แบบฝึกหัดตรีโกณมิติการใช้สามเหลี่ยมมุมฉากหาค่าตรีโกณมิติ ม.5

วันนี้ผมได้ผมได้เตรียมโจทย์สำหรับนักเรียนชั้น ม.5 ซึ่งเป็นเรื่องของฟังก์ชันตรีโกณมิติในส่วนของการหาค่าตรีโกณมิติโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉาก โจทย์แบบนี้เป็นโจทย์ยอดฮิต ใครทำไม่ได้นี่ถือว่ายังไม่ถึงแก่นแท้ของตรีโกณมิติ ซึ่งวิธีการทำก็ง่ายๆ ไม่ยากแค่ใช้เรื่องอัตรส่วนตรีโกณมิติมาช่วย กล่าวคือ

\(sin\theta =\frac{ด้านตรงข้ามมุม}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}\)

\(cos\theta=\frac{ด้านประชิดมุม}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}\)

\(tan\theta=\frac{ด้านตรงข้ามมุม}{ด้านประชิดมุม}\)

เรามาฝึกทำโจทย์กันเลยครับ

1.ถ้า  \(cos^{2}\theta-sin^{2}\theta=\frac{1}{2}\)   จงหาค่าของ  \(cos\theta\)  

เมื่อ   \(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\)

วิธีทำ  ข้อนี้เขาให้หาค่า \(cos\theta\)  แสดงว่าจากสมการที่โจทย์กำหนดมาให้เราต้องเปลี่ยนตรงที่เป็นค่า  \(sin^{2}\theta\)   ให้อยู่ในรูปของ   \(cos\theta\)  ให้ได้  โดยใช้เอกลักกษณ์ของฟังชันตรีโกณมิติ  คือ

\(sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\)    จะได้

\(sin^{2}\theta=1-cos^{2}\theta\)    นำค่าไซน์กำลังสองนี้ไปแทนค่าในโจทย์นะ

จากโจทย์

 \(cos^{2}\theta-sin^{2}\theta=\frac{1}{2}\)     แทนค่าลงไปเลยจะได้

\(cos^{2}\theta-(1-cos^{2}\theta)=\frac{1}{2}\)

\(cos^{2}\theta-1+cos^{2}\theta=\frac{1}{2}\)

\(2cos^{2}\theta-1=\frac{1}{2}\)

\(2cos^{2}\theta=\frac{1}{2}+1\)

\(2cos^{2}\theta=\frac{3}{2}\)

\(cos^{2}\theta=\frac{3}{4}\)

\(cos\theta=\pm\sqrt{\frac{3}{4}}\)

\(cos\theta=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)

แต่เนื่องจาก 

\(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\) ความหมายก็คือทีตาหรือว่ามุมตกอยู่ควอดเร็นต์ที่ 2  

ดั้งนั้นค่า cos จะเป็นลบ ดังนั้นข้อนี้ตอบ

\(cos\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad Ans\)

2. กำหนดให้   \(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\)   และ \(sin\theta=\frac{4}{5}  จงหาค่าของ  \sec\theta+cosec\theta\)

วิธีทำ  จากโจทย์จะเห็นว่าทีตาตกอยู่ในควอดเร็นต์ที่ 1 ดังนั้นพวกค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดจะมีค่าเป็นบวกหมด

และโจทย์บอกว่า \(sin\theta=\frac{4}{5}\)   ดังนั้น  \(cosec\theta=\frac{5}{4}\)   เพราะว่า cosec เป็นส่วนกลับของ  sin

เราได้ค่า cosec แล้ว เหลือแต่ค่าชอง sec  การที่จะหาค่า sec นั้น หาได้จากค่าของ cos เพราะ sec เป็นส่วนกลับของ cos  ในที่นี้ผมจะหาค่า cos โดยใช้เอกลักษณ์ของตรีโกณมิติ  คือ

จาก

\(sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\)    แทนค่า   \(sin\theta=\frac{4}{5}\)  ลงไป จะได้

\((\frac{4}{5})^{2}+cos^{2}\theta=1\)

\(\frac{16}{25}+cos^{2}\theta=1\)

\(cos^{2}\theta=1-\frac{16}{25}\)

\(cos^{2}\theta=\frac{9}{25}\)

\(cos\theta=\pm\sqrt{\frac{9}{25}}\)

\(cos\theta=\pm\frac{3}{5}\)

แต่เนื่องจาก    \(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\)  ก็คือ ทีตาตกอยู่ในควอดเร็นต์ที่ 1 ดั้งนั้นค่า cos เป็นบวก

\(cos\theta=\frac{3}{5}\)

sec เป็นส่วนกลับของ  cos  ดังนั้น

\(sec\theta=\frac{5}{3}\)

ข้อนี้เขาให้เราหาค่าของ  

 \(sec\theta+cosec\theta=\frac{5}{3}+\frac{5}{4}=\frac{35}{12}\quad Ans\)

3. กำหนดให้ \(0<\theta<\frac{\pi}{2}\)  และ  \(tan\theta=\frac{1}{3}\)  จงหาค่าของ   \(2cos\theta+cot\theta\)

วิธีทำ  จากโจทย์ ทีตาตกในควอดเร็นต์ที่ 1  ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นบวกหมด และจากโจทย์

\(tan\theta=\frac{1}{3}\)  ดังนั้น  \(cot\theta=3\)   เพราะว่า cot เป็นส่วนกลับของ tan  ต่อไปก็หาค่า cos

บ้าง  แต่ในข้อนี้ผมจะหาค่า cos โดยเอาสามเหลี่ยมมุมฉากมาช่วย ไม่ทำเหมือนข้อ 2  นะ

จากที่เรารู้ว่า  \(tan\theta=\frac{ด้านตรงข้ามมุม}{ด้านประชิดมุม}=\frac{1}{3}\)  ดังนั้นเราจึงได้รูป

สามเหลี่ยมมุมฉากคือ

 จาก \(cos\theta=\frac{ด้านประชิดมุม}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)

จะได้  \(cos\theta=\frac{3}{\sqrt{10}}\)

จากที่โจทย์ถาม 

 \(2cos\theta+cot\theta=2\frac{3}{\sqrt{10}}+3=\frac{6}{\sqrt{10}}+3   \quad\quad  Ans\)

4. กำหนดให้ \(sin\theta=\frac{1}{3}\) และ \(sec\theta<0\)  จงหาค่าของ  \(tan\theta\)

วิธีทำ \(sin\theta=\frac{1}{3}\) ซึ่งค่า sin มีค่าเป็นบวก  และ \(sec\theta<0\)  ค่าของ  sec ก็น้อยกว่าศูนย์ก็คือค่า sec ติดลบ เนื่องจาก sec เป็นส่วนกลับของ cos ดังนั้นค่าของ cos  น้อยกว่าศูนย์ด้วย  เนื่องจาก cos น้อยกว่า 0  แต่ค่า sin เป็นบวกหรือมากกว่า 0  ดังนั้น  ข้อนี้โจทย์ให้หาค่าของ  tan เนื่องจาก \(tan\theta=\frac{sin}{cos}\) เนื่องจากค่า sin เป็นบวก ค่า cos เป็นลบ  ด้งนั้นค่า tan หารออกมาเป็นลบ เรามาหาคำตอบข้อนี้เลยครับ

\(sin\theta=\frac{ด้านตรงข้ามมุม}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}=\frac{1}{3}\)

เนื่องจาก \(cos\theta=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)  ค่า cos ต้องติดลบนะตามที่ได้อธิบายไว้ข้างบน

ดังนั้นค่า sin ก็รู้แล้ว ค่า cos ก็รู้แล้ว ดังนั้น สามาระหาค่า tan ได้

\(tan\theta=\frac{sin\theta}{cos\theta}=\frac{1/3}{-2\sqrt{2}/3}\)

\(tan\theta=-\frac{1}{2\sqrt{2}} \quad Ans\)

5. กำหนดให้ \(\cot\theta=5\) และ \(sin\theta<0\)  แล้ว  \(cos\theta\)  เท่ากับเท่าไร

วิธีทำ  จากโจทย์ ค่า cot เท่ากับ 5 ซึ่งมีค่าเป็นบวก   และค่า sin น้อยกว่า 0  หรือว่าติดลบนั้นเอง

จาก \(cot\theta=\frac{cos\theta}{sin\theta}=5\)    เนื่องจาก sin มีค่าติดลบ ดังนันค่า cos ต้องติดลบด้วย  หารกันจึงจะได้บวก ดังนั้นของนี้หาค่า cos ออกมาต้องได้ค่าติดลบนะ

จาก \(cot\theta=\frac{ด้านประชิดมุม}{ด้านตรงข้ามมุม}=5\)

 จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

 \(cos\theta=\frac{ด้านประชิดมุม}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}\)

 \(cos\theta=-\frac{5}{\sqrt{26}}\)

6.กำหนดให้ \(sec^{2}\theta+tan^{2}\theta=\frac{7}{2}\)  และ  \(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\)  จงหาค่าของ \(cos\theta\)

วิธีทำ  ข้อนี้ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

\(1+tan^{2}\theta=sec^{2}\theta\)   จะได้

\(tan^{2}\theta=sec^{2}\theta-1\)   เอาไปแทนค่าลงในโจทย์ครับ

จากโจทย์

\(sec^{2}\theta+tan^{2}\theta=\frac{7}{2}\)

\(sec^{2}\theta+sec^{2}\theta-1=\frac{7}{2}\)

\(2sec^{2}\theta=\frac{7}{2}+1\)

\(2sec^{2}\theta=\frac{9}{2}\)

\(sec^{2}\theta=\frac{9}{4}\)

\(sec\theta=\pm\frac{3}{2}\)    sec เป็นส่วนกลับของ cos ดังนั้นจะได้  

\(cos\theta=\pm\frac{2}{3}\)

แต่เนื่องจาก \(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\)   ก็คือ ทีตาตกในควอดเร็นต์ที่  2  ค่า cos เป็นลบ ดังนั้นข้อนี้

\(cos\theta=-\frac{2}{3}\quad Ans\)

Pin It

© 2012 Mathpaper.Net. All Rights Reserved.