ระบบจำนวนที่เรารู้จักกันและได้เรียนรู้ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 คือระบบจำนวนจริง(Real Number) แต่ระบบ
จำนวนจริงยังไม่สามารถตอบคำถามบางข้อได้เช่นถ้าเราต้องการแก้สมการพหุนาม
\( x^{2}+1=0\)
\(x^{2}=-1\)
ซึ่งเราจะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดเลยที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบหนึ่ง
ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงแก้ปัญหานี้โดยสร้างระบบจำนวนขึ้นอีกระบบคือ ระบบจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งเราจะได้เรียนรู้กันในชั้น ม.5 นี้
สิ่งแรกที่เราต้องรู้เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนคือ นิยามของจำนวนเชิงซ้อน มาดูนิยามกันเลยคับ
นิยาม จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของจำนวนจริงซึ่งการบวก การคูณและการเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนนั้นกำหนดดังนี้
กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใดๆ
1)\((a,b)=(c,d)\) ก็ต่อเมื่อ \(a=c\) และ \(b=d\)
2)\((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) \)
3)\((a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc) \)
นี่คือนิยามเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน และข้อกำหนดเกี่ยวกับการคูณการบวก การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเราจำเป็นต้องจำให้ได้
ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน \(z_{1}=(4,3) \ และ \ z_{2}= (2,5) \) จงหา \(z_{1}+z_{2},z_{1}\cdot z_{2}\)
วิธีทำ การทำข้อนี้ก็ทำตามข้อกำหนดในนิยามเลยคับ
\(z_{1}+z_{2}=(4,3)+(2,5)=(4+2,3+5)=(6,8)\)
\(z_{1}\cdot z_{2}\)
เริ่มหากันเลยคูณกันตามนิยามเลยครับ
\begin{array}{lcl}z_{1}\cdot z_{2}&=&(4,3)\cdot (2,5)\\
&=&\left((4)(2)-(3)(5),(4)(5)+(3)(2)\right)\\
&=&(-7,26)\end{array}
นี่คือการบวกและการคูณกันของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งไม่ยากทำตามนิยามได้เลยคับ
ต่อไปมาดูนิยามเพิ่มเติมของจำนวนเชิงซ้อน
นิยาม กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=(a,b) เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง
เรียน a ว่าส่วนจริง(real part) เขียนแทนด้วย Re(z)
เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) เขียนแทนด้วย Im(z)
ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน \(z_{1}=(2,-4) \ จงหา\) \( Re(z_{1}) \) และ \(Im(z_{1}) \)
วิธีทำ ง่ายๆเลยคับตามนิยามข้างบนน่ะ
\(Re(z_{1})=2\)
\(Im(z_{1})=-4\)
เนื่องจาก จำนวนเชิงซ้อนใดๆที่อยู่ในรูปคู่อันดับ \((a,b)\) สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ \(a+bi\) ได้ ดังนั้นเขาจึงนิยมเขียนจำนวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปของ a+bi เพราะสะดวกในการนำไปใช้มากกว่าครับ ตัวอย่างเช่น
\((2,4)\) มันก็คือ \(2+4i\)
\((-3,9)\) มันก็คือ \(-3+9i\)
\((-8,-2)\) มันก็คือ \(-8-2i\) นั่นเองครับ
ต่ออีกนิดหนึ่งจำนวนเชิงซ้อนเขียนให้อยู่ในรูป \(a+bi\)
จะเรียก \(a\) ว่าส่วนจริง (Real part)
จะเรียก \(b\) ว่าส่วนจินตภาพ(Imaginary part)
ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน \(z=7+9i\) จงหา
1. \(Re(z)\) [หมายถึงส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z]
2. \(Im(z)\) [หมายถึงส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z]
วิธีทำ ข้อนี้ง่ายๆเลยครับ
จาก \(z=7+9i\) จะได้
\(Re(z)=7\)
\(Im(z)=9\)
ส่วนการบวก การลบการคูณของจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูปของ \(a+bi\) ก็ทำเหมือนกับการบวก ลบ คูณหารพหุนามทั่วไปครับ เช่น
ตัวอย่าง กำหนด \(z_{1}=2-4i ,\quad z_{2}=4+6i\) จงหา
1.1) \begin{array}{lcl}z_{1}+z_{2}&=&2-4i+4+6i\\&=&2+4-4i+6i\\&=&6+2i\end{array}
1.2) \begin{array}{lcl}z_{1}\cdot z_{2}&=&(2-4i)(4+6i)\\&=&(2)(4)+(6i)(-4i)+4(-4i)+2(6i)\\&=&8-24i^{2}-16i+12i\\&=&8+24-2i\\&=&32-2i\end{array} อย่าลืมนะ \(i^{2}=-1\)
1.3) \begin{array}{lcl}z_{1}-z_{2}&=&(2-4i)-(4+6i)\\&=&2-4i-4-6i\\&=&2-4-4i-6i\\&=&-2-10i\end{array}
อ่านเพิ่มเติมเรื่องจำนวนเชิงซ้อน ตามลิงค์นี้อีกลิงค์ครับ
และนี้คือหัวข้อต่างๆที่จะได้เรียนทั้งหมดในเรื่องของจำนวนเชิงซ้อนครับ
ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อน(complex number) อีกอันหนึ่งที่ผมได้เขียนอธิบายไว้ลองๆไปอ่านดูครับ
ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์ ( De Moivre"s Theorem)
การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว