7 กับ 1610 ซึ่งเป็นเลขที่หารด้วย 6 ลงตัวว่ามีกี่ตัวหรือมีกี่พจน์นั้นเอง
เราก็จะได้ว่า ท่องสูตรคูณแม่ 6 เลยจะได้
7,12,18,24,30,36,42,48,...,1602,1608,1610 ได้แล้วต่อไปเราก็หาค่าตั้งแต่
12,18,24,30,36,...,1602,1608 ซึ่งจำนวนเหล่านี้หารด้วย 6 ลงตัวว่ามีกี่ตัวกี่พจน์ ซึ่งถ้าสังเกตมันเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต
มี \(a_{1}=12,d=6\) เราก็แค่เพียงหาว่า 1608 เป็นพจน์ที่เท่าไรของลำดับนี้
จาก \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
\(1608=12+(n-1)6\)
\(1608=12+6n-6\)
\(1608=6n+6\)
\(6n=1608-12\)
\(n=\frac{1602}{6}\)
\(n=267\)
เราจะเห็นว่า 1608 เป็นพจน์ที่ 267 ของลำดับดังนั้น พจน์นี้มีทั้งหมด 267 พจน์
6. จำนวน -176 เป็นพจน์ที่ เท่าใดของลำดับเลขคณิต -1,-6,-11,...
วิธีทำ ข้อนี้เขาให้หาว่า -176 เป็นตัวที่ท่าไรหรือเป็นพจน์ที่เท่าใดของลำดับนี้
ซึ่งจากโจทย์เราจะเห็นว่า
\(a_{1}=-1\)
\(a_{2}=-6\)
\(a_{3}=-11\)
แล้ว \(a_{n}=-176\) ก็คือหาค่า n นั่นเองท่านผู้ชม
จาก \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
ซึ่งค่า d=-6-(-1)=-5
\(-176=-1+(n-1)(-5)\)
\(-176=-1-5n+5\)
\(-176=-5n+4\)
\(n=\frac{-176-4}{-5}\)
\(n=36\)
นั่นคือ -176 เป็นพจน์ที่ 36 ของลำดับนี้นะ
7. ถ้าลำดับ \(x+1,2x+1,4x-2 \) เป็นลำดับเลขคณิต จงหาค่า x
วิธีทำ เนื่องจากลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิตจึงได้ว่า
\(2x+1-(x+1)=(4x-2)-(2x+1)\) กระจายลบเข้าไป
\(2x+1-x-1=4x-2-2x-1\)
\(x=2x-3\)
\(x-2x=-3\)
\(-x=-3\)
\(x=3\)
8.ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งมีผลบวก 3 พจน์แรกเท่ากับ 3 และผลคูณ 2 พจน์แรกเท่ากับ -2 จงหาผลต่างร่วม
วิธีทำ การทำข้อนี้เราต้องสมมติตัวแปรขึ้นมาให้เป็นลำดับเลขคณิตซึ่งมี 3 พจน์ เวลาสมมติถ้าเราสมมติแบบนี้
\(a_{1},a_{2},a_{3}\) แบบนี้ตามเงื่อนไขของโจทย์เราจะได้ว่า
\(a_{1}+a_{2}+a_{3}=3\) และ \(a_{1} \times a_{2}=-2\) จะเห็นว่ามีสามตัวแปร สองสมการยังไงก็แก้สมการไม่ได้แน่นอน ดังนั้นเราจึงควรสมมติลำดับใหม่ คือ
ถ้าให้พจน์แรกคือ \(a \)
พจน์ที่สองคือ เอาพจน์แรกบวกกับผลต่างร่วมนั่นคือ \(a+d\)
พจน์ที่สามคือ เอาพจน์ที่สองบวกกับผลต่างร่วมนั่นคือ \( a+d+d=a+2d\)
ดังนั้นเราจึงได้ลำดับเลขคณิตที่สมมติขึ้นมาใหม่คือ
\(a,a+d,a+2d\)
จากเงื่อนไขในโจทย์เราก็จะได้
\(a+a+d+a+2d=3\) ให้เป็นสมการที่ 1 และ \(a\times (a+d)=-2\) ให้เป็นสมการที่ 2
จากสมการที่ 1 จะได้
\(3a+3d=3\)
\(3(a+d)=3\)
\(a+d=1\) เอาค่าที่ได้นี้ไปแทนในสมการที่ 2 จะได้
\(a\times 1=-2\)
\(a=-2\) ได้ค่า a แล้วต่อไปหาค่า d ได้
จาก \(a+d=1\) แทน a ด้วย -2 ลงไปจะได้
\(-2+d=1\)
\(d=1+2\)
\(d=3\)
Ans ข้อนี้ d=3
9.ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งมีผลบวก 5 พจน์แรกเท่ากับ 20 ถ้าพจน์ที่สี่ มากกว่าพจน์ที่สองอยู่ 6 จงหาพจน์ที่ 4
วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนข้อที่ 8 ครับ สมมติลำดับขึ้นมาก่อน
เราก็จะได้ \(a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d\)
จากเงื่อนไขในโจทย์เราก็จะได้
\(a+a+d+a+2d+a+3d+a+4d=20\) ให้เป็นสมการที่ 1
\(5d+10d=20\) เอา 5 หารทั้งสองข้างของสมการ
\(a+2d=4\)
จากเงื่อนไขที่โจทย์บอกมาอีกคือ พจน์ที่ี 4 มากกว่าพจน์ที่ 2 อยู่ 6 เราก็จะได้
\(a+3d)-(a+d)=6\) เอาพจน์ที่ 4 ลบออกจากพจน์ที่ 2 นั่นเอง
\(a+3d-a-d=6\)
\(2d=6\)
\(d=3\) ได้ค่า d แล้ว
โจทย์ให้เราหาพจน์ที่ 4 หรือว่าหาค่า \(a_{4}\) นั่นเอง
จาก \(a_{4}=a+3d\) ค่า d เรารู้แล้วติดตรงค่า a ยังไม่รู้ ต้องไปหาค่า a ให้ได้
จากสมการข้างบน เรารู้ว่า \(a+2d=4\)
จะได้ \(a+2(3)=4\)
\(a=4-6\)
\(a=-2\)
ได้ทั้งค่า a และ d แล้ว ก็หาพจน์ที่ 4 ได้
\(a_{4}=a+3d=-2+3(3)=7\) Ans ความจริงไม่ยากหรอกพิมพ์ไปพิมพ์มาอ่านดูอีกทียาวเหลือเกิน
10. จงหาว่าลำดับ 100,97,94,91,... มีกี่พจน์ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเราหาพจน์ทั่วไปได้แล้ว เราก็สามารถหาคำตอบโดยการสุ่มตัวเลขได้ แต่อาจจะค่อนข้างช้าสำหรับคนที่ไม่ค่อยเข้าใจ แต่ผมจะหาคำตอบให้ดูโดยการสร้างเป็นอสมการแล้วหาคำตอบ
ขั้นตอนแรกต้องหา พจน์ทั่วไปก่อนหรือก็คือหา \(a_{n}\) นั่นเอง
จากลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต ดังนั้น
\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
\(a_{1}=100, d=97-100=-3\) แทนค่าลงไปจะได้
\(a_{n}=100+(n-1)(-3)\)
\(a_{n}=100-3n+3\)
\(a_{n}=103-3n\)
เขาถามว่ามีกี่พจน์ที่เป็นจำนวนเต็มบวก คำว่าจำนวนเต็มบวกคือต้องมากกว่า 0 ดังนั้นเราจึงได้อสมการคือ
\(103-3n>0\) แก้อสมการคับ
\(-3n>-103\)
\(3n<103\)
\(n<\frac{103}{3}\)
\(n<34.33\)
เนื่องจาก n ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก เราจะได้ว่าจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าและมีค่าใกล์เคียง 34.33 คือ n=34
ข้อนี้ คือ มีจำนวนเต็มบวกทั้งหมด 34 พจน์ Ans
ถ้าเราทำแบบสุ่มตัวเลข ก็ลองแทน n=34 เราก็จะได้
\(a_{34}=103-3(34)=103-102=1\) เป็นจำนวนเต็มบวก
แต่ถ้าเราแทน n=35 เราก็จะได้
\(a_{35}=103-3(35)=103-105=-2\) เป็นจำนวนเต็มลบ
นั่นก็หมายความว่าตั้งแต่พจน์ที่ 1-34 จะเป็นจำนวนเต็มบวก
แต่ตั้งแต่พจน์ที่ 35 เป็นต้นไปจะเป็นจำนวนเต็มลบ
11. ลำดับเลขคณิต -43,-34,-25,... มีพจน์ที่น้อยกว่า 300 อยู่กี่พจน์
วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนกับข้อข้างบน สุ่มตัวเลขเอาหรือแก้อสมการก็ได้ครับ
แต่ต้องหาพจน์ที่ไปให้ได้ก่อน
จาก \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
\(a_{1}=-43, d=-34-(-43)=9\)
เราจะได้ \(a_{n}=-43+(n-1)9\)
\(a_{n}=-43+9n-9\)
\(a_{n}=9n-52\)
เนื่องจากโจทย์ให้หามีกี่พจน์ที่น้อยกว่า 300 เราจะได้อสมการ
\(9n-52<300\)
\(9n<300+52\)
\(9n<352\)
\(n<\frac{352}{9}\)
\(n<39.1\) เนื่องจาก n ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกดังนั้นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าใกล้เคียงและน้อยกว่า 39.1 คือ 39
\(n=39\) Ans ลองแทนค่าเหมือนข้อข้างบนดูได้นะ
ศึกษาเพิ่มเติมได้ต่อที่คลิปครับผมได้ทำการอัดคลิปสอนเพิ่มเติมไว้คับ
