ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจำนวนจริง

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจำนวนจริง

ในเรื่องนี้จะพูดถึงการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมหรือว่าจำนวนจริงที่อยู่ในรูปของผลบวกหรือว่าผลต่างอย่างเช่น  \(\sin(45^{\circ}+30^{\circ})\) ซึ่งในการหาค่าพวกนี้เราสามารถหาได้จากสูตรของผลบวกและผลต่างได้ เรามาดูสูตรกันเลยดีกว่า

สูตร

\(1.\sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB\)

\(2.sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB\)

\(3.cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB\)

\(4.cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB\)

\(5.tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}\)

\(6.tan(A-B)=\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanb}\)

เมื่อ A และ B เป็นจำนวนจริงใดๆหรือมองเป็นมุม ซึ่งอาจจะเป็นมุนในหน่วยเรเดียนหรือว่ามุมในหน่วยองศาก็ได้

ต่อไปเรามาดูวิธีการนำสูตรไปใช้กันเลยครับ

1.จงใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมุมหาค่าต่อไปนี้

1)\(cos(60^{\circ}+45^{\circ})\)

\(cos(60^{\circ}+45^{\circ})=cos60^{\circ}cos45^{\circ}-sin60^{\circ}sin45^{\circ}\)

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)

2)\(sin105^{\circ}\)

\(sin105^{\circ}=sin(60^{\circ}+45^{\circ})\)

\(\quad\quad\quad\quad=sin60^{\circ}cos45^{\circ}+cos60^{\circ}sin45^{\circ}\)

\(\quad\quad\quad\quad=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\quad\quad\quad\quad=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

3)\(tan75^{\circ}\)

\(tan75^{\circ}=tan(30^{\circ}+45^{\circ})\)

\(\quad\quad\quad=\frac{tan30^{\circ}+tan45^{\circ}}{1-tan30^{\circ}tan45^{\circ}}\)

\(\quad\quad\quad=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}+1}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}(1)}\)

\(\quad\quad\quad=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

\(\quad\quad\quad=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\)

 

4)\(sin(-\frac{\pi}{12})\)

\(sin(-\frac{\pi}{12})=-sin(\frac{\pi}{12})\)

\(\quad\quad\quad\quad=-[sin(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})]\)

\(\quad\quad\quad\quad=-[sin\frac{\pi}{3}cos\frac{\pi}{4}-cos\frac{\pi}{3}sin\frac{\pi}{4}]\)

\(\quad\quad\quad\quad=-[\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}]\)

\(\quad\quad\quad\quad=-(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})\)

\(\quad\quad\quad\quad=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)

5) \(sin15^{\circ}\)

วิธีทำ

\(sin15^{\circ}=sin(45^{\circ}-sin30^{\circ})\)

\(=sin45cos30-cos45sin30\)

\(=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}\)

\(=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

6)  \(sin\frac{7\pi}{12}\)

วิธีทำ พยายแยกเจ็ดไพส่วนสิบสองให้อยู่ในรูปผลบวกหรือผลต่างให้ได้ครับ  ซึ่งต้องอาศัยความสามารถนิดหนึ่งใครไม่ชอบมุมเรเดียนก็เปลียนเป็นองศาก่อนได้แล้วค่อยแยกเป็นผลบวกหรือผลต่างครับ

\(sin\frac{7\pi}{12}=sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3})\)

\(=sin(\frac{\pi}{4})cos(\frac{\pi}{3})+cos(\frac{\pi}{4})sin(\frac{\pi}{3})\)

\(=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

7) \(tan105^{\circ}\)

วิธีทำ  ทำเหมือนเดิมครับคือแยก 105 องศาให้อยู่ในรูปผลบวกหรือผลต่าง

\(tan105^{\circ}=tan(60^{\circ}+45^{\circ})\)

\(=\frac{tan60+tan45}{1-tan60tan45}\)

\(=\frac{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\sqrt{3}\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(=\frac{\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}}{\frac{2-\sqrt{6}}{2}}\)

\(=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2-\sqrt{6}}\)

ทำให้ดูแค่นี้นะครับถ้าอยากได้คำตอบที่สวยงามก็เอาคอนจูเกตตัวส่วนมาคูณเข้าครับ

8)  \(cot\frac{\pi}{12}\)

วิธีทำ ถ้าจำสูตร cot ไม่ได้ก็ใช้สูตร tan ก็ได้ครับ แล้วค่อยกลับเศษส่วนเอาครับเพราะ cot เป็นส่วนกลับของ tan ฉะนั้นข้อนี้ผมหา   \(tan\frac{\pi}{12}\)

\(tan\frac{\pi}{12}=tan(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})\)

\(=\frac{tan\frac{\pi}{3}-tan\frac{\pi}{4}}{1+tan\frac{\pi}{3}tan\frac{\pi}{4}}\)

\(=\frac{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\sqrt{3}\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(=\frac{\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}}{\frac{2+\sqrt{6}}{2}}\)

\(=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+\sqrt{6}}\)

ดังนั้น

\(tan\frac{\pi}{12}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+\sqrt{6}}\)

ดังนั้นจะได้ว่า

\(cot\frac{\pi}{12}=\frac{2+\sqrt{6}}{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)

สลับเศษส่วนครับเพราะเป็นส่วนกลับกัน


ตัวอย่างที่ 2  จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี้

1)  \(sin20^{\circ}cos25^{\circ}+cos20^{\circ}sin25^{\circ}\)

วิธีทำ จากโจทย์

\(sin20^{\circ}cos25^{\circ}+cos20^{\circ}sin25^{\circ}\)

จะเห็นว่าเข้ากับสูตรนี้พอดีเลย

\(sinAcosB+sinAcosB=sin(A+B)\)

จะเห็นว่า  A=20 ,B=25   ดังนั้นข้อนี้จะได้ว่า

\(sin20^{\circ}cos25^{\circ}+cos20^{\circ}sin25^{\circ}=sin(20+25)=sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{{2}}\)

Pin It

© 2012 Mathpaper.Net. All Rights Reserved.