ค้นหา

สมการพหุนาม ม.5

สำหรับเรื่องสมการพหุนามนั้นก็หนีไม่พ้นเกี่ยวกับการแก้สมการพหุนาม แต่เป็นสมการพหุนามที่มีดีกรี

เยอะๆ สมัยเราเรียนมอสาม เราเรียนแค่พวกพหุนามดีกรีสอง แต่ถ้าเป็นมอห้าดีกรีก็จะสูงกว่าสองวิธีการ

ในการแก้ก็อาจจะยากกว่าเดิม แต่ก็ไม่ยากถ้าเรามีพื้นฐานตอนเรียนมอสามมาบ้าง

สมการพหุนามนั้นถ้าเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไป คือ

\(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0\)    \(\quad\)    เมื่อ   \(\quad\)      \( n\geq 1\)

ตัวอย่างเช่น

\(5x^{4}+2X^{3}-5X^{2}+3X-4=0\)         เรียกว่า สมการพหุนามดีกรี 4 เพราะเลขชี้กำลังสูงสุดคือ 4 สมการนี้จะมี 4 คำตอบ

\(-2X^{3}+7X-2=0\)             เรียกว่าสมการพหุนามดีกรี 3 สมการนี้จะมี 3 คำตอบ 

เนื้อหานี้จะมีเน้นเกี่ยวกับการหาคำตอบของสมการพหุนามดีกรีต่างๆ เรามาดูตัวอย่างกันเลยดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้

1.1) \(2X^{3}+2X^{2}+X+1=0\)

วิธีทำ ข้อนี้เราลองดึงตัวร่วมดูก่อนจะง่ายคับ

\(2X^{3}+2X^{2}+X+1=0\)

\(2X^{2}(X+1)+(X+1)=0\)           บรรทัดนี้จะเห็นว่าตัวร่วมคือ X+1 ก็ดึงต่อคับ

\((X+1)\left(2X^{2}+1\right)=0\)

ดังนั้นจะได้ว่า

\(x+1=0\)   หรือ   \(2x^{2}+1=0\)

\(x=-1\)     หรือ       \(x^{2}=\frac{-1}{2}\)

 \(x=-1\)     หรือ   \(x=\pm\sqrt{\frac{-1}{2}}\)

   \(x=-1\)    หรือ  \(x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}i\)

ดังนั้นข้อนี้ มี 3 คำตอบ คือ -1 , \(\sqrt{\frac{1}{2}}i \)   และ   \(-\sqrt{\frac{1}{2}}i\)

1.2) \(2x^{3}-x+1=0\)

วิธีทำ  ข้อนี้ทำเหมือนข้อแรกไม่ได้แล้วนะครับ ฉนั้นต้องอาศัย ทบ.เศษเหลือ และการหารสังเคราะห์มาช่วย

กำหนดให้ \(P(x)=2x^{3}-x+1=0\)

\(P(-1)=2(-1)^3-(-1)+1=0\)

ดังนั้น จะได้ว่า \((x-(-1))\)      หาร \(P(x)\) ลงตัว ก็นำไปตั้งหารสังเคราะห์เลยคับ

ใครที่ลืมเกี่ยวกับ ทฤษฏีบทเศษเหลือ และการหารสังเคราะห์ก็ไปดูลิงนี้ก่อนนะคับ ทบ.เศษเหลือ  ดูคลิปยูทูบด้วยนะเพราะในนั้นมีสอนหารสังเคราะห์

ต่อเลยนะจะได้

จะได้ว่า

\((x+1)(2x^{2}-2x+1)=0\)

ดังนั้น

\((x+1)=0 \)    หรือ   \(2x^{2}-2x+1=0\)

\(x=-1\)   

แต่สมการนี้  \(2x^{2}-2x+1=0\)        แยกตัวประกอบไม่ได้ต้องใช้สูตรนี้

\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

\(x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4(2)(1)}}{2(2)}\)

\(x=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{4}\)

\(x=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{4}\)

\(x=\frac{2\pm 2i}{4}\)

\(x=\frac{1\pm i}{2}\)

ดังนั้นข้อนี้มี 3 คำตอบคือ \(-1 ,\frac{1+i}{2},\frac{1-i}{2}\)

1.3) \(x^{4}-6x^{2}-40=0\)

วิธีทำ  ข้อนี้มองเผินๆโดยไม่คิดอะไรมากหลายคนคงใช้วิธีการหารสังเคราะห์แน่ๆ แต่ข้อนี้แยกตัวประกอบได้คับ

\(x^{4}-6x^{2}-40=0\)

\((x^{2}-10)(x^{2}+4)=0\)

จะได้

\(x^{2}-10=0\)   หรือ   \(x^{2}+4=0\)

\(x^{2}=10\)  หรือ   \(x^{2}=-4\)

\(x=\pm\sqrt{10}\)       หรือ    \(x=\pm 2i\)  มี 4 คำตอบนะข้อนี้

1.4) \(x^{4}-x^{3}+7x^{2}-9x-18=0\)

วิธีทำ ข้อนี้เป็นสมการพหุนามดีกรี 4 ดูแล้วแยกตัวประกอบไม่ได้แน่ ต้องหารสังเคราะห์ ต้องหาตัวหารก่อน

กำหนดให้ \(P(x)=x^{4}-x^{3}+7x^{2}-9x-18\)

\(P(-1)=(-1)^{4}-(-1)^{3}+7(-1)^{2}-9(-1)-18=0\)

จะได้ว่า  \((x-(-1))\) หาร  \(P(x)\) ลงตัว เมื่อหารลงตัวจัดการหารสังเคราะห์เลย


จะได้ว่า

\((x+1)(x^{3}-2x^{2}+9x-18)=0\)

ดังนั้น

\(x+1=0\)   หรือ  \(x^{3}-2x^{2}+9x-18=0\)

\(x=-1\)    แต่สมการนี้  \(x^{3}-2x^{2}+9x-18=0\)   นำมาทำเหมือนเดิมคือหาตัวหารแล้วหารสังเคราะห์ แต่เดี่ยวก่อน แยกตัวประกอบได้

\(x^{3}-2x^{2}+9x-18=0\)

\((x^{3}-2x^{2})+(9x-18)=0\)

\(x^{2}(x-2)+9(x-2)=0\)    บรรทัดนี้จะเห็นว่า x-2 ดึงตัวร่วมได้

\((x-2)(x^{2}+9)=0\)

จะได้

\(x-2=0\)     หรือ    \(x^{2}+9=0\)

\(x=2\)   หรือ    \(x=\pm 3i\)

ดังนั้น ข้อนี้มี 4 คำตอบ คือ   \(-1,2,-3i,3i\)

นี่คือสมการพหุนามถ้าใครเข้าใจทฤษฏีบทเศษเหลือ และหารสังเคราะห์เป็นก็ไม่ยาก แต่ถ้าใครยังไม่เข้าใจเดี่ยวมีคลิปครับ

นี่คือลิงค์อีกอันหนึ่งที่ผมเคยเขียนเอาไว้ครับเป็นการแก้สมการพหุนามเหมือนกัน อ่านเพิ่มเติมเอาไว้เตรียมตัวสอบได้  แก้สมการจำนวนเชิงซ้อน

หรือใครต้องการศึกษาเพิ่มในวิดีโอของผมก็ได้ครับ ผมได้เพิ่มโจทย์ที่น่าสนใจลงไปเพิ่มเติมแล้วครับ

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com