ค้นหา

รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

ให้ Z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z  จะมีอยู่จำนวน n ราก(ยกเว้น z=0)

ในการหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z ผมขอสรุปเป็นวิธีการในการหาง่ายๆดังนี้  ส่วนใครอยากรู้เพิ่มเติมสามารถหาอ่านได้ตามหนังสือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.5 ของ สสวท.ได้น่ะจ๊ะ

1. ถ้าโจทย์ให้จำนวนเชิงซ้อนมาในรูป z=x+yi เป็นต้องแปลงจำนวนเชิงซ้อน z ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อน คืออยู่ในรูป   \( z=r(cos\theta+isin\theta)\)

2.รากตัวที่ 1จะมีค่าเป็น    \(\sqrt[n]{r}\left(cos\frac{\theta}{n}+isin\frac{\theta}{n}\right)\)

3.รากตัวที่ 2 จะเหมือนรากตัวที่ 1 แตกต่างกันที่มุมโดยต้องเพิ่มมุมของรากตัวที่ 1 ไปอีก

\(\frac{360^\circ}{n}\)

4. รากตัวที่ 3 ก็เพิ่มมุมในรากตัวที่ 2 ไปอีกเหมือนเดิมคือบวกเพิ่มไปอีก   \(\frac{360^\circ}{n}\)

5. ทำแบบนี้ไปเรื่อยๆจนครบ n ราก

หลายคนอ่านแล้วอาจจะงง ซึ่งไม่เป็นไรครับ ต้องไปดูต้วอย่างหรือถ้าผมขยันผมจะทำเป็นวิดีโอให้ดูครับ  ไปดูตัวอย่างกันเลย

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้    \(z^{3}=\sqrt{3}-i\)    จงหาค่าของ z

วิธีทำ  โจทย์กำหนด แซดกำลังสามมาให้เท่ากับรูทสามลบไอ  ให้หาค่าของแซด  ดังนั้นเราจะได้ว่า ค่าของแซด ก็คือ รากที่ 3 ของ    \(\sqrt{3}-i\)    นั่นเองคับ

ในข้อนี้คือหารากที่ 3 (รากที่ n) ของ    \(\sqrt{3}-i\)     

(n=3 น่ะ จำไว้เลยเพราะหารากที่สามดังนั้นn=3)

ขั้นตอนที่ 1 ต้องแปลง   \(\sqrt{3}-i\quad\)   ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อน จากตรงนี้เราจะได้

\(x=\sqrt{3},y=-1\)

\(r=\sqrt{\sqrt{3}^{3}+(-1)^{2}}=2\)

 \(tan\theta=\frac{-1}{\sqrt{3}}\)    ดังน้้น    \(\theta=330^\circ\)   ใครทำเชิงขั้วไม่เป็นไปอ่านนะ

ดังนั้น   \(\sqrt{3}-i\quad\)   ถ้าเขียนให้อยู่ในรูปเชิงขั้วคือ   \(2(cos330^\circ+isin330^\circ)\)

ขั้นตอนที่ 2  หาราก

รากตัวที่ 1 คือ   \(\sqrt[3]{2}\left(cos\frac{330^\circ}{3}+isin\frac{330^\circ}{3}\right)\)

นั้นคือรากตัวที่ 1 คือ   \(\sqrt[3]{2}\left(cos110^\circ+isin110^\circ\right)\)

มุมของรากตัวที่ 1 คือเกิดจากเอามุมที่ได้จากการทำเป็นเชิงขั้วหารด้วย n และnในข้อนี้คือ 3

รากตัวที่ 2 คือ  คือ   \(\sqrt[3]{2}\left(cos230^\circ+isin230^\circ\right)\)

มุมของรากตัวที่ 2 คือเกิดจากเอามุมของรากตัวที่ 1 บวกกับ   \(\frac{360}{n}\)  ในข้อนี้ n=3 ก็คือต้องเอาไปบวกกั้บ    \(\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\)

 และมุมของรากตัวที่ 3 ก็เอามุมของรากตัวที่สองบวกเพิ่มอีก 120 องศา นะจะได้

รากตัวที่ 3 คือ  \(\sqrt[3]{2}\left(cos350^\circ+isin350^\circ\right)\)

 ครบ 3 รากก็หยุด ดังนั้น z ก็มีสามตัวก็คือรากตัวที่ 1 ถึงตัวที่ 3 ดังที่หาไว้แล้วด้านบน Ans


 ตัวอย่างที่ 2  จงหารากที่ 4 ของ   \(-8+8\sqrt{3}i\)

วิธีทำ เหมือนเดิมครับคือทำ    \(-8+8\sqrt{3}i\quad\)    ให้เป็นเชิงขั้วก่อนจะได้

\(x=-8,y=8\sqrt{3}\)

\(r=\sqrt{(-8)^{2}+(8\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{256}=16\)

\(tan\theta=\frac{8\sqrt{3}}{-8}=-\sqrt{3}\) 

ดังนั้น \(\theta=120^\circ\)

 หารากตัวที่ 1 \(\sqrt[4]{16}\left(cos\frac{120^\circ}{4}+isin\frac{120^\circ}{4}\right)\)

 \(2(cos30^\circ+isin30^\circ)\)

\(2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)\)

\(\sqrt{3}+i\)

หารากตัวที่ 2 คราวนี้มุมจะเพิ่มขึ้นครั้งละ   \(\frac{360^\circ}{4}=90^\circ\) จะได้

\(\sqrt[4]{16}\left(cos120^\circ+isin120^\circ\right)\)

\(2(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\)

\(-1+\sqrt{3}i\) 

หารากตัวที่ 3  เอามุมในรากตัวที่สองบวกเพิ่มอีก 90 องศา จะได้

\(\sqrt[4]{16}\left(cos210^\circ+isin210^\circ\right)\)

\(2(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)\)

\(-\sqrt{3}-i\)

 หารากตัวที่ 4 เอามุมในรากตัวที่สามบวกเพิ่มอีก 90 องศา จะได้

\(\sqrt[4]{16}\left(cos300^\circ+isin300^\circ\right)\)

\(2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)\)

\(1-\sqrt{3}i\)

ครบ 4 ตัวแล้วก็หยุด

 ดังนั้นรากที่ 4 ของ  \(-8+8\sqrt{3}i\)    คือ 

\(\sqrt{3}+i\quad\),\(-1+\sqrt{3}i\quad\) ,\(-\sqrt{3}-i\quad\),\(1-\sqrt{3}i\)      Ans


ข้างบนเป็นการหารากที่ n โดยวิธีการอีกแบบหนึ่ง แต่ถ้าใครไม่ถนัดก็สามารถหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนได้อีกตามทฤษฎีบทนี้ครับ

ทฤษฏีบทการหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

ถ้า \(w=r(cos\theta+isin\theta)\) \(\quad\) แล้วรากที่ n ของ w  จะมีทั้งหมด  n   รากที่แตกต่างกัน คือ \(z=\sqrt[n]{r}\left[cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+isin\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right]\)

เมื่อ  \(k\in\{0,1,2,3,...,n-1\}\)

อ่านทฤษฏีบทแล้วอาจจะงวยงง เรามาลองทำแบบฝึกหัดกันครับ

ตัวอย่าง จงหารากที่ 3 ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

1. หารากที่ 3  ของ i

วิธีทำ จาก ทฤษฏีบทของรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนจะได้ว่า รากที่ 3 ของ i  จะมี  3  ราก

จาก  i=0+i   ดังนั้น  x=0   , y=1   จาก  \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1\)

นั่นคือ r=1

จาก \(\theta=\frac{y}{x}=\frac{1}{0}\)  หาค่าไม่ได้ 555 ไม่ต้องเป็นห่วงครับทำต่อได้ จะเห็นว่า x=0   และ y=1  คือจุดที่ตกอยู่บนแกน Y  มองออกไหม ดังนั้น \(\theta\)    คือมุมที่ทำกับแกน Y  ดังนั้น

\(\theta = 90^{\circ}\)      หรือ     \(\theta=\frac{\pi}{2}\)       นั่นเอง

รากตัวที่ 1  คือ (แทนค่าลงไปในสูตรตามทฤษฏีบทด้านบนเลยนะคับ)  เริ่มที่ k=0  หารากที่ 3 เพราะฉะนั้น  n=3

\(z=\sqrt[3]{1}\left[cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(0)\pi}{3}\right)+isin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(0)\pi}{3}\right)\right]\)

\(z=\sqrt[3]{1}\left[cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{3}\right)+isin\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{3}\right)\right]\)

\(z=\sqrt[3]{1}\left[cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+isin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right]\)

\(z=\sqrt[3]{1}\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}i\right)\right]\)

\(z=1\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}i\right)\right]\)

รากตัวที่ 2     n=3   แต่  k=1

ผมจะทำแบบลัดๆนะ ไม่ละเอียดเหมือน ข้างบนแล้วนะ แต่วิธีการเหมือนเดิมคือ แทน n=3 และ k=1 ลงไปในสูตรแล้วบวกลบคูณหารออกมาครับ

\(z=\sqrt[3]{1}\left[cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)+isin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right]\)

\(z=\sqrt[3]{1}\left[\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}i\right)\right]\)

\(z=\left[\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}i\right)\right]\)

รากตัวที่ 3     n=3   แต่  k=2

ผมจะทำแบบลัดๆนะ ไม่ละเอียดเหมือน ข้างบนแล้วนะ แต่วิธีการเหมือนเดิมคือ แทน n=3 และ k=1 ลงไปในสูตรแล้วบวกลบคูณหารออกมาครับ

\(z=\sqrt[3]{1}\left[cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)+isin\left(\frac{53pi}{2}\right)\right]\)

\(z=\sqrt[3]{1}\left[\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}i\right)\right]\)

\(z=0-i\)

\(z=-i\)

คำตอบก็มี 3  ตัวที่เห็นนั่นแหละ คือ

\(\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}i\right)\right]\)

\(\left[\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}i\right)\right]\)

\(z=-i\)

2. หารากที่ 3  ของ \(8\left(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}\right)\)

วิธีทำ  จะได้ว่า  r= 8 , \(\theta=\frac{\pi}{3}\)

รากตัวที่ 1   คือ (แทนค่าลงไปในสูตรตามทฤษฏีบทด้านบนเลยนะคับ)  เริ่มที่ k=0  หารากที่ 3

ฉะนั้น  n=3

\(z=\sqrt[3]{8}\left[cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}+2(0)\pi}{3}\right)+isin\left(\frac{\frac{\pi}{3}+2(0)\pi}{3}\right)\right]\)

\(z=2\left[cos\left(\frac{\pi}{9}\right)+isin\left(\frac{\pi}{9}\right)\right]\)

รากตัวที่ 2     n=3   แต่  k=1

\(z=2\left[cos\left(\frac{7\pi}{9}\right)+isin\left(\frac{7\pi}{9}\right)\right]\)

รากตัวที่ 3     n=3   แต่  k=2

\(z=2\left[cos\left(\frac{13\pi}{9}\right)+isin\left(\frac{13\pi}{9}\right)\right]\)

คำตอบก็มี 3  ตัวที่เห็นนั่นแหละ คือ

\(z=2\left[cos\left(\frac{\pi}{9}\right)+isin\left(\frac{\pi}{9}\right)\right]\)

\(z=2\left[cos\left(\frac{7\pi}{9}\right)+isin\left(\frac{7\pi}{9}\right)\right]\)

\(z=2\left[cos\left(\frac{13\pi}{9}\right)+isin\left(\frac{13\pi}{9}\right)\right]\)


ตัวอย่าง จงหารากที่ 4 ของ \(2+2\sqrt{3}i\)

วิธีทำ ก่อนที่จะใช้สูตรได้ต้อง ทำให้จำนวนเชิงซ้อนที่โจทย์ให้มาเป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วก่อน

อ่านเอาตามลิงค์นะ จะได้ในรูปเชิงขั้วคือ \(4(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})\)

นั่นคือ r=4  และ \(\theta=\frac{\pi}{3}\)

รากตัวที่ 1  คือ  แทน  n=4   k=0

\(z=\sqrt[4]{4}(cos\frac{\pi}{12}+isin\frac{\pi}{12})\)

\(z=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{12}+isin\frac{\pi}{12}\)

***note \(\sqrt[4]{4}=4^{\frac{1}{4}}=2^{2\times \frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)

รากตัวที่ 2  คือ  แทน  n=4   k=1

\(z=\sqrt{2}(cos\frac{7\pi}{12}+isin\frac{7\pi}{12}\)

รากตัวที่ 3  คือ  แทน  n=4   k=2

\(z=\sqrt{2}(cos\frac{13\pi}{12}+isin\frac{13\pi}{12}\)

รากตัวที่ 4  คือ  แทน  n=4   k=3

\(z=\sqrt{2}(cos\frac{19\pi}{12}+isin\frac{19\pi}{12}\)

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com