ก่อนจะเข้าสู่เรื่องการแก้สมการที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน ผมก็ขอเกริ่นนำนิดหนึ่งเพื่อความเข้าใจก่อนที่จะมีจำนวนเชิงซ้อนเกิดขึ้นมาเนียะ แต่ก่อนนั้นมีแค่สิ่งที่เรียกว่าจำนวนจริงเท่านั้น  แต่ติดปัญหาตรงที่ว่า ถ้าเราต้องการแก้สมการ

\(x^{2}+1=0\)

\(x^{2}=-1\)  ซึ่งเราจะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดเลยที่ยกกำลังสองแล้วได้ -1 เพื่อแก้ปัญหานี้นักคณิตศาสตร์ก็เลยสร้างระบบจำนวนขึ้นมาอีกระบบหนึ่งเรียกว่า จำนวนเชิงซ้อน(Complex Number) ซึ่งจำนวนเชิงซ้อนนี้เรียกได้ว่าเป็นพ่อทุกสถาบันเพราะจำนวนจริง(Real Number) ที่เคยใหญ่ก็ยังเป็นแค่สับเซตของจำนวนเชิงซ้อน

จากสมการ  \(x^{2}=-1\)

นักคณิตศาสตร์ก็เลยกำหนดร่วมกันว่าถ้าอย่างนั้นให้   \(x=\sqrt{-1}\)    แล้วกันซึ่งเพื่อให้เกิดความแตกต่างก็เลยใช้ตัวแปรใหม่ไม่ใช้ x แล้ว เลยกำหนดสัญลักษณ์ดังนี้

ให้  \(i=\sqrt{-1}\)      เรียกเจ้า i นี้ว่า หน่วยจินตภาพ(Imaginary Unit)

และเรียกจำนวนเต็มลบที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ เช่น

\(\sqrt{-4}\)

\(\sqrt{-9}\)

\(\sqrt{-11}\)

ว่า จำนวนจินตภาพ (Imaginary Number)มาดูนิยามเกี่ยวกับจำนวนจินตภาพที่สำคัญ

นิยาม

ให้ a เป็นจำนวนจริงบวกกำหนด \(\sqrt{-a}=\sqrt{a}i\)

ตัวอย่างเช่น

\(\sqrt{-4}=\sqrt{4}i=2i\)

\(\sqrt{-9}=\sqrt{9}i=3i\)

\(\sqrt{-11}=\sqrt{11}i\)

เกริ่นนำมาก็ยาวมาก คิดว่าคงยังไม่หลับกันน่ะคับมาดูการแก้สมการกันเลยดีกว่าคับ

1.จงหาเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้

1)  \(x^{2}=-4 \)         การแก้ก็ง่ายๆเลยคับคล้ายกับการแก้สมการในระบบจำนวนจริง

จะได้ \(x=\pm\sqrt{-4}\)

\(x=\pm\sqrt{4}i\)

\(x=\pm 2i \)


2) \(x^{2}+48=0\)

ทำเหมือนกันกับข้อที่ 1 ครับ

\(x^{2}+48=0\)

\(x^{2}=-48\)

\(x=\pm\sqrt{-48}\)

\(x=\pm\sqrt{48}i\)

\(x=\pm\sqrt{16\times 3}i\)

\(x=\pm 4\sqrt{3}i\)


3)  \(x^{2}-2x+40=0\)

จะเห็นว่าข้อที่ 3 นี้เป็นสมการกำลังสอง (quadratic equation)

การแก้สมการกำลังสองถ้าแยกตัวประกอบได้ก็แยกไป แต่ถ้าแยกไม่ได้วิธีที่นิยมทำกันคือ ใช้สูตร ซึ่งในข้อนี้ผมจะใช้สูตร พวกเรายังจำสูตรกันได้ไหมเอ่ย  ถ้าเรามีสมการกำลังสอง ซึ่งอยู่ในรูป \(ax^{2}+bx+c=0\) สามารถหาคำตอบของสมการกำลังสองนี้โดยใช้สูตร

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

แทนค่า a,b,c ลงไปในสมการข้างต้นเลยคับ จากโจทย์จะเห็นว่า

a=1,b=-2,c=40 แทนค่าลงไปจะได้

\(x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4(1)(40)}}{2(1)}\)

\(x=\frac{2\pm\sqrt{4-160}}{2}\)

\(x=\frac{2\pm\sqrt{-156}}{2}\)

\(x=\frac{2\pm\sqrt{156}i}{2}\)

เพียงแค่นี้คิดว่าคงพอมองเห็นภาพน่ะ ทำต่อเองในคับถอดรูทของ 156 และถ้าตัดทอนได้ก็ตัดทอนต่อ


4)  \(3z^{2}+5z+3=0\)          มองเป็นสมการกำลังสองธรรมดา ไม่มีอะไรยุ่งยากที่แยกตัวประกอบได้ก็แยกถ้าไม่ได้ก็ใช้สูตรไปเลยคับ

\(z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)                 แทนค่าลงไปเลยพี่น้อง a=3,b=5,c=3 จะได้

\(z=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4(3)(3)}}{2(3)}\)

\(z=\frac{-5\pm\sqrt{25-36}}{6}\)

\(z=\frac{-5\pm\sqrt{-11}}{6}\)

\(z=\frac{-5\pm\sqrt{11}i}{6} \quad  Ans\)


5)  \(x^{2}-x-6=0\)

จาก \(x^{2}-x-6=0\)              จะได้

\((x-3)(x+2)=0\)                   จะได้

\(x-3=0\quad หรือ \quad x+2=0\)

\(x=3 \quad หรือ \quad x=-2\)             ตรวจสอบคำตอบเองน่ะ


6)  \(x^{6}-1=0  \)    เอกภพสัมพัทธ์คือจำนวนเชิงซ้อนน่ะคับ

\((x^3)^{2}-1^{2}=0\)                 ใช้ผลต่างกำลังสองได้น่ะ

\( (x^{3}-1)(x^{3}+1)=0\)

\((x^{3}-1^{3})(x^{3}+1^{3})=0\)                    ใช้ผลต่างและผลบวกกำลังสามได้น่ะ

\((x-1)(x^{2}+x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)=0\)    จะได้

\(x-1=0\quad\) หรือ \(x^{2}+x+1=0\quad\)  หรือ \( x+1=0\quad\)  หรือ \( x^{2}-x+1=0\)

จะได้

\(x-1=0 \)

\(x=1\)  ได้แล้วคำตอบตัวแรก

หรือ

\(x^{2}+x+1=0\quad \) หาคำตอบตัวนี้จำเป็นต้องใช้สูตร

\(x=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4(1)(1)}}{2(1)}\)

\(x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}\)

\(x=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)   ได้แล้วคำตอบตัวที่สองและสาม

หรือ

\(x+1=0 \)

\(x=-1\)   ได้แล้วคำตอบตัวที่สี่

หรือ

\(x^{2}-x+1=0 \quad\)  หาคำตอบตัวนี้จำเป็นต้องใช้สูตร 

\(x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4(1)(1)}}{2(1)}\)

\(x=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}\)

\(x=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}\)   ได้แล้วคำตอบตัวที่ห้าและหก  สรุปข้อนี้มี 6 คำตอบคับ ถ้าเขียนเป็นเซตก็คือ

\(x=\{1,-1,\frac{1+\sqrt{3}i}{2},\frac{1-\sqrt{3}i}{2},\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\}\)


7)\((x+1)^{2}+49=0\)

\((x+1)^{2}-(7i)^{2}=0\)

\((x+1-7i)(x+1+7i)=0\)

\(x+1-7i=0 \quad หรือ \quad x+1+7i=0\)

\(x=7i-1,x=-1-7i\)


2. จงหาจำนวนจริง \(a\)   และ  \(b\) ในข้อต่อไปนี้

1)  \(2a-3bi=4+6i\)

วิธีทำ การทำข้อนี้ก็ใช้นิยามการเท่ากับของจำนวนเชิงซ้อนในการทำครับก็คือ

\(a+bi=c+di\)  ก็ต่อเมื่อ  \(a=c\)  และ  \(b=d\) 

ดังนั้นข้อนี้

จาก  \(2a-3bi=4+6i\)  จะได้

\(2a=4\)

\(a=\frac{4}{2}=2\)

และ

\(-3b=6\)

\(b=\frac{6}{-3}\)

\(b=-2\)

ดังนั้น a=2 ,b=-2


2)  \(2a+bi=10\)

วิธีทำ

\(2a+bi=10+0i\)   จะได้

\(2a=10\)

\(a=\frac{10}{2}=5\)

และ

\(b=0\)

ดังนั้น \(a=5,b=0\)


3) \((a+bi)(2+5i)=3-i\)

วิธีทำ จัดสมการก่อนครับ

\begin{array}{lcl}(a+bi)(2+5i)&=&3-i\\2a+5bi^{2}+2bi+5ai&=&3-i\\2a-5b+(2b+5a)i&=&3-i\end{array}

ดังนั้น จากตรงนี้เราจะได้ว่า

\(2a-5b=3\)   ให้เป็นสมการที่ 1

และ

\(2b+5a=-1\)   ให้เป็นสมการที่ 2

ลองแก้ระบบสมการนี้ดูครับ

เอา 5 คูณเข้าสมการที่ 1  จะได้

\(5(2a-5b)=5\times 3\)

\(10a-25b=15\)   ให้สมการนี้เป็นสมการที่ 3

เอา 2 คูณเข้ากับสมการที่ 2 จะได้

\(2(2b+5a)=2\times -1\)

\(4b+10a=-2\)   ให้สมการนี้เป็นสมการที่ 4

ต่อไปเอาสมการที่ 3 และสมการที่ 4  มาลบกันครับจะได้

\begin{array}{lcl}(10a-25b)-(4b+10a)&=&15-(-2)\\10a-25b-4b-10a&=&17\\-29b&=&17\\b&=&-\frac{17}{29}\end{array}

แทน b ด้วย \(-\frac{17}{29}\) ในสมการที่ 1  เพื่อหาค่า \(a\) จะได้

จากสมการที่ 1 คือ

\(2a-5b=3\) 

\(2a-5(-\frac{17}{29})=3\)

\(2a+\frac{85}{17}=3\)

\(2a=3-\frac{85}{17}\)

\(2a=\frac{51-85}{17}\)

\(2a=\frac{-34}{17}\)

\(2a=-2\)

\(a=-1\)

นั่นคือ

\(a=-1\quad b=-\frac{17}{29}\)

Pin It