ค้นหา

ลอการิทึมธรรมชาติ(Natural logarithms)

ลอการิทึมธรรมชาติตั้งชื่อได้สวยงามน่าเรียนมาก หลายคนอาจจะสงสัยว่ามันเป็นอย่างไรมันต่างกันกับ

ลอการิทึมธรรมดาอย่างไร

บอกเลยว่าต่างกันตรงที่ฐานมันคับ คือว่า ลอการิทึมธรรมชาติเป็นลอการิทึมที่มีฐานเป็น e  โดยเจ้า e ตัวนี้เป็นจำนวนอตรรกยะมีค่าประมาณ 2.7182818  ฉนั้นลอการิทึมฐานธรรมชาติจึงเขียนแทนด้วย

\( \log_{e}x\) แต่เพื่อให้มันมีความแตกต่างจากล็อกทั่วไปหรือความไม่มีอะไรทำของนักคณิตศาสตร์อันนี้ก็ไม่รู้ จึงตั้งชื่อใหม่ให้มันอีกครั้งคือ \(\log_{e}x ให้เขียนแทนด้วย \ln x \) นั่นก็คือ เราจะได้ว่า

\( \ln x = \log_{e}x \)  ใช้ความรู้การเปลี่ยนฐานมาช่วยก็จะได้

\( \ln x =\frac{\log x}{\log e} \)  และ \( \log e \ มีค่าประมาณ \ 0.4343 \ ดังนั้นจึงได้\)

\( \ln x =\frac{\log x}{0.4343} \)

เพียงแค่นี้ก็เพียงพอที่เราจะแก้สมการที่มีลักษณะที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมธรรมชาติได้แล้ว ต่อไปผมว่าเรามาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดที่เกี่ยวกับลอการิทึมธรรมชาติกันดีกว่า นำสมบัติของลอการิทึมมาช่วยในการแก้สมการเหมือนเดิมคับ ไปดูกันเลยคับ

1.จงหาค่า \( \ln e \)

วิธีทำ เนื่องจาก \( \ln x = \log_{e}x \) ดังนั้นจึงได้ว่า

\( \ln e = \log_{e}e \)

\( \ln e= \frac{\log e}{\log e }\)

\(\ln e = 1\)


2. จงหาค่า \( \ln 3 + \ln 2 - \ln 6 \)

วิธีทำ ข้อนี้่ก่อนที่จะทำสมบัติที่เกี่ยวกับ \( \log นำมาใช้กับ \ln \) ได้หมดทุกข้อเลยน่ะ ดังนั้นเราจึงได้ว่า

\( \ln 3 + \ln 2 - \ln 6 =\ln(3\times 2) -\ln 6\)

\(=\ln 6 -\ln 6\)

\(=0 \)

ดังนั้น \( \ln 3 + \ln 2 - \ln 6 =0\)


3. \(\ln x =10 \)

วิธีทำ \(\ln x =10 \)

เนื่องจาก \( \ln x =\log_{e}x=\frac{\log x}{\log e}\)   จึงได้ว่า

\(\frac{\log x}{\log e}=10\)

\(\log x=10\log e\)  ตัด \( \log ทิ้งจะได้ \)

\(\log x=\log e^{10}\) ตัด \( \log ทิ้งจะได้ \)

\(x=e^{10}\)


4.\(e^{2x}-3e^{x}+2=0\)

วิธีทำ \(e^{2x}-3e^{x}+2=0\)

วิธีการทำข้อนี้ผมแนะนำให้ใช้วิธีการแทนค่าด้วยตัวแปรเพื่อลดความยุ่งเหยิงเพื่อให้มองดูง่ายขึ้น คือ ให้ \(A=e^{x}\)  จะได้ว่า \(A^{2}=(e^{x})^{2}=e^{2x}\) แทนค่าลงไปในโจทย์ก็จะได้

\(A^{2}-3A+2=0\)  ต่อไปใช้วิธีการแยกตัวประกอบมาช่วยในการแก้สมการจะได้

\( (A-2)(A-1)=0\) จึงได้ว่า

\( (A-2)=0 \ หรือ \ (A-1)=0\) จะได้

\(A=2 \ หรือ \ A=1\)

เราไม่ได้ต้องการหาค่า A ถูกต้องไหม แต่เราต้องการหาค่า x ฉนั้นเราก็แทนค่า A กลับ จากที่ตอนแรกเราให้ \(A=e^{x}\) แทนค่ากลับจะได้

\(e^{x}=2  \ หรือ \ e^{x}=1\)   ต่อไปหาค่า x คับ ก็ take log ลงไปคับจะได้

\(\log e^{x}=\log 2 \ หรือ \ \log e^{x}=\log 1 \)   เวลา take log ต้อง take ท้้งสองฝั่งของสมการน่ะ

ต่อไปแก้สมการคับผมจะทำให้ดูทีละส่วนน่ะ

ส่วนแรกคือ

\(\log e^{x}=\log 2 \)

\(x \log e =\log 2 \)

\(x=\frac{\log 2}{\log e }\)   เปิดตารางลอกคับ ซึ่งจะได้ว่า log=0.3010 และ loge=0.4343  แทนค่าไปเลยก็จะได้

\(x=\frac{0.3010}{0.4343}\)

ส่วนที่สองคิดเองน่ะ


ตัวอย่างที่ 2  จงหาค่าลอการิทึมต่อไปนี้

1)  \(\ln e\)

วิธีทำ  สิ่งการทำโจทย์เกี่ยวกับลอการิทึมธรรมชาติหรือล็อกฐาน e ก็คือนิยามเบื้องต้นของ ล็อกฐาน e นั่นเองซึ่งก็คือ

\(\ln e=log_{e}x=\frac{logx}{loge}=\frac{logx}{0.4343}\)      อย่าลืมนะ \(loge=0.4343\)

มาทำข้อนี้กันต่อเลยครับ ทำตามนิยามข้างบนเลยนะ

\(\ln e=log_{e}e=1\)

2) \(\ln e^{2}\)

วิธีทำ 

\(\ln e^{2}=2\ln e=2log_{e}e=2\)

3)\(\ln e^{-3}\)

วิธีทำ

\(\ln e^{-3}=-3\ln e=-3log_{e}e=-3\)

จากข้อที่ 1-3   ถ้ามองดีจะสามารถสรุปเป็นสูตรได้เลยว่า  \(\ln e^{n}=n\)   นั่นเอง

4)  \(\ln\frac{1}{e}=\ln e^{-1}=-1\)

5)\(\ln\frac{1}{e^{2}}=\ln e^{-2}=-2\)

6) \(e^{2\ln3}\)

วิธีทำข้อนี้ก็ลองทำดูไม่ยากนะ

\(e^{2\ln 3}=e^{2log_{e}3}=e^{log_{e}3^{2}}=3^{2}=9\)

อย่าลืมนะสูตรล็อกข้อนี้ \(a^{log_{a}x}=x\)  ดังนั้น   \(e^{log_{e}x}=x\)

เช่นข้อนี้  \(e^{log_{e}3^{2}}=3^{2}=9\)      นั่นเอง

7) \(e^{\ln \sqrt{2}}\)

วิธีทำ ข้อนี้กับข้อ 6 ทำเหมือกันเลยครับดูดีนะสามารถสรุปเป็นสูตรไปใช้ได้เลยครับ

\(e^{\ln \sqrt{2}}=e^{log_{e}\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

สรุปเป็นสูตรก็คือ

\(e^{\ln x}=x \)    นั่นเอง  ตัวอย่างเช่น

\(e^{\ln5}=5\)

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com