การขนานกันของเวกเตอร์จะมีอยู่ 2 ลักษณะคือ
1.การขนานกันแบบมีทิศทางเดียวกัน
จากรูปจะเห็นว่าเวกเตอร์ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ที่ขนานกันและเป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันด้วยและถ้าสังเกตไปอีกจะเห็นว่า \(\vec{v}\) มีขนานเป็น 2 เท่าของ \(\vec{u}\) ดังนั้นเราจะได้ความสัมพันธ์ระหว่างสองเวกเตอร์นี้คือ \(\vec{v}=2\vec{u}\) ถ้าเวกเตอร์ใดๆขนานกันเราสามารถเขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์นั้นด้วยสมการได้เสมอ
2.การขนานกันแบบมีทิศทางตรงกันข้าม
จากรูปจะเห็นว่าเป็นเวกเตอร์ที่ขนานก้ันแต่เป็นการขนานกันที่มีทิศทางตรงกันข้าม
ถ้าเรามี \(\vec{u}\) เวกเตอร์ \(-\vec{u}\) คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับกับ \(\vec{u}\) แต่มี
ทิศทางตรงข้ามกัน
จากรูปข้างบนจะเห็นว่า \(\vec{v}\) มีขนาดเป็น 3 เท่าของ \(\vec{u}\) แต่มีทิศทางตรงกันข้ามจะได้ว่าสองเวกเตอร์นี้มีความสัมพันธ์คือ \(\vec{v}=-3\vec{u}\)
สรุป คือการขนานกันของเวกเตอร์มี 2 แบบคือ ขนานกันแบบทิศทางเดียวกันและขนานกันแบบทิศทางตรงกันข้าม
ให้ \(\vec{u}\) เป็นเวกเตอร์ใดๆ
\(2\vec{u}\) คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นสองเท่าของ \(\vec{u}\) และมีทิศทางเดียวกันกับ \(\vec{u}\)
\(-4\vec{u}\) คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นสี่เท่าของ \(\vec{u}\) แต่มีทิศทางตรงกันข้าม \(\vec{u}\)
\(\frac{1}{3}\vec{u}\) คือเวกเตอร์ที่ีมีขนาดหนึ่งในสามของ \(\vec{u}\) และมีทิศทางเดียวกัน
\(-\frac{1}{5}\vec{u}\) คือเวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งในห้าของ \(\vec{u}\) แต่มีทิศทางตรงกันข้าม
มาลองดูตัวอย่างโจทย์เวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับการขนานกันดีกว่าครับ
ตัวอย่าง กำหนดให้ \(\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}\) ถ้า \(\vec{w}=a\vec{i}+b\vec{j}\) โดยที่ \(\vec{w}\) มีทิศทางเดียวกันกับ \(\vec{u}\) และ \(|\vec{w}|=10\) แล้ว \(a+b\) มีค่าเป็นเท่าใด
วิธีทำ วิเคราะห์ตามโจทย์นะ โจทย์บอกว่าเวกเตอร์สองเวกเตอร์นี้มีทิศทางเดียวกัน จากตรงนี้เรารู้ได้เลยว่าเวกเตอร์สองเวกเตอร์นี้ขนานกันแน่นอน โจทย์ให้ให้ขนาดของเวกเตอร์\(\vec{w}\) มา ตรงนี้เราก็ควรที่จะฉุดคิดขึ้นมาเองว่าเราจำเป็นต้องหาขนาดของ \(\vec{u}\) ด้วย หากันเลยนะ
เนื่องจาก \(\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}\)
ดังนั้นขนาดของ \(|\vec{u}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)
จากตรงนี้เราจะเห็นความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์นี้ เห็นไหม ขนาดเป็น 10 กับอีกอันขนาดเป็น 5
หวังว่าจะเห็นเหมือนที่ผมเห็นนะ จะได้ว่า
\(2\vec{u}=\vec{w}\)
\(2(3\vec{i}+4\vec{j})=a\vec{i}+b\vec{j}\)
\(6\vec{i}+8\vec{j}=a\vec{i}+b\vec{j}\)
ดังนั้น a=6 และ b=8
\(a+b=6+8=14\)
ตัวอย่าง กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ขนานกัน ถ้า \(a(\vec{u}+\vec{v})-\vec{u}=b(\vec{u}-\vec{v})\) แล้ว ค่าของ \(a-b\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ก็ไม่มีอะไรจัดสมการที่โจทย์ให้มาก่อนคับ
\begin{array}{lcl}a(\vec{u}+\vec{v})-\vec{u}&=&b(\vec{u}-\vec{v})\\a\vec{u}+a\vec{v}-\vec{u}&=&b\vec{u}-b\vec{v}\\a\vec{u}-\vec{u}-b\vec{u}&=&-b\vec{v}-a\vec{v}\\(a-1-b)\vec{u}&=&(-b-a)\vec{v}\quad\cdots (1) \end{array}
จากสมการที่ \((1)\) เราจะเห็นว่า \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) สามารถเขียนในรูปของสมการได้ แสดงว่าสองเวกเตอร์นี้ต้องขนานกัน แต่โจทย์บอกว่าสองเวกเตอร์นี้ไม่ขนานกัน นั่นหมายความว่า
\(a-1-b=0\) หรือ \(-b-a=0\)
จาก \(a-1-b=0\) จะได้ \(a-b=1\)
นั่นคือ \(a-b=1\quad\underline{Ans}\)
จากความรู้ข้างบนเป็นการขนานกับของเวกเตอร์ที่เขียนแทนด้วยลูกศร ซึ่งถ้าเราสังเกตดีจะเห็นได้ว่าเวกเตอร์สองเวกเตอร์ ถ้ามันขนานกันมีทิศทางเดียวกันหรือมีทิศทางตรงกันข้ามแล้วจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของสมการได้ ดูรูปข้างบนประกอบนะ
แต่ถ้าเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก ซึ่งก็คือเป็นเวกเตอร์ที่เขียนอยู่ในรูป \begin{bmatrix}a\\b \end{bmatrix}
เราจะสามารถตรวจสอบได้อย่างไรว่าเวกเตอร์คู่ไหนบ้างที่มันขนานกัน ซึ่งวันนี้เราจะมาดูกันตรงนี้ก็คือตรวจสอบเวกเตอร์ที่กำหนดให้ว่าคู่ใดบ้างที่ขนานกัน ซึ่งวิธีการตรวจสอบก็ง่ายๆครับ วิธีการคือ ถ้าผมมีเวกเตอร์อยู่สองเวกเตอร์คือ
\(\begin{bmatrix}1\\2 \end{bmatrix}\) และ \(\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}\) ถ้ามีตัวเลขซึ่งไม่ใช่เลข 0 มาคูณเวกเตอร์ตัวไหนก็ได้แล้วทำให้เวกเตอร์นั้นเท่ากัน แสดงว่าเวกเตอร์คู่นั้นขนานกัน เช่น ถ้าผมเอาเลข 2 คูณเวกเตอร์แรกจะได้คือ
\(2\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}\)
จะเห็นว่าเมื่อนำ 2 ไปคูณเวกเตอร์แรกแล้วค่าที่ได้มาเท่ากับเวกเตอร์ตัวที่สองถ้าเป็นอย่านี้เวกเตอร์คู่นั้นจะขนานกัน ดังนั้น
\(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\) ขนานกับ \(\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}\)
ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์คู่ใดบ้างที่ขนานกัน
\(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-8\\-4\end{bmatrix},\begin{bmatrix}6\\3\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}\)
วิธีทำ
จะเห็นได้ว่า
\(-4\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-8\\-4\end{bmatrix}\)
ดังนั้น
\(\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\) ขนานกับ \(\begin{bmatrix}-8\\-4\end{bmatrix}\)
จะเห็นว่า
\(3\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\3\end{bmatrix}\)
ดังนั้น
\(\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\) ขนานกับ \(\begin{bmatrix}6\\3\end{bmatrix}\)