ค้นหา

รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน

สวัสดีทุกท่าน วันนี้พอมีเวลาว่างก็เลยมาเขียนบทความสักหน่อย  เป็นเรื่องเกี่ยวกับรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน ก็เหมือนกับรากที่สองของจำนวนจริงคับ

ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน  รากที่สองของ z ก็คือ จำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ z  เห็นไหมเหมือนจำนวนจริงเลยเรามาดูทฤษฎีเกี่ยวกับ รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนกันดีกว่าคับ

ทฤษฎีบท ให้ \( z=x+yi \)  และ  \( r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) รากที่สองของ  z  คือ

\( \pm\left(\sqrt{\frac{r+x}{2}}+\sqrt{\frac{r-x}{2}}i\right)\)   เมื่อ \(y\geq 0 \)

\(\pm\left(\sqrt{\frac{r+x}{2}}-\sqrt{\frac{r-x}{2}}i\right)\) เมื่อ \(y<0\)

นี่คือทฤษฎีที่ใช้ในการหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งผมคิดว่าหลายคนอ่านแล้วคงจะงง เพื่อให้

ชัดเจนขึ้นจะขอยกตัวอย่างให้เห็นชัดเจน ดูตัวอย่างกันเลยคับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน \(-7-24i\)

ใช้ทฤษฎีหาเลยคับไม่ยากคับ

จากจำนวนเชิงซ้อนที่โจทย์ให้มาคือ\(\quad\) \(-7-24i\)   \(\quad\)   เมื่อนำไปเทียบกับ  \(\quad\) \(x+yi\)   \(\quad\) จะเห็นว่า

\(x=-7  \  และ  \  y= -24 \) \(\quad\)    จะเห็นว่า ค่า\(\quad\)   \(y<0\) \(\quad\)  ดังนั้น สูตรที่ใช้ในการหารากที่สองสูตรที่สอง คือ

\(\pm\left(\sqrt{\frac{r+x}{2}}-\sqrt{\frac{r-x}{2}}i\right)\)

เราต้องหา ค่า r ก่อนคับซึ่ง \(\quad\)     \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

\(r=\sqrt{(-7)^{2}+(-24)^{2}}\)

\(r=\sqrt{49+576}\)

\(r=\sqrt{625}\)

\(r=25\)

แทนค่าลงไปในสูตรได้เลยคับจะได้

\(\pm\left(\sqrt{\frac{r+x}{2}}-\sqrt{\frac{r-x}{2}}i\right)\)

\(\pm\left(\sqrt{\frac{25+(-7)}{2}}-\sqrt{\frac{25-(-7)}{2}}i\right)\)

\(\pm\left(\sqrt{\frac{18}{2}}-\sqrt{\frac{32}{2}}i\right)\)

\(\pm\left(\sqrt{9}-\sqrt{16}i\right)\)

\(\pm\left(3-4i\right)\)

จะได้ว่า รากที่สองของ \(\quad\)   \(-7-24i\) \(\quad\) คือ

3-4i และ -3+4i  ไม่ยากแต่ก็ไม่ง่าย ต้องหัดทำน่ะคับเวลาสอบจะได้ทำได้


ตัวอย่างที่ 2    จงหารากที่สองของ -16i

จากจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ คือ -16i =0-16i  ถ้าเทียบกับ x+yi จะเห็นว่า x=0 และ y=-16  ซึ่งค่า y<0 ดังนั้นสูตรที่เราใช้ในการหารากที่สองคือ

\(\pm\left(\sqrt{\frac{r+x}{2}}-\sqrt{\frac{r-x}{2}}i\right)\)

เราต้องหาค่า r ก่อนคับ  \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)  \(\quad\)   แทนค่าลงไปเลยคับ

\(r=\sqrt{0^{2}+(-16)^{2}}\)

\(r=16\)

แทนค่าลงไปในสูตรอีกคับ

\(\pm\left(\sqrt{\frac{16+0}{2}}-\sqrt{\frac{16-0}{2}}i\right)\)

\(\pm\left(\sqrt{\frac{16}{2}}-\sqrt{\frac{16}{2}}i\right)\)

\(\pm\left(\sqrt{8}-\sqrt{8}i\right)\)

\(\pm(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}i)\)

จะได้ว่ารากที่สองของ -16i คือ

\(2\sqrt{2}-2i\) และ \(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i\)


ตัวอย่างที่ 3 จงหารากที่สองของ 5+12i

จากโจทย์จะเห็นว่า x=5  และ y=12  ซึ่งมีค่ามากกว่าศูนย์ดั้งนั้นใช้สูตร

\( \pm\left(\sqrt{\frac{r+x}{2}}+\sqrt{\frac{r-x}{2}}i\right)\)

หาค่า r ก่อนนะคับ

\(r=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{169}=13\)

เมื่อได้ค่า r=13 แล้วก็นำไปแทนค่าในสูตรเลยคับ จะได้

\( \pm\left(\sqrt{\frac{13+5}{2}}+\sqrt{\frac{13-5}{2}}i\right)\)

\( \pm\left(3+2i\right)\)

จะได้ว่ารากที่สองของ 5+12i คือ 3+2i และ -3-2i

ตัวอย่างเพียงสามข้อก็น่าจะทำให้เห็นภาพการหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน ที่เหลือก็เป็นหน้าที่ของพวกเราที่ต้องไปฝึกหัดทำเพิ่มเติม ครั้งต่อไปเป็นวิดีโอน่ะครับอย่างไรก็ตามถ้าไม่เข้าใจอย่างไรก็สอบถามที่โพสต์ได้คับ....สวัสดีคับ

 

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com