ค้นหา

พื้นฐานเรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หลักจากที่ไม่ได้อัพเดทเว็บไซด์มาระยะหนึ่งวันนี้ก็ได้ฤกษ์ยาม ยังอยู่ที่เรื่องของฟังก์ชันตรีโกณมิติน่ะจ๊ะ ในหัวข้อย่อยคือ ผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เป็นพื้นฐานน่ะจ๊ะ ดูพื้นฐานเบื้องต้นให้เข้าใจก่อน และค่อยต่อยอดน่ะทุกคนจริงๆแล้วไม่ยากดอก ง่ายๆ ฟังจากใน youtube น่ะ ผมอัพโหลดลงเมื่อตะกี๊(2/09/2558)เวลา

หกโมงเย็นกว่าๆหรืออาจจะเป็นทุ่มหนึ่งแต่ช่างมันเถอะ ดูแล้วเข้าใจไม่เข้าใจอย่างไรก็เม้นบอกหน่อยแล้วกันจะได้แก้ไข และอาจจะมีตัวอย่างเพิ่มเติมเร็วนี้แต่วันนี้เอาแค่ในวิดีโอก่อน แล้วกัน เหนื่อยแล้ว   ดูผ่าน pc หรือ laptop น่ะ สมาร์ทโฟนอาจดูไม่ได้

มาดูการทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมดีกว่า เป็นแบบฝึกหัดเกี่ยวกับผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติแต่ก่อนทำแบบฝึก

หัดส่ิงที่ควรรู้คือ

\(-\frac{\pi}{2}\leq\arcsin x\leq\frac{\pi}{2}\)  คือค่าของอาร์คไซน์ต้องอยู่ในช่วงนี้เท่าน้นน่ะ

\(0\leq \arccos x \leq \pi \)  อาร์คคอสต้องอยู่ในช่วงนี้น่ะ

\(-\frac{\pi}{2}<\arctan x < \frac{\pi}{2}\)  อาร์คแทน ต้องอยู่ในช่วงนี้น่ะ

1.จงหาค่าต่อไปนี้

\(1)\quad \arcsin 0\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากคับ เพื่อความง่ายต้องกำหนดก่อน

ให้ \(arcsin 0 = y\)  ให้อาร์คไซน์ 0 เท่ากับตัวแปรอะไรสักอย่างหนึ่ง เป็นตัวแปร y หรือตัวแปร \(\theta \) อะไรก็ได้หนึ่งตัวต่อไปก็เปลี่ยนสมการ  คือเปลี่ยนจาก arcsin x =y เปลี่ยนให้เป็น sin y= x  ซึ่งถ้าเปรียบเทียบกันดูจะเห็นว่า x คือเลข 0 นั่นเอง ดังนั้นเราจะได้ว่า

\(arcsin 0 = y\)  เปลี่ยนเป็น

\(sin y =0\) อย่าลืมเงื่อนไขน่ะคับ y ต้องอยู่ในช่วงนี้ \(-\frac{\pi}{2}\leq y \leq \frac{\pi}{2}\)    ต่อไปเราก็หาค่า y คับ ไซน์ของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเป็น 0 โดยที่มุมนั้นอยู่ในช่วง \(-\frac{\pi}{2}\leq y \leq \frac{\pi}{2}\)   ซึ่งเราจะเห็นว่า

\(sin 0 =0 \)

ดังนั้นเราจะได้ว่า  y=0

จากที่เราให้ \(arcsin 0 = y\) จะได้

\(arcsin 0 = 0\)

ตอบ 0   งงดูที่คลิปน่ะจ๊ะ

\( 2)\quad \arccos 1 \)

วิธีทำ ให้ \(arccos 1 =y \)  จะได้

\(\cos y=1\)  โดยที่ \(0\leq y \leq \pi\)

เนื่องจาก \(\cos \frac{\pi}{2}=1\)

ดังนั้น \(y=\frac{\pi}{2}\)

ตอบ \(\frac{\pi}{2}\)

\( 3) \quad \arcsin (-1) \)

วิธีทำ ให้ \( \quad \arcsin (-1)=y \)  จะได้

\( \sin y= -1\) เมื่อ \( -\frac{\pi}{2}\leq y \leq \frac{\pi}{2}\)

เนื่องจาก \( \sin (-\frac{\pi}{2})= -1\)

ดังนั้น \(y=-\frac{\pi}{2}\)

ตอบ \(-\frac{\pi}{2}\)

\( 4) \arctan \frac{\sqrt{3}}{3}\)

วิธีทำ ให้  \(  \arctan \frac{\sqrt{3}}{3}=y\) จะได้

\(\tan y=\frac{\sqrt{3}}{3}\)  เมื่อ \(-\frac{\pi}{2}< y <\frac{\pi}{2}\)

เนื่องจาก \(\tan \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

ดังนั้น \( y=\frac{\pi}{6}\)

ตอบ \( \frac{\pi}{6}\)

\( 5) \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2})\)

วิธีทำ ให้  \(  \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2})=y\)

จะได้  \(sin y= -\frac{\sqrt{2}}{2}\) เมื่อ \(-\frac{\pi}{2}\leq y \leq \frac{\pi}{2}\)

เนื่องจาก  \(\sin-\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

ดังนั้น \(y=-\frac{\pi}{4}\)

ตอบ \(-\frac{\pi}{4}\)

\( 6) \cos [\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})]\)

วิธีทำ หาค่าตัวที่อยู่ในวงเล็บใหญ่ก่อนน่ะคับ คือหาค่านี้ก่อน \(\arcsin-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ให้  \(\arcsin-\frac{\sqrt{3}}{2}=y\) จะได้

\(\sin y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) เมื่อ \(-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}\)

เนื่องจาก \( \sin -\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ดังนั้น \( y=-\frac{\pi}{3}\)

ตอนนี้เราได้ว่า  \(\arcsin -\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\pi}{3}\)  ต่อไปจึงได้ว่า

\(\cos [\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})]=\cos-\frac{\pi}{3}=\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)

ตอบ \(\frac{1}{2}\)

แบบฝึกหัดที่ 2  แบบฝึกหัดนี้ผมเขียนเพิ่มเติมครับ ก็คือจะพาหาค่าฟังก์ชันอาร์ค อาจจะเป็นอาร์คไซน์ อาร์คคอส อาร์คแทน และอื่นๆ  บางทีฟังก์ชันอาร์คนี้ อาจจะถูกเรียกชื่อว่าผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติมันคืออันเดียวกันครับผมไปดูการทำแบบฝึกหัดดีกว่าครับ

1. จงหาค่าแต่ละข้อต่อไปนี้

1)  \(arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}\)

วิธีทำ ข้อนี้ก็คือหาว่าไซน์ของมุมอะไรเอ๋ยมีค่าเป็นรูทสองส่วนสองครับ

เนื่องจาก  \(sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

ดังนั้น   \(arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}=45^{\circ}\)

2)  \(arccos 0\)

วิธีทำ    ข้อนี้ก็คือหาว่าคอสของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเท่ากับ 0

เนื่องจาก   \(cos90^{\circ}=0\)

ดังนั้น   \(arccor 0=90^{\circ}\)

3)   \(arctan(-\sqrt{3})\)

วิธีทำ  ข้อนี้ก็คือหาว่าแทนของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเท่าลบรูทสาม

เนื่องจาก   \(tan(-60^{\circ})=-\sqrt{3}\)

ดังนั้น   \(arctan(-\sqrt{3})=60^{\circ}\)

4)  \(arccosec(-1)\)

วิธีทำ  ข้อนี้ก็คือหาว่าโคเซคของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเท่ากับลบหนึ่ง

เนื่อง  \(cosec(-90^{\circ})=-1\)

ดังนั้น   \(arccosec(-1)=-90^{\circ}\)

5)  \(arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})\)

วิธีทำ  ข้อนี้คือให้หาว่าคอสของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเท่าลบรูทสองส่วนสอง

เนื่องจาก  \(cos135^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

ดังนั้น   \(arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})=135^{\circ}\)

6)  \(arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})\)

วิธีทำ  ข้อนี้คือให้หาว่าไซน์ของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเท่ากับลบรูทสองส่วนสอง

เนื่องจาก  \(sin(-45^{\circ})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) 

ดังนั้น  \(arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-45^{\circ}\)

2. จงหาค่าแต่ละข้อต่อไปนี้

1) \(sin(arcsin\frac{1}{3})\)

วิธีทำ   ข้อนี้อาจจะดูยากนะแต่มองดีมันก็จะง่าย

จากข้อที่ผ่านๆมาเราจะเห็นว่า ค่าของพวกอาร์คไซน์  อาร์คคอส ก็คือค่าของมุมนั้นเองใช่ไหม ดังนั้นข้อนี้ก็จะทำได้โดยง่ายๆอย่างนี้ครับ   จาก

\(sin(arcsin\frac{1}{3})\)

ให้   \(arcsin\frac{1}{3}=\theta\)       เอาค่านี้ไปแทนค่าลงในโจทย์ครับจะได้

\(sin\theta\)    ข้อนี้พูดง่ายๆก็คือให้หาค่าของไซน์ทีตาครับแล้วจะทำไง เนื่องจากเรามีว่า 

\(arcsin\frac{1}{3}=\theta\)    ความหมายตรงนี้ก็คือไซน์ของมุมอะไรเอ่ยมีเท่ากับหนึ่งส่วนสามซึ่งมุมอะไรเอ่ยผมให้เป็นทีตา ดังนั้นถ้าเขียนเป็นภาษาคณิตศาสตร์ก็คือ

\(sin\theta=\frac{1}{3}\)   ซึ่งตรงกับสิ่งที่เรากำลังหาอย่าลืมนะเรากำลังหาไซน์ทีตาอยู่  ดังนั้นข้อนี้

\(sin(arcsin\frac{1}{3})=\frac{1}{3}\)

หรือถ้าใครจำสูตรได้ก็ใช้สูตรเลยก็ได้   \(sin(arcsinx)=x\)    ข้อนี้ x  คือ หนึ่งส่วนสาม

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com