สำหรับเรื่องสมการพหุนามนั้นก็หนีไม่พ้นเกี่ยวกับการแก้สมการพหุนาม แต่เป็นสมการพหุนามที่มีดีกรี

เยอะๆ สมัยเราเรียนมอสาม เราเรียนแค่พวกพหุนามดีกรีสอง แต่ถ้าเป็นมอห้าดีกรีก็จะสูงกว่าสองวิธีการ

ในการแก้ก็อาจจะยากกว่าเดิม แต่ก็ไม่ยากถ้าเรามีพื้นฐานตอนเรียนมอสามมาบ้าง

สมการพหุนามนั้นถ้าเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไป คือ

\(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0\)    \(\quad\)    เมื่อ   \(\quad\)      \( n\geq 1\)

ตัวอย่างเช่น

\(5x^{4}+2X^{3}-5X^{2}+3X-4=0\)         เรียกว่า สมการพหุนามดีกรี 4 เพราะเลขชี้กำลังสูงสุดคือ 4 สมการนี้จะมี 4 คำตอบ

\(-2X^{3}+7X-2=0\)             เรียกว่าสมการพหุนามดีกรี 3 สมการนี้จะมี 3 คำตอบ 

เนื้อหานี้จะมีเน้นเกี่ยวกับการหาคำตอบของสมการพหุนามดีกรีต่างๆ เรามาดูตัวอย่างกันเลยดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้

1.1) \(2X^{3}+2X^{2}+X+1=0\)

วิธีทำ ข้อนี้เราลองดึงตัวร่วมดูก่อนจะง่ายคับ

\(2X^{3}+2X^{2}+X+1=0\)

\(2X^{2}(X+1)+(X+1)=0\)           บรรทัดนี้จะเห็นว่าตัวร่วมคือ X+1 ก็ดึงต่อคับ

\((X+1)\left(2X^{2}+1\right)=0\)

ดังนั้นจะได้ว่า

\(x+1=0\)   หรือ   \(2x^{2}+1=0\)

\(x=-1\)     หรือ       \(x^{2}=\frac{-1}{2}\)

 \(x=-1\)     หรือ   \(x=\pm\sqrt{\frac{-1}{2}}\)

   \(x=-1\)    หรือ  \(x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}i\)

ดังนั้นข้อนี้ มี 3 คำตอบ คือ -1 , \(\sqrt{\frac{1}{2}}i \)   และ   \(-\sqrt{\frac{1}{2}}i\)

1.2) \(2x^{3}-x+1=0\)

วิธีทำ  ข้อนี้ทำเหมือนข้อแรกไม่ได้แล้วนะครับ ฉนั้นต้องอาศัย ทบ.เศษเหลือ และการหารสังเคราะห์มาช่วย

กำหนดให้ \(P(x)=2x^{3}-x+1=0\)

\(P(-1)=2(-1)^3-(-1)+1=0\)

ดังนั้น จะได้ว่า \((x-(-1))\)      หาร \(P(x)\) ลงตัว ก็นำไปตั้งหารสังเคราะห์เลยคับ

ใครที่ลืมเกี่ยวกับ ทฤษฏีบทเศษเหลือ และการหารสังเคราะห์ก็ไปดูลิงนี้ก่อนนะคับ ทบ.เศษเหลือ  ดูคลิปยูทูบด้วยนะเพราะในนั้นมีสอนหารสังเคราะห์

ต่อเลยนะจะได้

จะได้ว่า

\((x+1)(2x^{2}-2x+1)=0\)

ดังนั้น

\((x+1)=0 \)    หรือ   \(2x^{2}-2x+1=0\)

\(x=-1\)   

แต่สมการนี้  \(2x^{2}-2x+1=0\)        แยกตัวประกอบไม่ได้ต้องใช้สูตรนี้

\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

\(x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4(2)(1)}}{2(2)}\)

\(x=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{4}\)

\(x=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{4}\)

\(x=\frac{2\pm 2i}{4}\)

\(x=\frac{1\pm i}{2}\)

ดังนั้นข้อนี้มี 3 คำตอบคือ \(-1 ,\frac{1+i}{2},\frac{1-i}{2}\)

1.3) \(x^{4}-6x^{2}-40=0\)

วิธีทำ  ข้อนี้มองเผินๆโดยไม่คิดอะไรมากหลายคนคงใช้วิธีการหารสังเคราะห์แน่ๆ แต่ข้อนี้แยกตัวประกอบได้คับ

\(x^{4}-6x^{2}-40=0\)

\((x^{2}-10)(x^{2}+4)=0\)

จะได้

\(x^{2}-10=0\)   หรือ   \(x^{2}+4=0\)

\(x^{2}=10\)  หรือ   \(x^{2}=-4\)

\(x=\pm\sqrt{10}\)       หรือ    \(x=\pm 2i\)  มี 4 คำตอบนะข้อนี้

1.4) \(x^{4}-x^{3}+7x^{2}-9x-18=0\)

วิธีทำ ข้อนี้เป็นสมการพหุนามดีกรี 4 ดูแล้วแยกตัวประกอบไม่ได้แน่ ต้องหารสังเคราะห์ ต้องหาตัวหารก่อน

กำหนดให้ \(P(x)=x^{4}-x^{3}+7x^{2}-9x-18\)

\(P(-1)=(-1)^{4}-(-1)^{3}+7(-1)^{2}-9(-1)-18=0\)

จะได้ว่า  \((x-(-1))\) หาร  \(P(x)\) ลงตัว เมื่อหารลงตัวจัดการหารสังเคราะห์เลย


จะได้ว่า

\((x+1)(x^{3}-2x^{2}+9x-18)=0\)

ดังนั้น

\(x+1=0\)   หรือ  \(x^{3}-2x^{2}+9x-18=0\)

\(x=-1\)    แต่สมการนี้  \(x^{3}-2x^{2}+9x-18=0\)   นำมาทำเหมือนเดิมคือหาตัวหารแล้วหารสังเคราะห์ แต่เดี่ยวก่อน แยกตัวประกอบได้

\(x^{3}-2x^{2}+9x-18=0\)

\((x^{3}-2x^{2})+(9x-18)=0\)

\(x^{2}(x-2)+9(x-2)=0\)    บรรทัดนี้จะเห็นว่า x-2 ดึงตัวร่วมได้

\((x-2)(x^{2}+9)=0\)

จะได้

\(x-2=0\)     หรือ    \(x^{2}+9=0\)

\(x=2\)   หรือ    \(x=\pm 3i\)

ดังนั้น ข้อนี้มี 4 คำตอบ คือ   \(-1,2,-3i,3i\)

1.5) \(x^{4}+10x^{2}+24=0\)

วิธีทำ ข้อนี้มองเผินๆไม่คิดอะไรมากหลายๆคนคงเตรียมหารสังเคราะห์แน่นอน แต่เดี๋ยวก่อนมันแยกตัวประกอบได้ครับไปดูกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}x^{4}+10x^{2}+24&=0\\(x^{2}+6)(x^{2}+4)&=&0\end{array}

จะได้ว่า

\(x^{2}+6=0\)    หรือ   \(x^{2}+4=0\)

\(x^{2}=-6\)       หรือ  \(x^{2}=-4\)

\(x=\pm\sqrt{-6}\)   หรือ \(x=\pm\sqrt{-4}\)

\(x=\pm\sqrt{6}i\)   หรือ  \(x=\pm2i\)

ดังนั้นข้อนี้มี 4 คำตอบคือ \(\sqrt{6}i,-\sqrt{6}i,2i,-2i\)

1.6) \(x^{3}-x^{2}+6x-6=0\)

วิธีทำ ข้อนี้แยกเป็นสองวงแล็บได้ครับมองดูดีๆ

\begin{array}{lcl}x^{3}-x^{2}+6x-6&=&0\\x^{2}(x-1)+6(x-1)&=&0\\(x-1)(x^{2}+6)&=&0\end{array}

จะได้

\(x-1=0\)    หรือ  \(x^{2}+6=0\)

\(x=1\)   หรือ  \(x^{2}=-6\rightarrow\quad x=\pm\sqrt{6}i\)

ดังนั้นข้อนี้มี 3 คำตอบคือ \(1,\sqrt{6}i,-\sqrt{6}i\)

1.7)   \(x^{4}-16=0\)

วิธีทำ ข้อนี้เห็นเป็นผลต่างกำลังสองไหม ถ้าเห็นแล้วก็เริ่มแยกตัวประกอบเลยครับ

\begin{array}{lcl}x^{4}-16&=&0\\(x^{2})^{2}-4^{2}&=&0\\(x^{2}-4)(x^{2}+4)&=&0\end{array}

จะได้

\(x^{2}-4=0\)   หรือ  \(x^{2}+4=0\)

\(x^{2}=4\)     หรือ   \(x^{2}=-4\)

\(x=\pm\sqrt{4}\)  หรือ  \(x=\pm\sqrt{-4}\)

\(x=\pm 2\)     หรือ  \(x=\pm 2i\)

ดังนั้นข้อนี้มี 4 คำตอบคือ \(2,-2,-2i,2i\)

1.8) \(x^{4}-4x-1=4x^{3}\)

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าใครมองไม่ออกค่อนข้างยากเพราะคำตอบตอบไม่ของสมการไม่ใช้จำนวนเต็มครับ มาดูวิธีการทำกันเลยค่อยๆดูนะ

\begin{array}{lcl}x^{4}-4x-1&=&4x^{3}\\x^{4}-1&=&4x^{3}+4x\\(x^{2})^{2}-1^{2}&=&4x(x^{2}+1)\\(x^{2}-1)(x^{2}+1)&=&4x(x^{2}+1)\\\left[(x^{2}-1)(x^{2}+1)-4x(x^{2}+1)\right]&=&0\\(x^{2}+1)[(x^{2}-1)-4x]&=&0\\(x^{2}+1)(x^{2}-4x-1)&=&0\end{array}

จะได้

\((x^{2}+1)=0\)

\(x^{2}=-1\)

\(x=\pm\sqrt{-1}\)

\(x=\pm i\)

หรือ

\(x^{2}-4x-1=0\)

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

\(x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)}\)

\(x=\frac{4\pm\sqrt{16+4}}{2}\)

\(x=\frac{4\pm\sqrt{20}}{2}\)

\(x=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\)

\(x=\frac{4}{2}\pm \frac{2\sqrt{5}}{2}\)

\(x=2\pm\sqrt{5}\)

จะได้คำตอบทั้งหมด 4 คำตอบคือ \(i,-i,2+\sqrt{5},2-\sqrt{5}\)

นี่คือสมการพหุนามถ้าใครเข้าใจทฤษฏีบทเศษเหลือ และหารสังเคราะห์เป็นก็ไม่ยาก แต่ถ้าใครยังไม่เข้าใจเดี่ยวมีคลิปครับ

นี่คือลิงค์อีกอันหนึ่งที่ผมเคยเขียนเอาไว้ครับเป็นการแก้สมการพหุนามเหมือนกัน อ่านเพิ่มเติมเอาไว้เตรียมตัวสอบได้  แก้สมการจำนวนเชิงซ้อน

หรือใครต้องการศึกษาเพิ่มในวิดีโอของผมก็ได้ครับ ผมได้เพิ่มโจทย์ที่น่าสนใจลงไปเพิ่มเติมแล้วครับ

ต่อไปเราลองมาทำโจทย์สมการพหุนาม ม.5 เพิ่มเติมกันนะครับผมจะอัพเดทเพิ่มเรื่อยๆเท่าที่จะทำได้ครับอย่างไรก็อ่านๆดูไม่เข้าใจก็ไม่เป็นไรครับ

แบบฝึกหัดสมการพหุนาม ม.5

1. จงแสดงว่า  \(-1-\sqrt{3}i\)  เป็นคำตอบของสมการพหุนาม \(x^{5}+9x^{3}-8x^{2}-72=0\)  พร้อมทำทั้งหาคำตอบที่เหลือทั้งหมด

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าจะทำต้องออกแรงเยอะมากครับผมจะให้หลักการการทำข้อนี้แล้วให้เราไปทำเองบางส่วนและผมจะทำให้ดูบางส่วนครับ

สมมุติ  ผมให้ทุกคนแสดงว่า \(-10\)  เป็นคำตอบของสมการ \(x+10=0\)  วิธีการแสดงก็คือเอา \(-10\)  ไปแทนในสมการ \(x+10=0\) แล้วดูว่าสมการเป็นจริงไหม ถ้าสมการเป็นจริงก็แสดงว่า \(-10\)  เป็นคำตอบของสมการ ซึ่งก็คือ

\begin{array}{lcl}x+10&=&0\\(-10)+10&=&0\\0&=&0\end{array}

จะเห็นว่าสมการเป็นจริง ดังนั้น \(-10\)  เป็นคำตอบของสมการนี้ครับ

หลักการในการทำข้อนี้ก็เหมือนกันครับคือเอา  \(-1-\sqrt{3}i\)   ไปแทนในสมการ \(x^{5}+9x^{3}-8x^{2}-72=0\) แล้วแสดงให้เห็นว่าสมการเป็นจริง555 เยอะไหมลองถามใจตัวเองดู  ผมไม่ทำนะใครอยากทำก็ไปทำเอง แต่ผมจะหาคำตอบที่เหลือให้ดูครับ

แน่นอนโจทย์บอกว่า \(-1-\sqrt{3}i\)  เป็นคำตอบของสมการพหุนามนี้ดังนั้นคอนจูเกตของมันซึ่งก็คือ \(-1+\sqrt{3}i\)  ก็จะเป็นคำตอบของสมการนี้ด้วยครับ  ต่อไปก็หาอีก 3 คำตอบครับ ผมจะหาให้ดูทั้งหมดเลยเพิ่มความกระจ่างแจ้ง

เริ่มเลยครับ ขอตัวไปกินข้าวก่อนครับ หิวพอดีเดี่ยวแวะมาพิมพ์ครับ ตอนนี้เที่ยงแล้ว กลับมาแล้วครับข้อนี้เราจะหาคำตอบโดยการแยกตัวประกอบครับไม่ต้องหารสังเคราะห์พยายามสองโจทย์ให้ออกครับ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}x^{5}+9x^{3}-8x^{2}-72&=&0\\(x^{5}+9x^{3})-8(x^{2}+9)&=&0\\x^{3}(x^{2}+9)-8(x^{2}+9)&=&0\\(x^{2}+9)(x^{3}-8)&=&0\end{array}

จากตรงนี้เราจะได้ว่า

\(x^{2}+9=0\)   หรือ  \(x^{3}-8=0\)

เรามาแก้สมการนี้ก่อนครับ  \(x^{2}+9=0\) 

\(x^{2}+9=0\) 

\(x^{2}=-9\)

\(x=\pm\sqrt{-9}\)

\(x=\pm\sqrt{9}\sqrt{-1}\)

\(x=\pm 3i\)

ดังนั้นตอนนี้เราได้คำตอบสองคำตอบแล้วครับคือ \(x=3i \quad ,x=-3i\)

ต่อไปเรามาแก้สมการนี้ต่อครับ  \(x^{3}-8=0\)

อันนี้ต้องใช้ความรู้ของผลต่างกำลังสามต่อเลยนะ

\begin{array}{lcl}x^{3}-8&=&0\\x^{3}-2^{3}&=&0\\(x-2)(x^{2}+2x+2^{2})&=&0\\(x-2)(x^{2}+2x+4)&=&0\end{array}

เราจะได้ว่า

\(x-2=0\)  หรือ  \(x^{2}+2x+4=0\)

แก้สมการนีั  \(x-2=0\) ต่อจะได้

\(x=2\)

แก้สมการนี้ \(x^{2}+2x+4=0\)  ต่อครับใช้สูตรนี้นะ

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

ซึ่งจากสมการเราจะได้ว่า \(a=1,b=2,c=4\) แทนค่าลงไปเลยครับจะได้

\(x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4(1)(4)}}{2(1)}\)

\(x=\frac{-2\pm\sqrt{4-16}}{2}\)

\(x=\frac{-2\pm\sqrt{-12}}{2}\)

\(x=\frac{-2\pm 2\sqrt{-3}}{2}\)

\(x=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}i}{2}\)

\(x=\frac{-2}{2}\pm \frac{2\sqrt{3}i}{2}\)

\(x=-1\pm\sqrt{3}i\)

ดังนั้นเราจะได้คำตอบอีก 2  คำตอบคือ

\(x=-1+\sqrt{3}i\)   และ  \(x=-1-\sqrt{3}i\)

ดังนั้นสมการดีกรี 5 นี้  \(x^{5}+9x^{3}-8x^{2}-72=0\)  มี 5 คำตอบคือ

\(x=3i\)

\(x=-3i\)

\(x=2\)

\(x=-1+\sqrt{3}i\)

 \(x=-1-\sqrt{3}i\)

นี่คือคำตอบทั้งหมดนะครับหวังว่าจะเข้าใจนะครับไม่ยากแต่ยาวครับ


2. จงหาสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและมี 3,-4 และ  3+i  เป็นคำตอบ

วิธีทำ ก่อนทำข้อนี้ผมอยากให้ทุกคนดูนี่ก่อนครับค่อยๆอ่านไม่ยากครับ ลองหาคำตอบของพหุนามนี้ดูครับ

\(x^{2}+7x+12=0\)   

\((x+3)(x+4)=0\)

จะได้

\(x+3=0\quad \rightarrow x=-3\)    หรือ   \(x+4=0\quad \rightarrow x=-4\)

จะเห็นว่าคำตอบของสมการพหุนามข้อนี้คือ \(x=-3,-4\)

สังเกตดูดีๆนะครับที่ผมทำให้ดูนี้ เขาให้สมการเรามาคือ \(x^{2}+7x+12=0\)  แล้วให้เราหาคำตอบซึ่งได้คำตอบคือ  \(x=-3,-4\)

ในทางตรงกันข้าม ถ้าเรารู้คำตอบ  เราก็สามารถหาได้ว่าคำตอบนั้นมาจากสมการแบบไหน อย่างเช่นถ้าเราลองทำย้อนกลับดู เรารู้คำตอบคือ \(x=-3,-4\)  เราจะหาว่าคำตอบเหล่านี้มันมาจากพหุนามที่มีหน้าตาแบบไหนเราก็ทำได้คือ ทำย้อนกลับพยายามมองให้เห็นภาพนะ

\((x-(-3))\cdot(x-(-4))\)    เอาตัวแปรไปลบกับคำตอบนั้นแล้วจับคูณกันนะ

\((x+3)(x+4)\)

\(x^{2}+7x+12\)

เราจึงได้ว่า คำตอบ \(x=-3,-4\)  มากจากพหุนาม  \(x^{2}+7x+12\)

ฉะนั้นแล้วข้อนี้ก็ทำแบบนี้แหละครับเริ่มทำเลย  แต่อย่าลืมว่าโจทย์บอกว่า (3+i) เป็นคำตอบของพหุนามดังนั้นเราจึงได้ว่าคอนจูเกตของมันก็จะเป็นคำตอบของพหุนามนี้ด้วยก็คือ (3-i)  เป็นคำตอบด้วยจึงได้ว่า 

\begin{array}{lcl}(x-3)(x-(-4))(x-(3+i)(x-(3-i))&=&(x-3)(x+4)(x-(3+i))(x-(3-i))\\&=&(x^{2}+x-12)(x^{2}-6x+10)\\x^{4}-5x^{3}-8x^{2}+82x-120&=&0\\k(x^{4}-5x^{3}-8x^{2}+82x-120)&=&0\end{array}  

เมื่อ \(k\neq 0\) จะเห็นว่า k เป็นเลขอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ศูนย์มาคูณเข้าจะไม่มีผลกับคำตอบครับ

ดังนั้นแล้ว

\(k(x^{4}-5x^{3}-8x^{2}+82x-120)=0\)  เป็นสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและมีคำตอบคือ 3,-4,3+i,3-i

ไม่ยากครับแต่ตรงคูณเลขถ้าใครคูณไม่เป็นสุ่มเสี่ยงต่อการผิดมากครับจำหลักการเอาไปทำข้ออื่นต่อไปครับ


3. จงแสดงว่าสมการพหุนาม \(x^{2}-x+(i+1)=0\)  มี \(i\)  เป็นคำตอบ แต่ \(-i)\)  ไม่ใช่คำตอบ พร้อมทั้งอธิบายด้วยว่า ผลนี้ขัดแย้งกับทฤษฏีบทที่กล่าวไว้หรือไม่

วิธีทำ ข้อนี้แสดงง่ายๆเลยแค่เอา \(i\) และ \(-i\)   ไปแทนในสมการแล้วดูสมการเป็นจริงไหม  ลองทำกันเลยครับ

เอา \(i\) ไปแทนในสมการนี้ \(x^{2}-x+(i+1)=0\) จะได้

\begin{array}{lcl}i^{2}-i+(i+1)&=&0\\(-1)-i+(i+1)&=&0\\0&=&0\end{array}

เอา \(-i\) ไปแทนในสมการนี้ \(x^{2}-x+(i+1)=0\)  จะได้

\begin{array}{lcl}(-i)^{2}-(-i)+(i+1)&=&0\\-1+i+(i+1)&=&0\\2i&=&0\end{array}

จะเห็นว่าสมการนี้ไม่เป็นจริง

แต่ถามว่าขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ว่าไว้ไหม ไม่ขัดแยังครับเพราะทฤษฎีบทที่ว่าไว้ใช้ได้กับสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงแต่ในสมการในข้อนี้มีมีบางพจน์มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนครับก็คือ 

\(x^{2}-x^{1}+(i+1)x^{0}=0\)   เห็นไหมเอ่ย ตัวแปร \(x^{0}\)  มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนไม่ใช่จำนวนจริง


4. จงหาสมการพหุนามดีกรีสาม  \(P(x)=0\)  ที่สอดคล้องเงื่อนไขแต่ละข้อต่อไปนี้

4.1)  \(-3,-1,4\)  เป็นคำตอบ และ \(P(2)=5\)  

วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนข้อข้างบนที่ผมทำให้ดูแล้วรู้สึกว่าจะเป็นข้อที่ 2 ครับ เริ่มทำเลยใครไม่เข้าใจให้ไปอ่านข้อที่ 2 ก่อนครับ

\begin{array}{lcl}(x-(-3))(x-(-1))(x-4)&=&0\\(x+3)(x+1)(x-4)&=&0\\(x^2+4x+3)(x-4)&=&0\\x^{3}-13x-12&=&0\\k(x^{3}-13x-12)&=&0\end{array}

เมื่อ \(k\neq 0\)  ก็คือ k เป็นเลขอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่เลขศูนย์ครับ แต่โจทย์ยังบอกอีกว่า \(P(2)=5\)  ด้วยจะต้องทำต่ออีกนิดครับซึ่งวิธีการทำก็คือ  กำหนดให้

\(P(x)=k(x^{3}-13x-12)=0\)    โจทย์บอกว่า \(P(2)=5\) เพราะฉะนั้นจะได้

\(P(2)=k(2^{3}-13(2)-12=5\)   ลองแก้สมการนี้ครับจะได้

\begin{array}{lcl}k(2^{3}-13(2)-12&=&5\\k(8-26-12)&=&5\\k(-30)&=&5\\k&=&\frac{5}{-30}\\k&=&-\frac{1}{6}\end{array}

ดังนั้นสมการที่มีสมบัติตามต้องการคือ \(-\frac{1}{6}(x^{3}-13x-12)=0\)

Pin It