ตอนเราอยู่ ม.4 เราได้เรียนจำนวนจริง(real number) ซึ่งจำนวนจริงประกอบด้วย
จำนวนตรรกยะ(rational number)และจำนวนอตรรกยะ(irrational number) แต่มีปัญหาอยู่ถ้าเราลองแก้สมการ
\(x^{2}+1=0\)
\(x^{2}=-1\)
ซึ่งจากตรงนี้จะเห็นได้ว่าไม่สามารถหาจำนวนจริงมาแทนค่าใน x แล้วทำให้สมการเป็นจริงได้เลย เพราะไม่มีแน่นอนจำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็น -1 ดังนั้นจึงมีการสมมติค่าค่าหนึ่งมาใช้คือค่า i โดยนักคณิตศาสตร์กำหนดว่า ให้ \(i^{2}=-1\) และเจ้าค่า i นี้มีชื่อเรียกอย่างเป็นทางการว่า หน่วยจินตภาพ(imaginary unit) ซึ่งพูดง่ายๆคือไอ้เจ้าค่า i นี้เป็นจำนวนซึ่งไม่มีอยู่จริงหรอกสมมติมันขึ้นมาเฉยๆ เป็นจำนวนในจินตนาการไม่มีอยู่จริงดังนั้นไอ้เจ้าค่า i นี้จึงถูกเรียกว่าว่า จำนวนจินตภาพ(imaginary number) ก็ได้ ซึ่งโดยนิยามของจำนวนจินตภาพคือ
จำนวนจินตภาพ(imaginary number)คือ จำนวนเชิงซ้อน(complex number)ที่ค่ากำลังสองเป็นจำนวนจริงลบ ดังนั้น
\(2i\) เป็นจำนวนจินตภาพ เพราะ \(2i\cdot 2i = 4i^{2}=4(-1)=-4\)
\(-3i\) เป็นจำนวนจินตภาพ เพราะ \(-3i\cdot -3i=9i^{2}=-9\)
สรุปก็คือจำนวนจริงที่คูณอยู่กับ i เป็นจำนวนจินตภาพหมด เช่น 2i,-5i,8i เป็นต้น
ที่กล่าวมาข้างต้นเป็นเรื่องที่เกี่ยวกับจำนวนจินตภาพยังไม่ได้กล่างถึงจำนวนเชิงซ้อนเลยต่อไปจะกล่าวถึงจำนวนเชิงซ้อนบ้าง
จำนวนเชิงซ้อนคือ จำนวนที่ประกอบด้วยจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพมารวมกันเช่น
\(5+3i,7-6i,-3+9i,8-9i,-4-2i,7i,-23i \) เป็นต้น
อย่าลืมน่ะจ๊ะ 5 ก็เป็นจำนวนเชิงซ้อนเพราะ 5=5+0i
-10 ก็เป็นจำนวนเชิงซ้อนน่ะเพราะ -10=-10+0i
\(\frac{2}{3}\)ก็เป็นจำนวนเชิงซ้อนเพราะ\(\frac{2}{3}=\frac{2}{3}+0i\)
สรุปง่ายๆก็คือจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงจึงเป็นสับเซตของจำนวนเชิงซ้อนน่ะจ๊ะ
เกือบลืมบอกไป
บางทีจำนวนเชิงซ้อนจะเขียนให้อยู่ในรูปคู่อันดับก็ได้น่ะเช่น
5+2i ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ (5,2)
-5-2i ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ (-5,-2)
9i ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ (0,9)
24 ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ (24,0)
มาดูส่วนประกอบของจำนวนเชิงซ้อนบ้าง จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วย 2 ส่วนด้วยกัน ยกตัวอย่างเช่น
2+5i,4-8i,-12+9i ซึ่งถ้าเราสังเกตคือมีส่วนที่ไม่ติดค่า i และก็ส่วนที่ติดค่า i ซึ่งแต่ละส่วนก็มีชื่อเรียกกัน
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดจำนวนเชิงซ้อน 5+3i
เรียก 5 ว่าส่วนจริงหรือภาษาอังกฤษคือ real part
เรียก 3 ว่าส่วนจินตภาพภาษาอังกฤษคือ imaginary part
ตัวอย่างที่ 2 ให้ z=-6-12i
จะเห็นว่า -6 คือส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z ซึ่งสามารถเขียนแทนได้เป็น Re(z)=-6
จะเห็นว่า -12 คือส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z ซึ่งสามารถเขียนแทนได้เป็น Im(z)=-12
ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ \(z_{1}=5+12i,z_{2}=-56-i\)
\(Re(z_{1})=5,Im(z_{1})=12\)
\(Re(z_{2})=-56,Im(z_{2})=-1\)
อ่านเรื่องจำนวนเชิงซ้อนทั้งสองลิงค์นี้ครับเพื่อความเข้าใจมากยิ่งขึ้น
https://www.mathpaper.net/index.php/en/5/413-complex-number
และสามารถอ่านรายละเอียดทั้งหมดเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนตามลิงค์ด้านล่างเลยครับ
ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อน(complex number) อีกอันหนึ่งที่ผมได้เขียนอธิบายไว้ลองๆไปอ่านดูครับ
ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์ ( De Moivre"s Theorem)
การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว