ค้นหา

อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series)

กำหนดให้ \(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\) เป็นลำดับเลขคณิต

ดังนั้น \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}\) เป็นอนุกรมเลขคณิต

ให้ \(S_{n}\) เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต มาดูความหมายของ \(S_{n}\) กันคับว่าหมายความว่าอย่างไร  สมมติว่าผมมีอนุกรมเลขคณิต

\(2+4+6+8+10+12+...\)   ต้องการหา \(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}\)

\(S_{1}=2\)  คือผลบวกของหนึ่งพจน์แรก ซึ่งมีค่าเท่ากับพจน์แรกของอนุกรมนั่นเอง

\(S_{2}=2+4=6\)  ซึ่งก็คือผลบวกสองพจน์แรกของอนุกรม

\(S_{3}=2+4+6=12\) ซึ่งก็คือผลบวกสามพจน์แรกของอนุกรม

\(S_{4}=2+4+6+8=20\) ซึ่งก็คือผลบวกสี่พจน์แรกของอนุกรม

แต่ถ้าเราต้องการหาสูตรทั่วไปในการในการหาผลบวก n พจน์แรก หรือว่าหา \(S_{n}\) ซึ่งเจ้าตัวนี้เป็นตัวที่สำคัญมากเราจำเป็นต้องทำความเข้าใจและจำให้ได้ เพราะว่าเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการเรียนเรื่องนี้ให้เข้าใจ  สำหรับผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตหรือว่า \(S_{n}\) นั้นสามารถหาได้จากสูตร

\(S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n}) \\ or \\ S_{n}=\frac{n}{2}\left(2a_{1}+(n-1)d\right)\)

สำหรับสูตรพวกนี้นั้นมันมาได้อย่างไร ก็ต้องอาศัยการพิสูจน์ซึ่งถ้าใครสนใจการพิสูจน์ก็สามารถหาอ่านได้ตามหนังสือ คณิตศาสตร์ของ สสวท. ซึ่งเขาเขียนพิสูจน์ไว้ดีมาก....

สำหรับการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับเรื่องอนุกรมเลขคณิตนี้ผมก็ได้  สอนและอัดลงวิดีโอข้างล่างนี้แล้วใครสนใจก็ คลิกฟังได้ ไม่เข้าใจตรงไหนก็ถาม ที่สำคัญต้องทำแบบฝึกเพิ่มเติมด้วยน่ะคับ

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด  ผมจะลองทำแบบฝึกหัดให้ดูเป็นตัวอย่างบางข้อคับ ไม่ยากเลยเรื่องนี้ง่ายๆ  แค่ตั้งใจเรียนและทำแบบฝึกหัดบ่อยๆก็น่าจะทำข้อสอบได้แล้ว

1.จงหาผลบวก 50 พจน์แรกของลำดับเลขคณิต 5,7,9,11,13,...

นั่นก็คือหาผลบวก 50 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 5+7+9+11+13+...

จาก \(S_{n}=\frac{n}{2}\big[2a_{1}+(n-1)d\big]\) จะได้

\(S_{50}=\frac{50}{2}\big[2(5)+(50-1)2\big]\)  จากตรงนี้ d=2 น่ะคับ d=7-5=2

\(S_{50}=25\big[10+98\big]\)

\(S_{50}=2700\)

ดังนั้นผลบวก 50 พจน์แรกของอนุกรมนี้คือ 2700

2.จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 6+9+12+15+...+99

ข้อนี้ก็คล้ายกับข้อหนึ่งคับ แต่ผมแน่ะนำให้ใช็สูตรนี้ในการหาคำตอบดีกว่า

จากสูตร \(S_{n}=\frac{n}{2}\big[a_{1}+a_{n}\big]\)

การที่เราจะหาผลบวกอนุกรมนี้ได้เราต้องรู้ก่อนว่าอนุกรมเลขคณิตนี้มีทั้งหมดกี่พจน์วิธีการหาคือใช้ความรู้เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต คือ

\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

\(99=6+(n-1)3\)

\(99=6+3n-3\)

\(3n=99-6+3\)

\(n=\frac{96}{3}\)

\(n=32\)

จะเห็นว่า อนุกรมนี้มีทั้งหมด 32 พจน์นั้นคือถ้าจะหาผลบวกคือต้องหา \(S_{32}\)

\(S_{32}=\frac{32}{2}\big[6+99\big]\)

\(s_{32}=1680\)

3.ชายคนหนึ่งเริ่มทำงานตั้งแต่ปี พ.ศ.2540 โดยได้รับเงินเดือน 9500 บาท ถ้าเขาได้เงินเดือนขึ้นปีละ 700 บาท จงหาว่าในปี พ.ศ. 2550 เขาจะได้รับเงินเดือนเดือนละเท่าไร

ปี2540 ได้เงินเดือนๆละ  9500  บาท

ปี 2541 ได้เงินเดือนๆละ 9500+700=10200 บาท

ปี 2542 ได้เงินเดือนๆละ 10200+700=10900 บาท

โจทย์ถามว่าในปี 2550 จะได้รับเงินเดือนๆละเท่าไร

ใช้ความรู้ของลำดับเลขคณิตมาช่วยเพราะเงินเดือนเขาเพิ่มขึ้นเป็นลำดับเลขคณิต

นับตั้งแต่ปี 2540-2550 นับร่วมกันตั้งแต่ต้นก็เป็น 11 ปี ดังน้้นหาเงินเดือนปีที่ 11 นั่นคือ

\(a_{11}=9500+(11-1)700\)

\(a_{11}=16500\)

ดังนั้น ปี พ.ศ. 2550 เขาได้รับเงินเดือนๆละ 16500 บาท

4.อนุกรมเลขคณิตอนุกรมหนึ่งมีพจน์ที่สิบเป็น 20 และพจน์ที่ห้าเป็น 10 จงหาผลบวกตั้งแต่พจน์ที่ 8 ถึงพจน์ที่ 15

ข้อนี้ดูในคลิปข้างบนคับ ผมเฉลยไว้แล้ว

สำหรับใครที่ต้องการทำโจทย์เพิ่มเติมไปตามลิงค์นี้ครับ  โจทย์อนุกรมเลขคณิต

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com