ระบบจำนวนที่เรารู้จักกันและได้เรียนรู้ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 คือระบบจำนวนจริง(Real Number) แต่ระบบ

จำนวนจริงยังไม่สามารถตอบคำถามบางข้อได้เช่นถ้าเราต้องการแก้สมการพหุนาม

\( x^{2}+1=0\)

\(x^{2}=-1\)

ซึ่งเราจะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดเลยที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบหนึ่ง

ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงแก้ปัญหานี้โดยสร้างระบบจำนวนขึ้นอีกระบบคือ ระบบจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งเราจะได้เรียนรู้กันในชั้น ม.5 นี้

สิ่งแรกที่เราต้องรู้เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนคือ นิยามของจำนวนเชิงซ้อน มาดูนิยามกันเลยคับ

นิยาม จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของจำนวนจริงซึ่งการบวก การคูณและการเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนนั้นกำหนดดังนี้

กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใดๆ

1)\((a,b)=(c,d)\)  ก็ต่อเมื่อ \(a=c\)  และ \(b=d\)

2)\((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) \)

3)\((a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc) \)

นี่คือนิยามเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน และข้อกำหนดเกี่ยวกับการคูณการบวก การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเราจำเป็นต้องจำให้ได้

ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน \(z_{1}=(4,3) \ และ \  z_{2}= (2,5) \) จงหา \(z_{1}+z_{2},z_{1}\cdot z_{2}\)

วิธีทำ การทำข้อนี้ก็ทำตามข้อกำหนดในนิยามเลยคับ

\(z_{1}+z_{2}=(4,3)+(2,5)=(4+2,3+5)=(6,8)\)

\(z_{1}\cdot z_{2}\)

เริ่มหากันเลยคูณกันตามนิยามเลยครับ

\begin{array}{lcl}z_{1}\cdot z_{2}&=&(4,3)\cdot (2,5)\\
&=&\left((4)(2)-(3)(5),(4)(5)+(3)(2)\right)\\
&=&(-7,26)\end{array}

นี่คือการบวกและการคูณกันของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งไม่ยากทำตามนิยามได้เลยคับ

ต่อไปมาดูนิยามเพิ่มเติมของจำนวนเชิงซ้อน


นิยาม กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=(a,b) เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง

เรียน a ว่าส่วนจริง(real part) เขียนแทนด้วย Re(z)

เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) เขียนแทนด้วย Im(z)

ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน \(z_{1}=(2,-4) \ จงหา\) \( Re(z_{1}) \) และ  \(Im(z_{1}) \)

วิธีทำ ง่ายๆเลยคับตามนิยามข้างบนน่ะ

\(Re(z_{1})=2\)

\(Im(z_{1})=-4\)

เนื่องจาก จำนวนเชิงซ้อนใดๆที่อยู่ในรูปคู่อันดับ \((a,b)\)  สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ \(a+bi\)  ได้ ดังนั้นเขาจึงนิยมเขียนจำนวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปของ a+bi  เพราะสะดวกในการนำไปใช้มากกว่าครับ ตัวอย่างเช่น

\((2,4)\)  มันก็คือ   \(2+4i\)

\((-3,9)\)  มันก็คือ   \(-3+9i\)

\((-8,-2)\)  มันก็คือ   \(-8-2i\)   นั่นเองครับ

ต่ออีกนิดหนึ่งจำนวนเชิงซ้อนเขียนให้อยู่ในรูป  \(a+bi\)   

จะเรียก  \(a\)  ว่าส่วนจริง  (Real part) 

จะเรียก \(b\) ว่าส่วนจินตภาพ(Imaginary part)

ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน  \(z=7+9i\)  จงหา

1. \(Re(z)\) [หมายถึงส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z]

2. \(Im(z)\) [หมายถึงส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z]

วิธีทำ  ข้อนี้ง่ายๆเลยครับ

จาก   \(z=7+9i\)  จะได้

\(Re(z)=7\)

\(Im(z)=9\)

ส่วนการบวก การลบการคูณของจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูปของ \(a+bi\) ก็ทำเหมือนกับการบวก ลบ คูณหารพหุนามทั่วไปครับ เช่น

ตัวอย่าง กำหนด \(z_{1}=2-4i ,\quad z_{2}=4+6i\)  จงหา

1.1)  \begin{array}{lcl}z_{1}+z_{2}&=&2-4i+4+6i\\&=&2+4-4i+6i\\&=&6+2i\end{array}

1.2)  \begin{array}{lcl}z_{1}\cdot z_{2}&=&(2-4i)(4+6i)\\&=&(2)(4)+(6i)(-4i)+4(-4i)+2(6i)\\&=&8-24i^{2}-16i+12i\\&=&8+24-2i\\&=&32-2i\end{array}    อย่าลืมนะ \(i^{2}=-1\)

1.3) \begin{array}{lcl}z_{1}-z_{2}&=&(2-4i)-(4+6i)\\&=&2-4i-4-6i\\&=&2-4-4i-6i\\&=&-2-10i\end{array}

อ่านเพิ่มเติมเรื่องจำนวนเชิงซ้อน ตามลิงค์นี้อีกลิงค์ครับ

และนี้คือหัวข้อต่างๆที่จะได้เรียนทั้งหมดในเรื่องของจำนวนเชิงซ้อนครับ

การหารจำนวนเชิงซ้อน

กราฟของจำนวนเชิงซ้อน

ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน

รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

การคูณกันของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน(complex number) อีกอันหนึ่งที่ผมได้เขียนอธิบายไว้ลองๆไปอ่านดูครับ

ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์ ( De Moivre"s Theorem)

การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

การแก้สมการจำนวนเชิงซ้อน

รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน

ฝึกทำแบบฝึกหัดจำนวนเชิงซ้อน

การบวก การลบ จำนวนเชิงซ้อน