กราฟของจำนวนเชิงซ้อน  ในระนาบเชิงซ้อนจะมีลัษณะคล้ายๆกับพวกจำนวนจริง  โดยในระนาบเชิงซ้อน

นั้น เราจะเรียกแกน X ว่า แกนจริง และเรียก แกน Y ว่าแกนจินตภาพ 

1.จงเขียนกราฟของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

1) \(z_{1}=2+4i \quad, z_{2}=i(2+4i)\quad , z_{3}=i^{2}(2+4i) \quad,z_{4}= i^{3}(2+4i)\) 

เราจะได้ว่า

\(z_{1}=2+4i\)   สามารถเขียนเป็นคู่อันดับได้คือ    \((2,4)\)

\(z_{2}=i(2+4i)=2i+4i^{2}=2i-4=-4+2i\)   สามารถเขียนเป็นคู่อันดับได้คือ    \((-4,2)\)    อย่าลืมนะ

\(i^{2}=-1\)

\(z_{3}=i^{2}(2+4i)=2i^{2}+4i^{3}=-2-4i\)    สามารถเขียนเป็นคู่อันดับคือ    \((-2,-4)\)

\(z_{4}=i^{3}(2+4i)=2i^{3}+4i^{4}=-2i+4=4-2i\)    สามารถเขียนเป็นคู่อันดับได้คือ   \((4,-2)\)

ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนที่โจทย์กำหนดให้สามารถเขียนเป็นกราฟ ได้ดังนี้

2. จงเขียนกราฟของจุด Z ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับสมการหรืออสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) \(\left| z-2 \right| \leq 1\)

วิธีทำ จากอสมการข้างต้นจะเห็นได้ว่ากราฟที่ออกมาต้องเป็นพื้นที่ แต่จะเป็นพื้นที่อย่างไรเราลองมาทำดู

กัน

เนื่องจาก z เป็นจำนวนเชิงซ้อน

ดังนั้น ผมให้ \(z=x+yi\)      เราจะได้

\(\left|x+yi-2\right|\leq 1\)      จัดรูปให้ส่วนจริงอยู่ด้วยกัน ส่วนจินตภาพอยู่ด้วยกัน

\(\left|(x-2)+yi\right|\leq 1\)     จากนิยามของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนจึงได้ว่า

\(\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}} \leq 1 \)     ยกกำลังสองทั้งสองข้างเพื่อให้รูทหายไป

\((x-2)^{2}+y^{2} \leq 1^{2}\)

 

Note: จะเห็นว่าอสมการสุดท้าย คล้ายกับสมการวงกลม  มาทบทวนสมการวงกลมกันก่อน

\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)     คือสมการวงกลม ที่มีจุดศูนย์อยู่ที่จุด (0,0) และรัศมีเท่ากับ r

\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)   คือสมการวงกลม ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h,k) ใดๆ และรัศมีเท่ากับ r เช่น

\((x-2)^{2}+(y-5)^{2}=4^{2}\)     คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2,5) และรัศมีเท่ากับ 4

\((x+2)^{2}+(y+5)^{2}=3^{2}\)     คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-2,-5) รัศมีเท่ากับ 3

 

เพราะฉนัั้นจากอสมการ    \((x-2)^{2}+y^{2} \leq 1^{2}\)     ที่เราได้ จึงมีกราฟเป็นพื้นที่ภายในวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ  1 และจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2,0)   ดังรูปด้านล่าง  หวังว่าคงเข้าใจนะไม่ยาก

เป็นพื้นที่ที่ภายในวงกลม รัศมีเท่ากับ 1 และจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2,0)

2) \(\left|z-2-3i\right|\leq 2\)

วิธีทำ  ทำเหมือนกันกับข้อที่ 1 คือ ให้    \(z=x+yi\)

จะได้

\(\left|x+yi-2-3i\right|\leq 2\)     จัดรูปส่วนจริง กับส่วนจินตภาพให้อยู่ด้วยกัน

\(\left|(x-2)+(y-3)i\right|\leq 2 \)

\(\sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}} \leq 2\)

\((x-2)^{2}+(y-3)^{2} \leq  2^{2}\)

จากอสมการที่เราได้  เป็นกราฟที่มีพื้นภายในวงกลมรัศมีเท่ากับ 2 และจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2,3)

ดังรูปด้านล่าง

3) \(\left|z+2+3i\right|>2\)

วิธีทำ  ทำเหมือนเดิมนะ แต่ข้อนี้กราฟที่ออกมาไม่เหมือนเดิม เพราะอสมการที่โจทย์ให้มาเปลี่ยนไป

ให้  \(z=x+yi\)

\(\left|x+yi+2+3i\right|>2\)

\(\left|(x+2)+(y+3)i\right|>2\)

\(\sqrt{(x+2)^{2}+(y+3)^{2}}>2\)

\((x+2)^{2}+(y+3)^{2}>2^{2}\)

กราฟที่ีออกมาจะเป็นพื้นที่ ที่อยู่ภายนอกวงกลมรัศมีเท่ากับ 2  จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-2,-3)

4) \(Re(z+5)>9\)

วิธีทำ  จากโจทย์    \(Re(z+5)>9\)     

ก่อนที่จะทำข้อนี้ มาทบทวนสัญลักษณ์  Re และ Im กันก่อน

Re ย่อมาจากคำว่า real part  แปลว่าส่วนจริง

Im ย่อมาจากคำว่า  Imaginary part แปลว่า ส่วนจินตภาพ

สมมิุต ผมให้ Z=3+4i

Re(z) ก็คือให้หาส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z  ดังนั้น Re(z) หรือว่า Re(3+4i)=3  นั่นเอง

Im(z) ก็คือให้หาส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z  ดังนั้น Im(z)หรือว่า Im(3+4i)=4 นั่นเองห้ามเอา i มาด้วยนะเอาเฉพาะเลขที่ติดกับ i

เพราะฉนั้นการทำโจทย์ข้อนี้ เนื่องจาก Z เป็นจำนวนเชิงซ้อน ผมให้ z=x+yi  จะได้

\(Re(x+yi+5)>9\)      จัดรูปให้ส่วนจริงอยู่กันส่วนจริง ส่วนจินตภาพอยู่กับส่วนจินตภาพ

\(Re(x+5+yi)>9\)

\(x+5>9\)     จะเห็นว่าเอาเฉพาะส่วนจริงมา เพราะโจทย์ให้เอาเฉพาะส่วนจริงหรือว่า Re นั่นเอง

แก้อสมการต่อนิดหนึ่ง

\(x>9-5\)

\(x>4\)

กราฟก็จะออกมาเป็นพื้นที่สีม่วงแบบนี้ดังรูป

 

5) \(\left|z+2-4i\right|=2\)

วิธีทำ ทำเหมือนเดิมเหมือนข้อที่ผ่านมา แต่ข้อนี้เป็นสมการ  กราฟออกมาเป็นวงกลม ไม่เชื่อลองทำกันเลย

\(\left|x+yi+2-4i\right|=2\)

\(\left|(x+2)+(y-4)i\right|=2\)

\(\sqrt{(x+2)^{2}+(y-4)^{2}}=2\)

\((x+2)^{2}+(y-4)^{2}=2^{2}\)

เป็นวงกลมรัศมีเท่ากับ 2 จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-2,4)

 

3. จงเขียนกราฟแสดงจำนวนเชิงซ้อน \(z\) ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับอสมการ \(|z|\geq 3\)  และ \(|z-2|<2\)

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าอธิบายเป็นภาษาชาวบ้านก็คือจำนวนเชิงซ้อนอะไรบ้างที่เป็นคำตอบของสองอสมการนี้ครับ แต่เขาให้หาคำตอบโดยการเขียนกราฟนะครับก็คือวาดกราฟของทั้งสองอสมการแล้วดูว่ามันอินเตอร์เซคหรือว่ากราฟมันทับซ้อนกันที่ตรงไหนตรงนั้นแหล่ะคือคำตอบครับ

มาดูอสมการแรกก่อน \(|z|\geq 3\)

กำหนดให้ \(z=x+yi\) แล้วเอาไปแทนค่าในโจทย์จะได้

\begin{array}{lcl}|z|&\geq& 3\\|x+yi|&\geq&3\\\sqrt{x^{2}+y^{2}}&\geq& 3\\x^{2}+y^{2}&\geq& 3^{2}\end{array}

ดูจากหน้าตาอสมการที่เรากระจายออกมามันคือพื้นที่ภายนอกวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) และรัศมียาว 3 หน่วย

รูปก็จะออกมาหน้าตาแบบนี้ครับ

ต่อไปดูอสมการตัวที่สอง \(|z-2|<2\) 

ทำเหมือนเดิมครับ

กำหนดให้ \(z=x+yi\) แล้วเอาไปแทนค่าในโจทย์จะได้

\begin{array}{lcl}|z-2|&<&2\\|x+yi-2|&<&2\\|(x-2)+yi|&<&2\\\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}&<&2\\(x-2)^{2}+y^{2}&<&2^{2}\end{array}

มันคือพื้นที่ภายในวงกลม(ไม่รวมเส้นรอบวงนะครับ)ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (2,0)  รัศมียาว 2 หน่วย รูปก็จะออกมาเหมือนด้านล่างครับ

แต่โจทย์ให้เราหาจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับทั้งสองอสมการนี้แสดงว่าคำตอบต้องเป็นพื้นที่ที่อินเตอร์เซคกันหรือว่าเป็นพื้นที่ที่มันซ้อนทับกันอยู่นั่นเองครับ