ผกผันของฟังก์ชันไซน์หรืออาร์คไซน์(arcsine)

หลังจากที่เราเรียนฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งมี sine cosine tangent วันนี้เราก็มาดูว่าผกผันหรือว่าอินเวอร์สของฟังก์ชันเหล่านี้เป็นอย่างไร วันจะเริ่มต้นที่ผกผันของฟังก์ชันไซน์ก่อนผกผันผันของฟังก์ชันไซน์  เรียกว่า อาร์คไซน์ (arcsine)

เราจะเริ่มศึกษาเจ้า arcsine หรือว่าผกผันของฟังก์ชันไซน์ จากกราฟของฟังก์ชันไซน์นะครับ

กราฟของฟังก์ชันไซน์หรือว่ากราฟของ   \(y=sin\theta\)   มีหน้าตาดังรูปด้านล่างครับ คิดว่าหลาย

คนน่าจะวาดเป็น  อันนี้ผมใช้โปรแกรม geogebra  วาดนะ

 ซึ่งจากรูปจะเห็นว่าโดเมนของฟังก์ชันไซน์คือ จำนวนจริงใดๆ

ส่วนเรนจ์ของฟังก์ชันไซน์คือจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง [-1,1]

ต่อไปเรามาดูกราฟผกผันของฟังก์ชันไซน์นะคับว่ามันจะเป็นอย่างไร  ชื่อก็แล้วแล้วว่าผกผันดัง

นัั้นกราฟก็จะเป็นลักษณ์ที่กลับกันดังรูปครับ

จากรูปภาพด้านบนซึ่งเป็นกราฟผกผันของฟังก์ชันไซน์

มีโดเมนเป็นอยู่ในช่วง [-1,1]

และมีเรนจ์เป็นจำนวนจริงใดๆ

ดังนั้นเห็นชัดว่าจากกราฟผกผันของฟังก์ชันไซน์นั้นยังไม่เป็นฟังก์ชัน ดังนั้น ถ้าอยากให้มันเป็น

ฟังก์ชันเราจำเป็นต้องจำกัดช่วงของเรนจ์ให้อยู่ในช่วง  \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)

ซึ่งเราจะได้กราฟของผกผันของฟังก์ชันไซน์หรือว่า arcsine ใหม่ดังรูปด้านล่างซึ่งเป็นฟังก์ชัน

แล้วดูจากรูปด้านล่างนะครับ

นี่คือกราฟของฟังก์ชัน arcsine นะครับซึ่งจากรูปจะเห็นได้ว่า

โดเมนของฟังก์ชัน arcsine คือจำนวนจริง่ที่อยู่ในช่วง   \([-1,1]\)

ส่วนเรนจ์ของฟังก์ชัน arcsine คือจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง   \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)

ดังนั้น ถ้าให้ \(\theta=arcsin(x)\)  จะได้ว่า   \(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)

 นี้คือฟังก์ชัน arcsine นะครับผมสรุปให้สั้นที่สุดได้แค่นี้ ผิดพลาดตรงไหนบอกด้วยครับ ต่อไป

เรามาดูการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับฟังก์ชัน arcsine กันต่อครับ

1.จงหาค่าต่อไปนี้

1) \(arcsin(-1)\)

วิธีทำ  ให้    \(arcsin(-1)=\theta\)

เราจะได้ว่า    \(sin\theta=-1 \)  เมื่อ  \(\theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)

เนื่องจาก    \(sin(-\frac{\pi}{2})=-1\)

ดังนั้น   \(\theta=-\frac{\pi}{2}\)

เราจึงได้ว่า  \(arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}\)

2) \(arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})\)

วิธีทำ ให้ \(arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}=\theta\)

เราจะได้ว่า   \(sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}\)  เมื่อ    \(\theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)

เนื่องจาก  \(sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

ดังนั้น  \(\theta=\frac{\pi}{4}\)

เราจึงได้ว่า  \(arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\pi}{4}\)

ทำแบบฝึกหัดและอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับ arccos  arctan ตามลิงค์นี้เลยครับแบบฝึกหัดผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ

Pin It

© 2012 Mathpaper.Net. All Rights Reserved.