การแก้สมการติดรูท วันนี้เรามาแก้สมการติดรูทกันดีกว่า เห็นว่าออกสอบ PAT 1 เยอะก็เลยมาเรียนรู้กันเอาไว้ดีกว่า เผื่อมีประโยชน์ในการทำข้อสอบ PAT 1 บ้าง การแก้สมการมีหลักการแก้ง่ายๆคือ

1.พยายามกำจัดเครื่องหมายรูทออกโดยการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ บางครั้งอาจต้องยกกำลังสองมากกว่าหนึ่งครั้ง

2.เมื่อรูทหายไปแล้วก็แก้สมการธรรมดาตามที่เราเคยเรียนมาเพื่อหาค่าตัวแปร

3.เมื่อได้คำตอบแล้ว ต้องตรวจสอบคำตอบทุกครั้งด้วย เพราะก็แก้สมการโดยการยกกำลังสองอาจทำให้ได้คำตอบปลอมเกิดขึ้น

เรามาดูวิธีการทำกันเลยดีกว่า

จงแก้สมการต่อไปนี้

1.\(\sqrt{2x+1}+7=10\)

วิธีทำ \(\sqrt{2x+1}+7=10\)

\(\sqrt{2x+1}=10-7\)

\((\sqrt{2x+1})^2=3^{2}\)

\(2x+1=9\)

\(x=\frac{9-1}{2}\)

\(x=4\)

ตรวจคำตอบ \(\sqrt{2(4)+1}+7=10\)

3+7=10

10=10   สมการเป็นจริง

ข้อนี้ x=4  ง่ายๆไม่ยากคับ


2.\(\sqrt{1-x^{2}}=1-x\)

\(\sqrt{1-x^{2}}=1-x\)

\((\sqrt{1-x^{2}})^{2}=(1-x)^{2}\)

\(1-x^{2}=1-2x+x^{2}\)

\(2x^{2}-2x=0\)

\(2x(x-2)=0\)

x=0 หรือ x=2

ตรวจคำตอบ

\(\sqrt{1-2^{2}}=1-2\)

\(\sqrt{1-4}=-1\)  สังเกตว่าข้างในรูทติดลบซึ่งแสดงว่าไม่จริง

อีกอันหนึ่ง

\(\sqrt{1-0^{2}}=1-0\)

\(\sqrt{1}=1\)

1=1   สมการเป็นจริง

ข้อนี้ตอบ x=0


3.\(\sqrt{x-3}+2=x-3\)

\(\sqrt{x-3}=x-3-2\)

\(\sqrt{x-3}=x-5\) ต่อไปยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\((\sqrt{x-3})^{2}=(x-5)^{2}\)

\(x-3=x^{2}-10x+25\)

\(0=x^{2}-10x+25-x+3\)

\(0=x^{2}-11x+28\)

\(x^{2}-11x+28=0\)

\((x-7)(x-4)=0\)

จะได้  x=7  หรือ x=4  ตรวจสอบคำตอบเองน่ะคับข้อนี้


4. \(\sqrt{x^{2}-9}=2x-6\)

\((\sqrt{x^{2}-9})^{2}=(2x-6)^{2}\)

\(x^{2}-9=4x^{2}-24x+36\)

\(x^{2}-9-4x^{2}+24x-36=0\)

\(-3x^{2}+24x-45=0\)

\(x^{2}-8x+15=0\)

\((x-3)(x-5)=0\)

จะได้  x=3  หรือ x=5  ตรวจสอบคำตอบเองน่ะคับ

ข้อต่อไปเพิ่มความยากขึ้นหน่อยหนึ่ง ข้อนี้จะใช้เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร เพื่อทำให้การแก้สมการดูง่ายขึ้น มาลองทำกันเลยคับ


5. \(\sqrt{x^{2}+x+2}=2x^{2}+2x-2\)

ข้อนี้ถ้ายกกำลังสองทั้งสองข้างเลยยากแน่เพราะจะเห็นว่าทางขวามือของสมการมีสามพจน์ยกกำลังสองยาก ดังนั้นวิธีการคือใช้เทคนิคเปลี่ยนตัวแปรโดยให้

\(A=\sqrt{x^{2}+x+2}\)  จะได้

\(A=2x^{2}+2x-2\)  ให้เป็นสมการที่ 1  ซึ่งจะเห็นว่ายังมีตัวแปร x เหลืออยู่ต้องทำให้ตัวแปร x ให้อยู่ในรูปของ A ให้หมด

จาก

\(A=\sqrt{x^{2}+x+2}\)  ลองยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\(A^{2}=x^{2}+x+2\)

\(A^{2}-2=x^{2}+x\)

\(2A^{2}-4=2x^{2}+2x\)

จะเห็นว่า \(2x^{2}+2x\) ถ้าเขียนให้อยู่ในรูปของ A จะได้  \(2A^{2}-4\)  นำค่าที่ได้นี้ไปแทนในสมการที่ 1 จะได้

\(A=2A^{2}-4-2\)

\(2A^{2}-A-6=0\)

\((2A+3)(A-2)=0\)

จะได้  \(A=\frac{-3}{2}\)  หรือ  \(A=2\)

เนื่องจากตอนแรกเราให้ \(A=\sqrt{x^{2}+x+2}\)

\(A=\frac{-3}{2}\)   จะได้

\(\sqrt{x^{2}+x+2}=\frac{-3}{2}\)  ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ  รากที่สองมันมีค่ามากกว่าเท่ากับศูนย์เสมอ ไม่ติดลบ แสดงว่าไม่ต้องทำแล้ว

อีกตัวหนึ่งคือ

\(A=2\)

\(\sqrt{x^{2}+x+2}=2\) ยกกำลังสองทั้งสองข้างคับจะได้

\(x^{2}+x+2=4\)

\(x^{2}+x-2=0\)

\((x+2)(x-1)=0\)

จะได้  x=-2  หรือ  x=1  ตรวจสอบคำตอบเองน่ะคับ

นี่คือ การสมการติดรูทโดยเทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร  ออกข้อสอบ PAT 1 เยอะเหมือนกันคับ

วันนี้พอแค่นี้ก่อน ต่อไปจัดเป็นคลิปครับรอติดตามได้เลยคับ

ว่างๆวันนี้เดี๋ยวเพิ่มเติมให้นะครับสำหรับการแก้สมการติดรูท หรือ surd  equation

จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้

1) \(\sqrt{5x+1}+6=10\)

วิธีทำ \(\sqrt{5x+1}+6=10\)

อย่าพึ่งยกกำลังสองนะย้ายข้างก่อน

\(\sqrt{5x+1}=10-6\)

\(\sqrt{5x+1}=4\)

\((\sqrt{5x+1})^{2}=4^{2}\)

\(5x+1=16\)

\(x=\frac{16-1}{5}\)

\(x=3\)

การแก้สมการติดรูทต้องตรวจสอบคำตอบด้วยนะ อันนี้ผมตรวจดูคร่าวๆด้วยสายตาแล้ว สมการเป็นจริง ข้อนี้

\(x=3\)


2) \(\sqrt{r^{2}+5}=r\)

วิธีทำ \(\sqrt{r^{2}+5}=r\)

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\((\sqrt{r^{2}+5})^{2}=r^{2}\)

\(r^{2}+5=r^{2}\)

\(r^{2}-r^{2}+5=0\)

\(5=0\)

สมการนี้ไม่เป็นจริง ข้อนี้ไม่มีคำตอบ


3) \(\sqrt{x+7}=x-5\)

วิธีทำ \(\sqrt{x+7}=x-5\)

ทำเหมือนเดิม ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\(x+7=(x-5)^{2}\)

\(x+7=x^{2}-10x+25\)    ใช้กำลังสองสมบูรณ์มาช่วยในการยกกำลังสองก็ได้

\(0    =x^{2}-10x+25-x-7\)

\(0 =x^{2}-11x+18\)

\(0=(x-9)(x-2)\)

ดังนั้น x=9   หรือ x=2    ต้องตรวจสอบคำตอบก่อนนะก่อนจะตอบ  ซึ่งจะเห็นว่า 2 ใช้ไม่ได้ข้อนี้ตอบ x=9


4)  \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=2\)

วิธีทำ \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=2\)

                    \(\sqrt{x+1}=2+\sqrt{x}\)

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

                             \(x+1=2^{2}+2(2)\sqrt{x}+x\)

                             \(x+1=4+4\sqrt{x}+x\)

                       \(x-x+1-4=4\sqrt{x}\)

                              \(-3  = 4\sqrt{x}\)

                   \(-\frac{3}{4}=\sqrt{x}\)    จากบรรทัดนี้เราจะเห็นเลยว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบแน่นอนเพราะ

\(\sqrt{x} \geq 0 \)  เสมอ  ดังนั้นข้อนี้ไม่มีคำตอบนะครับ


5) \(-\sqrt{x^{2}+21}=x+3\)

วิธีทำ  \(-\sqrt{x^{2}+21}=x+3\)

ข้อนี้ถ้าไม่ชอบลบข้างหน้ารูท เอา -1 คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการก่อนก็ได้ ก็จะได้

\(\sqrt{x^{2}+21}=-x-3\)

ยกกำลังสองทั้งสองข้างเหมือนเดิม

\(x^{2}+21=(-x-3)^{2}\)

\(x^{2}+21=(-x)^{2}-2(-x)(3)+3^{2}\)    บรรทัดนี้ใช้กำลังสองสมบูรณ์นะครับ

\(x^{2}+21=x^{2}+6x+9\)

\(x^{2}-x^{2}+21=6x+9\)

\(21-9=6x\)

\(x=\frac{12}{6}\)

\(x=2\)

ตรวจสอบคำตอบดูก่อนนะอย่าพึ่งใจร้อนรีบตอบ


6)  \(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}=\sqrt{6x+13}\)

วิธีทำ \(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}=\sqrt{6x+13}\quad\)

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการเลยครับ

\(\left(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}\right)^{2}=(\sqrt{6x+13})^{2}\quad\)         ใช้กำลังสองสมบูรณ์

\(x+7+2(\sqrt{x+7})(\sqrt{x+2})+x+2=6x+13\quad\)

\(2(\sqrt{x+7})(\sqrt{x+2})=6x+13-x-2-x-7\quad\)

\(2(\sqrt{x+7})(\sqrt{x+2})=4x+4\quad\)             ย้ายสองมาหารทางฝั่งขวาเลยนะ จะได้

\((\sqrt{x+7})(\sqrt{x+2})=2x+2\quad\)                 รูทยังไม่หายจัดการยกกำลังสองอีกรอบ

\(\left[(\sqrt{x+7})(\sqrt{x+2})\right]^{2}=(2x+2)^{2}\)  

\((x+7)(x+2)=(2x+2)^{2}\)

\(x^{2}+9x+14=4x^{2}+8x+4\)

\(4x^{2}-x^{2}+8x-9x+4-14=0\)

\(3x^{2}-x-10=0\)

\((3x+5)(x-2)=0\)

ดังนั้น \(x=-\frac{5}{3}\)    หรือ     \(x=2\)

ข้อนี้ตรวจคำตอบก่อนนะครับ แต่ \(-\frac{5}{3}\quad\)   ไม่น่าใช่คำตอบ แต่ 2 ใช่แน่นอนผมแอบเช็คดูด้วยสายตา55 แต่ไปเช็คดีๆนะครับ


7) ต่อไปลองทำข้อสอบที่เป็นข้อสอบ PAT 1 ดูบ้างครับ

กำหนดให้ R แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า \(B=\{x\in R|2x^{2}-2x+9-2\sqrt{x^{2}-x+3}=15\}\) แล้วผลบวกกำลังสองของสมาชิกใน \(B\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ  ข้อนี้ไม่ยากครับแต่ต้องรู้เทคนิคและวิธีการทำ ข้อนี้ถ้าใครฝึกทำบ่อยๆ ก็จะรู้เลยว่าควรทำอย่างไร ไม่ใช่ยกกำลังสองทั้งสองข้างแน่นอน แต่ใช้วิธีการแทนค่าเอาครับ สังเกตนะตัวที่อยู่ในรูท ก็คือ \(x^{2}-x+3\)  จะมีความคล้ายตัวที่อยู่นอกรูทก็คือ \(2x^{2}-2x+9\)

ดูดีๆนะทั้งสองก้อนที่หยิบมาให้ดูมันคล้ายกันก็คือสามารถปรับเปลี่ยนหาตัวมาคูณให้มันเท่ากันได้  ทำเลยครับใช้วิธีการแทนค่าครับ

กำหนดให้

\begin{array}{lcl}A&=&\sqrt{x^{2}-x+3}\\A^{2}&=&x^{2}-x+3\end{array}

ต่อไปเราก็ทำ \(2x^{2}-2x+9\) ให้อยู่ในรูปของ \(A\) บ้างครับ

จาก

\begin{array}{lcl}A^{2}&=&x^{2}-x+3\\2A^{2}&=&2x^{2}-2x+6\\2A^{2}+3&=&2x^{2}-2x+6+3\\2A^{2}+3&=&2x^{2}-2x+9\end{array}

ดังนั้น

\(2x^{2}-2x+9\) ถ้าเขียนให้อยู่ในรูปของ \(A\)  ก็คือ \(2A^{2}+3\) นั่นเองครับ

ต่อไปก็เอาไปแทนค่าในโจทย์ครับเพื่อแก้สมการต่อไปครับ

\begin{array}{lcl}2x^{2}-2x+9-2\sqrt{x^{2}-x+3}&=&15\\2A^{2}+3-2A&=&15\\2A^{2}-2A-12&=&0\\A^{2}-A-3&=&0\\(A-3)(A+2)&=&0\end{array}

ดังนั้น

\(A=3,-2\)

แต่เนื่องจาก \(A=\sqrt{x^{2}-x+3}\geq 0\) เสมอ ดังนั้น \(A=-2\)  จึงเป็นไปไม่ได้ ก็เหลือแค่

\(A=3\)

ต่อไปแทนค่ากลับเพื่อหาค่าของ \(x\)ครับ

\begin{array}{lcl}A&=&3\\\sqrt{x^{2}-x+3}&=&3\\x^{2}-x+3&=&9\\x^{2}-x-6&=&0\\(x-3)(x+2)&=&0\end{array}

ดังนั้น

\(x=3,-2\) 

นำคำตอบที่เราได้นี้ไปตรวจสอบคำตอบอีกทีหนึ่งนะครับซึ่งผมจะตรวจคำตอบให้ดูครับ

แทน x ด้วย 3  ในสมการ   \(2x^{2}-2x+9-2\sqrt{x^{2}-x+3}=15\)  จะได้

\begin{array}{lcl}2(3)^{2}-2(3)+9-2\sqrt{(3)^{2}-3+3}&=&15\\18-6+9-6&=&15\\15&=&15\end{array}

สมการเป็นจริง  ต่อไปตรวจสอบอีกคำตอบหนึ่ง

แทน x ด้วย -2 ในสมการ   \(2x^{2}-2x+9-2\sqrt{x^{2}-x+3}=15\}\)  จะได้

\begin{array}{lcl}2(-2)^{2}-2(-2)+9-2\sqrt{(-2)^{2}-(-2)+3}&=&15\\8+4+9-2(3)&=&15\\21-6&=&15\\15&=&15\end{array}

สมการเป็นจริงครับ  ดังนั้น

คำตอบคือ \(x=3,-2\)  นั่นคือ \(B=\{3,-2\}\) แต่โจทย์บอกว่าให้หาผลบวกของกำลังสองของสมาชิกในเซต \(B\) ดังนั้นคำตอบคือ \(3^{2}+(-2)^{2}=13\)


8) ข้อนี้เป็นข้อสอบที่ผมเคยออกสอบนะครับ ไม่รู้ออกโหดไปไหมครับจริงๆ โหดกว่านี้อีกนิดหน่อยแต่ผมตัดออกไปบางส่วนครับ เอามาเฉลยไว้ให้นักเรียนและผู้สนใจศึกษาได้อ่านเป็นความรู้กันครับผม ไปดูโจทย์กันเลย

จงแก้สมการต่อไปนี้ \(\sqrt{y-2+\sqrt{2y-5}}+\sqrt{y+2+3\sqrt{2y-5}}=7\sqrt{2}\)

วิธีทำ มาดูการทำกันเลยครับใช้วิธีการแทนค่าด้วยตัวแปรเหมือนเดิมครับ

กำหนดให้  \(A=\sqrt{2y-5}\)

ดังนั้น \(A^{2}=2y-5\)

\(y=\frac{A^{2}+5}{2}\)

แทนค่ากลับลงไปในโจทย์เลยครับจะได้ ดังนี้

\begin{array}{lcl}\sqrt{y-2+\sqrt{2y-5}}+\sqrt{y+2+3\sqrt{2y-5}}&=&7\sqrt{2}\\\sqrt{\frac{A^{2}+5}{2}-2+A}+\sqrt{\frac{A^{2}+5}{2}+2+3A}&=&7\sqrt{2}\\\sqrt{\frac{2}{2}(\frac{A^{2}+5}{2}-2+A)}+\sqrt{\frac{2}{2}(\frac{A^{2}+5}{2}+2+3A)}&=&7\sqrt{2}\\\sqrt{\frac{1}{2}(A^{2}+5-4+4A)}+\sqrt{\frac{1}{2}(A^{2}+5+4+6A)}&=&7\sqrt{2}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(A^{2}+2A+1)}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(A^{2}+6A+9)}&=&7\sqrt{2}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(A+1)(A+1)}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(A+3)(A+3)}&=&7\sqrt{2}\\\frac{1}{\sqrt{2}}+(A+1)+\frac{1}{\sqrt{2}}(A+3)&=&7\sqrt{2}\\\frac{1}{\sqrt{2}}(A+1+A+3)&=&7\sqrt{2}\\2A+4&=&7\sqrt{2}\times \sqrt{2}\\2A+4&=&14\\A&=&5\end{array}

เอาละต่อไปเราก็แทนค่ากลับเพื่อหาค่า \(y\) ครับ

จาก

\begin{array}{lcl}A&=&5\\\sqrt{2y-5}&=&5\\(\sqrt{2y-5})^{2}&=&5^{2}\\2y-5&=&25\\2y&=&25+5\\y&=&\frac{30}{2}\\y&=&15\end{array}