การขนานกันของเวกเตอร์จะมีอยู่ 2 ลักษณะคือ

1.การขนานกันแบบมีทิศทางเดียวกัน

จากรูปจะเห็นว่าเวกเตอร์  \(\vec{u}\)   และ   \(\vec{v}\)    เป็นเวกเตอร์ที่ขนานกันและเป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันด้วยและถ้าสังเกตไปอีกจะเห็นว่า \(\vec{v}\)    มีขนานเป็น 2 เท่าของ   \(\vec{u}\)    ดังนั้นเราจะได้ความสัมพันธ์ระหว่างสองเวกเตอร์นี้คือ  \(\vec{v}=2\vec{u}\)    ถ้าเวกเตอร์ใดๆขนานกันเราสามารถเขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์นั้นด้วยสมการได้เสมอ

2.การขนานกันแบบมีทิศทางตรงกันข้าม

จากรูปจะเห็นว่าเป็นเวกเตอร์ที่ขนานก้ันแต่เป็นการขนานกันที่มีทิศทางตรงกันข้าม

ถ้าเรามี \(\vec{u}\)   เวกเตอร์   \(-\vec{u}\)    คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับกับ   \(\vec{u}\)  แต่มี

ทิศทางตรงข้ามกัน

จากรูปข้างบนจะเห็นว่า \(\vec{v}\)    มีขนาดเป็น 3 เท่าของ    \(\vec{u}\)    แต่มีทิศทางตรงกันข้ามจะได้ว่าสองเวกเตอร์นี้มีความสัมพันธ์คือ   \(\vec{v}=-3\vec{u}\)

สรุป คือการขนานกันของเวกเตอร์มี 2 แบบคือ ขนานกันแบบทิศทางเดียวกันและขนานกันแบบทิศทางตรงกันข้าม

ให้ \(\vec{u}\)    เป็นเวกเตอร์ใดๆ

\(2\vec{u}\)    คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นสองเท่าของ    \(\vec{u}\)   และมีทิศทางเดียวกันกับ   \(\vec{u}\)

\(-4\vec{u}\)    คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นสี่เท่าของ   \(\vec{u}\)   แต่มีทิศทางตรงกันข้าม   \(\vec{u}\)

\(\frac{1}{3}\vec{u}\)   คือเวกเตอร์ที่ีมีขนาดหนึ่งในสามของ   \(\vec{u}\)   และมีทิศทางเดียวกัน

\(-\frac{1}{5}\vec{u}\)   คือเวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งในห้าของ   \(\vec{u}\)   แต่มีทิศทางตรงกันข้าม

มาลองดูตัวอย่างโจทย์เวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับการขนานกันดีกว่าครับ

ตัวอย่าง กำหนดให้ \(\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}\)   ถ้า  \(\vec{w}=a\vec{i}+b\vec{j}\)   โดยที่ \(\vec{w}\)   มีทิศทางเดียวกันกับ   \(\vec{u}\)  และ  \(|\vec{w}|=10\)  แล้ว   \(a+b\) มีค่าเป็นเท่าใด

วิธีทำ  วิเคราะห์ตามโจทย์นะ โจทย์บอกว่าเวกเตอร์สองเวกเตอร์นี้มีทิศทางเดียวกัน จากตรงนี้เรารู้ได้เลยว่าเวกเตอร์สองเวกเตอร์นี้ขนานกันแน่นอน  โจทย์ให้ให้ขนาดของเวกเตอร์\(\vec{w}\) มา ตรงนี้เราก็ควรที่จะฉุดคิดขึ้นมาเองว่าเราจำเป็นต้องหาขนาดของ \(\vec{u}\) ด้วย หากันเลยนะ

เนื่องจาก  \(\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}\)

ดังนั้นขนาดของ \(|\vec{u}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)

จากตรงนี้เราจะเห็นความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์นี้ เห็นไหม ขนาดเป็น 10   กับอีกอันขนาดเป็น 5

หวังว่าจะเห็นเหมือนที่ผมเห็นนะ  จะได้ว่า

\(2\vec{u}=\vec{w}\)

\(2(3\vec{i}+4\vec{j})=a\vec{i}+b\vec{j}\)

\(6\vec{i}+8\vec{j}=a\vec{i}+b\vec{j}\)

ดังนั้น  a=6   และ  b=8

\(a+b=6+8=14\)


ตัวอย่าง  กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ขนานกัน ถ้า \(a(\vec{u}+\vec{v})-\vec{u}=b(\vec{u}-\vec{v})\) แล้ว ค่าของ \(a-b\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ก็ไม่มีอะไรจัดสมการที่โจทย์ให้มาก่อนคับ

\begin{array}{lcl}a(\vec{u}+\vec{v})-\vec{u}&=&b(\vec{u}-\vec{v})\\a\vec{u}+a\vec{v}-\vec{u}&=&b\vec{u}-b\vec{v}\\a\vec{u}-\vec{u}-b\vec{u}&=&-b\vec{v}-a\vec{v}\\(a-1-b)\vec{u}&=&(-b-a)\vec{v}\quad\cdots (1) \end{array}

จากสมการที่ \((1)\) เราจะเห็นว่า \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) สามารถเขียนในรูปของสมการได้ แสดงว่าสองเวกเตอร์นี้ต้องขนานกัน แต่โจทย์บอกว่าสองเวกเตอร์นี้ไม่ขนานกัน นั่นหมายความว่า

\(a-1-b=0\)  หรือ  \(-b-a=0\)

จาก \(a-1-b=0\) จะได้ \(a-b=1\)

นั่นคือ \(a-b=1\quad\underline{Ans}\)


จากความรู้ข้างบนเป็นการขนานกับของเวกเตอร์ที่เขียนแทนด้วยลูกศร  ซึ่งถ้าเราสังเกตดีจะเห็นได้ว่าเวกเตอร์สองเวกเตอร์ ถ้ามันขนานกันมีทิศทางเดียวกันหรือมีทิศทางตรงกันข้ามแล้วจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของสมการได้  ดูรูปข้างบนประกอบนะ 

แต่ถ้าเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก ซึ่งก็คือเป็นเวกเตอร์ที่เขียนอยู่ในรูป  \begin{bmatrix}a\\b \end{bmatrix}

เราจะสามารถตรวจสอบได้อย่างไรว่าเวกเตอร์คู่ไหนบ้างที่มันขนานกัน ซึ่งวันนี้เราจะมาดูกันตรงนี้ก็คือตรวจสอบเวกเตอร์ที่กำหนดให้ว่าคู่ใดบ้างที่ขนานกัน  ซึ่งวิธีการตรวจสอบก็ง่ายๆครับ  วิธีการคือ ถ้าผมมีเวกเตอร์อยู่สองเวกเตอร์คือ

\(\begin{bmatrix}1\\2 \end{bmatrix}\)        และ   \(\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}\)   ถ้ามีตัวเลขซึ่งไม่ใช่เลข 0  มาคูณเวกเตอร์ตัวไหนก็ได้แล้วทำให้เวกเตอร์นั้นเท่ากัน แสดงว่าเวกเตอร์คู่นั้นขนานกัน เช่น ถ้าผมเอาเลข 2 คูณเวกเตอร์แรกจะได้คือ

\(2\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}\)

จะเห็นว่าเมื่อนำ 2 ไปคูณเวกเตอร์แรกแล้วค่าที่ได้มาเท่ากับเวกเตอร์ตัวที่สองถ้าเป็นอย่านี้เวกเตอร์คู่นั้นจะขนานกัน ดังนั้น 

\(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)    ขนานกับ   \(\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}\)

 

ตัวอย่าง   จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์คู่ใดบ้างที่ขนานกัน

\(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-8\\-4\end{bmatrix},\begin{bmatrix}6\\3\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}\)

วิธีทำ 

จะเห็นได้ว่า

\(-4\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-8\\-4\end{bmatrix}\)

ดังนั้น

\(\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\)     ขนานกับ    \(\begin{bmatrix}-8\\-4\end{bmatrix}\)

จะเห็นว่า

\(3\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\3\end{bmatrix}\)

ดังนั้น

\(\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\)     ขนานกับ    \(\begin{bmatrix}6\\3\end{bmatrix}\)