กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับจะมี 2 กฎหลัก ก็คือ
1. กฎการคูณ
2.กฎการบวก
ซึ่งกฎ 2 ข้อนี้จะมีวิธีการใช้ที่แตกต่างกันเราต้องแยกให้ออกว่าโจทย์อย่างนี้ควรใช้กฎการคูณหรือกฎการบวกดี หรือบ้างข้อต้องทั้งกฏการคูณและกฏการบวกพร้อมกันกันเลย
มาดู กฎการคูณก่อน
1.กฎการคูณ
ถ้างานอย่างหนึ่งสามารถทำให้เสร็จได้ใน k ขั้นตอน โดย
ขั้นตอนที่ 1 มีวิธีการทำ \(n_{1}\) วิธี
ในแต่ละวิธีของการทำงานขั้นตอนที่ 1 มีวิธีการทำงานขั้นตอนที่ 2 \(n_{2}\) วิธี
ในแต่ละวิธีของการทำางานขั้นตอนที่ 2 มีวิธีการทำงานขั้นตอนที่ 3 \(n_{3}\) วิธี
\(\vdots \quad \vdots \quad \vdots\)
ในแต่ละวิธีของการทำงานขั้นตอนที่ k-1 มีวิธีการทำขั้นตอนที่ k \(n_{k}\) วิธี
แล้วจำนวนวิธีการทำงานนี้เท่ากับ
\(n_{1}\times n_{2}\times n_{3}\times ...\times n_{k}\) นี่คือกฏการคูณเอาไว้หาจำนวนวิธีในการทำงานครับว่าในการทำงานหนึ่งๆนั้นจำนวนวิธีในการทำงานจะมีทั้งหมดกี่วิธี
ตัวอย่างเช่น มีกางเกงที่แตกต่างกัน 2 ตัวและมีเสื้อต่างกัน 2 ตัว เราจะมีวิธีการแต่งตัวที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ ข้อนี้เราจะใช้กฎการคูณมาช่วยคิดครับ
มองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 คือเลือกกางเกงทำได้ 2 วิธีเพราะมีกางเกงให้เลือก 2 ตัว
ขั้นตอนที่ 2 คือเลือกเสื้อ ทำได้ 2 วิธี เหมือนกันเพราะมีเสื้อให้เลือก 2 ตัว
ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดในการทำงานหรือจำนวนวิธีในการแต่งตัวทั้งหมดเท่ากับ \(2\times 2=4\) วิธี
หรือถ้าใครไม่เข้าใจก็ลองดูตามแผนภาพต้นไม้นี้ครับ
จะเห็นว่ามีการแต่งตัวที่แตกต่างกันทั้งหมด 4 วิธี คือ
วิธี 1 กางเกงตัวที่ 1 กับ เสื้อตัวที่ 1
วิธี 2 กางเกงตัวที่ 1 กับ เสื้อตัวที่ 2
วิธี 3 กางเกงตัวที่ 2 กับ เสื้อตัวที่ 1
วิธี 4 กางเกงตัวที่ 2 กับ เสื้อตัวที่ 2
จะเห็นว่าสามารถใช้แผนภาพต้นไม้ในการหาคำตอบได้ แต่ถ้าเรามีสิ่งของเยอะมากๆ มีเสื้อหลายๆตัว การหาคำตอบโดยแผนภาพต้นไม้ ค่อนข้างยุ่งยากและเสียเวลา เราจึงจะหาคำตอบโดยใช้กฏการคูณกันครับ
2.กฎการบวก
ถ้างานอย่างหนึ่งมีวิธีการทำงานมากกว่า 1 ทาง แต่สามารถเลือกวิธีการทำงานได้เพียงทางใดทางหนึ่งเท่านั้น
จำนวนวิธีที่จะทำงานนั้นเสร็จสิ้นเท่ากับผลบวกของจำนวนวิธีที่ทำงานเสร็จสิ้นในแต่ละทาง
ตัวอย่างเช่น ชายคนหนึ่งต้องการเดินทางไปโรบินสันบางรัก ซึ่งเขาสามารถเดินทางได้โดย เดินเท้าไปก็ได้ นั่งวินมอไซด์ไปก็ได้ นั่งรถเมล์ไปก็ได้ จำนวนวิธีในการเดินทางเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ จะเห็นว่าการทำงานนี้มีการทำงานมากกว่า 1 ทางคือ เดินไปก็ได้ นั่งวินก็ได้ รถเมล์ก็ได้ แต่สามารถเลือกทำได้เพียงทางใดทางหนึ่งเท่านั้น ดังนั้นจำนวนวิธีในการทำงานหรือจำนวนวิธีในการเดินทางไปโรบินเท่ากับกับ 3 วิธี
คือ เดินไป นั่งวินไป นั่งรถเมล์ไป
บอกเลยครับเรื่องนี้ต้องทำแบบฝึกหัดเยอะๆอ่านหนังสือหลายๆเล่มถึงจะทำข้อสอบได้อย่างไรก็อย่าเครียดค่อยๆอ่านจะเข้าใจเองครับ มาดูตัวอย่างกันเลยครับ
วิธีการดูคร่าวๆว่าข้อไหนควรใช้กฎการคูณ ข้อไหนควรใช้กฎการบวก
ถ้าการทำงานนั้นต้องทำทุกขั้นตอนงานถึงจะเสร็จข้อนั้นให้ใช้กฎการคูณ เช่นการแต่งกาย จะใส่แค่เสื้อไม่ใส่กางเกงไม่ได้ ต้องทำให้ครับทุกขึ้นตอนงานถึงจะเสร็จแบบนี้ใช้กฎการคูณ
แต่ถ้าเป็นการเดินทางไปโรบินสันเหมือนที่ผมยกตัวอย่างข้างบน เดินเท้าไปก็ถึงโรบินสัน อันนี้คืองานเสร็จเลย ไม่ต้องรอขั้นตอนอื่น นั่งวินไปก็ถึงโรบินสันไม่ต้องรอขั้นตอนอื่น อย่างนี้ต้องใช้กฎการบวก แต่ข้อบางข้อต้องใช้ทั้งกฎการบวกและการคูณ ก็คือแยกคิดเป็นกรณี ในแต่ละกรณีต้องใช้กฎการคูณคิด พอคิดเสร็จทุกกรณีแล้ว เอาทุกรณีมาบวกกฎกันอีกทีหนึ่ง
ตัวอย่างที่ 1 ดำมีเสื้อและกางเกงสำหรับใส่ไปเที่ยว 3 ตัวและ 2 ตัว ถ้าการแต่งกาย 1ชุด ประกอบด้วยเสื้อและกางเกง อยากทราบว่าดำจะแต่งกายได้ต่างๆก้นกี่ชุด
วิธีทำ ข้อนี้ ใช้กฎการคูณมองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเสื้อมาใส่ทำได้ 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกกางเกงมาใส่ทำได้ 2 วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีในการแต่งกายเท่ากับ \(3\times 2=6\) วิธี
ตัวอย่างที่ 2 กำหนด \(S=\{1,2,3,4,5\}\) จะสร้างจำนวนเต็มบวก 5 หลัก จากตัวเลขในเซต S ได้กี่จำนวน
วิธีทำ มองเป็นการทำงาน 5 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 คือสร้างเลขหลักหน่วย ทำได้ 5 วิธี ใช้เลขอะไรก็ได้ในเซต S มาสร้าง
ขั้นตอนที่ 2 คือสร้างเลขหลักสิบ ทำได้ 5 วิธี ใช้เลขอะไรก็ได้ในเซต S มาสร้าง ใช้เลขซ้ำกันได้นะ
ขั้นตอนที่ 3 คือสร้างเลขหลักสิบ ทำได้ 5 วิธี
ขั้นตอนที่ 4 คือสร้างเลขหลักสิบ ทำได้ 5 วิธี
ขั้นตอนที่ 5 คือสร้างเลขหลักสิบ ทำได้ 5 วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีในการทำงานหรือจะสร้างเลข 5 หลักได้
\(5\times 5 \times 5\times 5\times 5=3125\) วิธี
ตัวอย่างที่ 3 จากตัวเลข 0,1,2,3,4,5,6 จะนำมาสร้างเป็นจำนวนคู่บวก 4 หลัก ได้กี่จำนวน โดยที่ตัวเลขในแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน
วิธีทำ ข้อนี้เขาห้ามใช้ตัวเลขซ้ำกันครับ ระวังด้วยนะเวลาทำ และอีกอย่างที่ต้องระวังคือ หลักพันห้ามเป็นเลข 0 นะครับ อ้อเกือบลืมอีกอย่างคือหลักหน่วยต้องเป็นเลข 0,2,4,6 เท่านั้นเพราะต้องการสร้างจำนวนคู่ เรามาดูว่าข้อนี้จะทำอย่างไร ข้อนี้ต้องแบ่งกรณีคิดถึงจะง่ายครับ เริ่มทำงานเลยนะ อย่าลืมนะงานเราคือสร้างตัวเลขคู่บวก 4 หลัก
กรณีที่ 1 กรณีที่หลักหน่วยเป็น เลข 0
ขั้นตอนที่ 1 สร้างเลขหลักหน่วยทำได้ 1 วิธีเพราะเราฟิกซ์ว่าหลักนี้ต้องเป็นเลข 0
ขั้นตอนที่ 2 สร้าเลขหลักพัน หลักพันต้องห้ามเป็นเลข 0 ดังนั้นตัวเลขที่เราสามารถนำไปใส่ได้ในหลักนี้คือ 1,2,3,4,5,6 ขั้นตอนนี้ทำได้ 6 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 สร้างเลขหลักสิบ เลขหลักนี้ ห้ามเป็นเลข 0 และห้ามเป็นเลขในหลักพันที่สร้างไว้ก่อนหน้านี้ครับห้ามใช้เลขซ้ำกันเงือนไขของโจทย์ เลขมีทั้งหมด 7 ตัว หักเลข 0 ออกและหักเลขในหลักพันออก ก็จะเลขทั้งหมด 5 ตัว เพราะฉะนั้นการทำงานข้อนี้ทำได้ 5 วิธี
ขั้นตอนที่ 4 สร้างเลขหลักร้อย เลขหลักนี้ ห้ามเป็นเลข 0 และห้ามไปซ้ำกับเลขในหลักสิบและหลักพัน ต้องหักตัวเลขออกไป 3 ตัวจากทั้งหมด 7 ตัวก็จะเหลือ 4 ตัว เพราะฉะนั้นการทำงานข้อนี้ทำได้ 4 วิธี
ดังนั้น ในกรณีที่หลักหน่วย เป็น 0 จะสามารถสร้างจำนวน 4 หลักที่เป็นจำนวนคู่บวกได้เท่ากับ \(1\times 6 \times 5 \times 4=120\) วิธี
***ขั้นตอนในการสร้างจะสร้างหลักไหนก่อนก็ได้ แต่ควรสร้างหลักที่มันยุ่งยากซับซ้อนก่อนอย่างเช่นในตัวอย่างผมเลือกสร้างหลักพันก่อนหลักสิบเพราะหลักพันยุ่งยากคือเป็นเลข 0 ไม่ได้
กรณีที่ 2 กรณีที่หลักหน่วยเป็นเลข 2,4,6
ขั้นตอนที่ 1 สร้างเลขหลักหน่วยทำได้ 3 วิธีคือใส่เลข 2,4,6 อะไรก็ได้หนึ่งตัวลงไป
ขั้นตอนที่ 2 สร้างเลขหลักพันทำได้ 5 วิธี จากเลขที่มีทั้งหมด 7 ตัวหักเลข 0 ออกหนึ่งตัวและหักเลขในหลักหน่วยออก 1 ตัวนะ
ขั้นตอนที่ 3 สร้างเลขในหลักร้อยทำได้ 5 วิธี จากเลขที่มีทั้งหมด 7ตัวหักเลขในหลักหน่วยออกตัวหนึ่ง หักเลขในหลักพันออกตัวหนึ่ง
ขั้นตอนที่ 4 สร้างเลขในหลักสิบทำได้ 4 วิธี จากเลขที่มีทั้งหมด 7 ตัว หักเลขในหลักหน่วยออกหนึ่งตัว หักเลขในหลักพันออกหนึ่งตัว หักเลขในหลักร้อยออกหนึ่งตัว
ดังนั้น ในกรณีที่หลักหน่วย เป็น 2,4,6 จะสามารถสร้างจำนวน 4 หลักที่เป็นจำนวนคู่บวกได้เท่ากับ \(3\times 5 \times 5 \times 4=300\) วิธี
ถ้าเราแยกคิดเป็นกรณีอย่างนี้ต้องเอาทุกกรณีมาบวกันครับ คำตอบคือ จะสร้างเลข 4 หลักที่เป็นจำนวนเต็มบวกคูได้ทั้งหมด 120+300=420 จำนวน นั่นเอง
***จากตัวอย่างนี้จะเห็นว่าเราจะใช้กฎการคูณเลยไม่ได้ต้องแยกเป็นกรณีในการคิดก่อนแล้วค่อยใช้กฎการคูณเข้าไปในแต่ละกรณี เสร็จแล้วเอาทุกกรณีมาบวกกันก็จะเป็นคำตอบครับ
ตัวอย่างที่ 4 จากตัวเลข 1,2,3,4,5,6 จะสร้างจำนวนเต็มคู่บวกที่มีค่ามากกว่า 400 และน้อยกว่า 999 โดยใช้ตัวเลขที่กำหนดให้ และตัวเลขในแต่ละหลักไม่ซ้ำกันได้กี่จำนวน
วิธีทำ การทำข้อนี้ เข้าต้องการให้สร้างจำนวนคู่บวกที่มีค่าระหว่าง 400 และ 900 จากตัวเลขที่เขากำหนดให้มาจะเห็นว่า ถ้าหลักร้อยเป็นเลข 4,5,6 ตัวเลขที่เราจะสร้างได้มีค่ามากกว่า 400 แน่นอนและไม่มีทางเกิน 999 ด้วย แต่อย่าลืมนะเลขที่เราจะสร้างนั้นจะต้องเป็นจำนวนเต็มคู่บวกด้วยนะ ดังนั้นหลักหน่วยเราต้องเป็นเลข 2,4,6 นะครับหลักหน่วยจะเป็นเลขคี่ไม่ได้นะจ๊ะ ที่นี้ก็จะเกิดปัญหาว่าถ้าเราสร้างจำนวนเต็มคู่บวกนี้โดยสร้างแบบไม่แบ่งกรณี จะเกิดปัญหาว่า ดูนะปัญหาที่ผมจะชี้ให้เห็นว่าทำไมถึงต้องแบ่งกรณีในการคิด
สมมติ
ขั้นตอนที่ 1 สร้างหลักร้อยโดยการใส่เลข 4,5,6 ลงไปในหลักร้อยก็จะทำได้ 3 วิธีใช่ไหมครับ
ขั้นตอนที่ 2 สร้างหลักหน่วย หลักหน่วยต้องเป็นเลขคู่ ใช่ไหมเพราะเข้าต้องการสร้างจำนวนคู่บวก ดูนะถ้าผมใส่เลข 5 ลงไปในหลักร้อย หลักหน่วยก็ใส่เลข 2,4,6 ลงไปได้ซึ่งทำได้ 3 วิธี แต่ถ้า ผมใส่เลข 4 หรือ 6 ลงไปในหลักร้อย ทำให้ได้ว่า
ถ้าใส่เลข 6 ลงในหลักร้อย เลขหลักหน่วยที่ใส่ได้คือ 2 กับ 4 ซึ่งทำได้ 2 วิธี แต่ในขณะเดียวกัน
ถ้าผมใส่เลข 4 ลงไปในหลักร้อย เลขหลักหน่วยที่ใส่ได้คือ 2 กับ 6 ซึ่งทำได้ 2 วิธี เหมือนกัน ซึ่งจะเกิดการขัดแย้ง เพราะหลักร้อยเป็นเลข 5 หลัก สร้างหลักหน่วยได้ 3 วิธี แต่ถ้าหลักร้อยเป็นเลข 4 หรือ 6 สร้างหลักหน่วยได้ 2 วิธี ดังนั้นเราจะสร้างเลขหลักร้อยโดยใช้ตัวเลข 4,5,6 พร้อมกันไม่ได้นะครับ เห็นหรือยัง ดังนั้นต้องแบ่งกรณีคิดครับข้อนี้ ก็คือ
กรณีที่ 1 กรณีที่หลักร้อย เป็นเลข 4 หรือ 6
ขั้นตอนที่ 1 สร้างเลขหลักร้อยทำได้ 2 วิธีคือใส่เลข 4 หรือ 6 ลงไปตามเงื่อนไขที่เขากำหนด
ขั้นตอนที่ 2 สร้างเลขหลักหน่วยทำได้ 2 วิธี คือ คือถ้าใส่เลข 4 ในหลักร้อยหลักหน่วยก็เลือกใส่เลข 2 หรือ 6 ลงไปได้คือทำได้ 2 วิธี แต่ถ้าเลือกใส่เลข 6 ลงไปในหลักร้อย หลักหน่วยก็เลือกใส่เลข 2 หรือ 4 ลงไปได้เห็นไหมทำได้ 2 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 สร้างเลขหลักสิบทำได้ 4 วิธี คือตัวเลขมีทั้งหมด 6 ตัว เอาเลข 4 ออกตัวหนึ่งจากและเอาตัวเลขจากการสร้างขั้นตอนที่สองออกอีกตัวหนึ่งฉะนั้นเหลือ 4 ตัวให้เลือกใช้จึงทำได้ 4 วิธี
เพราะฉะนั้นจำนวนเต็มบวกคู่ที่มีหลักร้อยเป็นเลข 4 หรือ 6 มีจำนวน \(2\times 2 \times 4=16\) จำนวน
กรณีที่ 2 กรณีที่หลักร้อยเป็นเลข 5
ขั้นตอนที่ 1 สร้างเลขหลักร้อยทำได้ 1 วิธีคือใส่เลข 5 ลงไปในหลักร้อย
ขั้นตอนที่ 2 สร้างเลขหลักหน่วยทำได้ 3 วิธีคือใส่เลข 2 หรือ 4 หรือ 6 ลงไปครับ
ขั้นตอนที่ 3 สร้างเลขหลักสิบทำได้ 4 วิธีคือในเลขอะไรก็ลงไปก็ได้ที่ไม่ซ้ำกับเลขหลักร้อยและหลักหน่วย คือมีเลขทั้งหมด 6 ตัวหักออกสองตัวก็เหลือ 4 ตัวนั่นเอง
เพราะฉะนั้นจำนวนวิธีการสร้างจำนวนคู่บวกที่หลักร้อยเป็นเลข 5 มีจำนวนเท่ากับ
\(1\times 3 \times 4=12\) วิธี
คำตอบข้อนี้ต้องเอาทุกณีมาบวกกันครับ ดังนั้นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 400 แต่น้อย 999 มีจำนวนทั้งหมด 16+12=28 จำนวน นั่นเองครับ หวังว่าจะเข้าใจนะครับ
ตัวอย่างที่ 5 ต้องการสร้างจำนวนคู่ที่มีสามหลักจากเลขโดด 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 โดยไม่ใช้เลขโดดซ้ำจะสร้างได้ทำหมดกี่จำนวน
วิธีทำ ข้อนี้ผมวิเคราะห์โจทย์จะเห็นว่าให้สร้างเลขคู่สามหลัก มันจะเป็นเลขคู่ได้หลักหน่วยมันต้องเป็นเลข 0 หรือไม่ก็เลข 2,4,8 เท่านั้นผมก็เลยจะแบ่งการคิดทำเป็นกรณีเพื่อให้เห็นภาพชัดเจนเลยก็คือ
กรณีที่ 1 หลักหน่วยเป็นเลข 0
ฉะนั้นการสร้างเลขหลักหน่วยทำได้แค่ 1 วิธีเท่านั้น(ต้องเป็นเลข 0 เท่านั้น)
หลักร้อย เป็นเลข 1-9 ทำได้ทั้งหมด 9 วิธี
หลักสิบ ใช้เลขโดดอะไรก็ได้ที่ไม่ซ้ำกับหลักร้อยและไม่ใช่เลข 0 ดังนั้นตรงหลักสิบทำได้ 8 วิธี
ดังนั้นการสร้างเลขสามหลักโดยหลักหน่วยเป็นเลข 0 ทำได้ \(1\times 9\times 8=72 วิธี\)
กรณีที่ 2 หลักหน่วยเป็นเลข 2
ฉะนั้นการสร้างเลขหลักหน่วยทำได้ทั้งหมด 1 วิธี(ต้องเป็นเลข 2 เท่านั้น)
หลักร้อย เป็นเลขโดดอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่เลข 2 และเลข 0 อย่าลืมนะโจทย์ให้สร้างเลขสามหลักหลักร้อยจะเป็นเลข 0 ไม่ได้ ดังนั้นหลักนี้ทำได้ 8 วิธี
หลักสิบ ตรงหลักสิบนี้เป็นเลข 0 ได้ แต่เป็นเลข 2 กับเลขที่ใส่ตรงหลักร้อยไม่ได้ดังนั้นหลักนี้ทำได้ทั้งหมด 8 วิธี
ดังนั้นการสร้างเลขสามหลักโดยหลักหน่วยเป็นเลข 2 ทำได้ \(1\times 8\times 8=64 วิธี\)
กรณีที่ 3 หลักหน่วยเป็นเลข 4
ฉะนั้นการสร้างเลขหลักหน่วยทำได้ทั้งหมด 1 วิธี(ต้องเป็นเลข 4 เท่านั้น)
หลักร้อย เป็นเลขโดดอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่เลข 4 และเลข 0 อย่าลืมนะโจทย์ให้สร้างเลขสามหลักหลักร้อยจะเป็นเลข 0 ไม่ได้ ดังนั้นหลักนี้ทำได้ 8 วิธี
หลักสิบ ตรงหลักสิบนี้เป็นเลข 0 ได้ แต่เป็นเลข 4 กับเลขที่ใส่ตรงหลักร้อยไม่ได้ดังนั้นหลักนี้ทำได้ทั้งหมด 8 วิธี
ดังนั้นการสร้างเลขสามหลักโดยหลักหน่วยเป็นเลข 4 ทำได้ \(1\times 8\times 8=64 วิธี\)
กรณีที่ 4 หลักหน่วยเป็นเลข 6
ฉะนั้นการสร้างเลขหลักหน่วยทำได้ทั้งหมด 1 วิธี(ต้องเป็นเลข 6 เท่านั้น)
หลักร้อย เป็นเลขโดดอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่เลข 6 และเลข 0 อย่าลืมนะโจทย์ให้สร้างเลขสามหลักหลักร้อยจะเป็นเลข 0 ไม่ได้ ดังนั้นหลักนี้ทำได้ 8 วิธี
หลักสิบ ตรงหลักสิบนี้เป็นเลข 0 ได้ แต่เป็นเลข 4 กับเลขที่ใส่ตรงหลักร้อยไม่ได้ดังนั้นหลักนี้ทำได้ทั้งหมด 8 วิธี
ดังนั้นการสร้างเลขสามหลักโดยหลักหน่วยเป็นเลข 6 ทำได้ \(1\times 8\times 8=64 วิธี\)
กรณีที่ 5 หลักหน่วยเป็นเลข 8
ฉะนั้นการสร้างเลขหลักหน่วยทำได้ทั้งหมด 1 วิธี(ต้องเป็นเลข 8 เท่านั้น)
หลักร้อย เป็นเลขโดดอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่เลข 8 และเลข 0 อย่าลืมนะโจทย์ให้สร้างเลขสามหลักหลักร้อยจะเป็นเลข 0 ไม่ได้ ดังนั้นหลักนี้ทำได้ 8 วิธี
หลักสิบ ตรงหลักสิบนี้เป็นเลข 0 ได้ แต่เป็นเลข 8 กับเลขที่ใส่ตรงหลักร้อยไม่ได้ดังนั้นหลักนี้ทำได้ทั้งหมด 8 วิธี
ดังนั้นการสร้างเลขสามหลักโดยหลักหน่วยเป็นเลข 6 ทำได้ \(1\times 8\times 8=64 วิธี\)
ดังนั้นจำนวนวิธีในการสร้างจำนวนคู่ที่มีสามหลักโดยเลขโดดไม่ซ้ำกันทำได้ทั้งหมด \(72+64+64+64+64=328\) วิธี นั่นเองครับ
1. มีถนนจากกรุงเทพฯ ถึงลพบุรี 3 สาย และมีถนนจากลพบุรีถึงนครราชสีมา 4 สาย ถ้าจะขับรถยนต์จากกรุงเทพฯถึงนครราชสีมาโดยขับผ่านจังหวัดลพบุรี จะใช้เส้นทางที่ต่างกันได้ทั้งหมดกี่เส้นทาง เขียนแผนภาพแสดงการเดินทางเพื่อประกอบคำตอบด้วย
วิธีทำ ข้อนี้ใช้กฎการคูณ มองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 คือเดินทางจากกรุงเทพไปลพบุรี ซึ่งการเดินทางจากกรุงเทพไปลพบุรีมีเส้นทางให้เลือกเดินทาง 3 สายนั่นคือขั้นตอนนี้มีวิธีการทำงาน 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 คือเดินทางจากลพบุรีไปนครราชสีมา ซึ่งการเดินทางจากลพบุรีไปนครราชสีมามีเส้นทางให้เลือกเดินทาง 4 สายนั่นคือขั้นตอนนี้มีวิธีการทำงาน 4 วิธี
ดังนั้น จะใช้เ้ส้นทางในการเดินทางแตกต่างกันทั้งหมด \(3 \times 4=12\) เส้นทาง
2. หมายเลขโทรศัพท์ซึ่งประกอบไปด้วยเลขโดด 9 ตัว และห้าตัวแรกเป็น 02392 มีได้ทั้งหมดกี่หมายเลข
วิธีทำ เนื่องจากหมายเลขโทรศัทพ์ห้าตัวแรกคือ 02392 ดังนั้นต้องทำงานแค่ 4 ขั้นตอนคือ
ขั้นตอนที่ 1 สร้างหมายเลขโทรศัพท์หลักที่ 6 ซึ่งทำได้ 10 วิธีเพราะใส่เลขโดดหนึ่งตัวอะไรก็ได้อย่าลืมนะเลขโดดมี 10 ตัวคือ 0-9
ขั้นตอนที่ 2 สร้างหมายเลขโทรศัพท์หลักที่ 7 ซึ่งทำได้ 10 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 สร้างหมายเลขโทรศัพท์หลักที่ 8 ซึ่งทำได้ 10 วิธี
ขั้นตอนที่ 4 สร้างหมายเลขโทรศัพท์หลักที่ 9 ซึ่งทำได้ 10 วิธี
ดังนั้นหมายเลขโทรศัพท์มีได้ทังหมด \(10\times 10\times 10\times 10=10000\) หมายเลข
3. สนามกีฬาแห่งหนึ่งมีประตูอยู่ 4 ประตู ถ้าจะเข้าประตูหนึ่งแล้วออกอีกประตูหนึ่งไม่ให้ซ้ำกับประตูที่เข้ามา จะมีวิธีเข้าและออกจากสนามกีฬาแห่งนี้ได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ ข้อนี้มองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 เลือกประตูเข้าซึ่งมีประตูให้เลือก 4 ประตูดังนั้นจึงทำได้ 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกประตูเพื่อเดินออกมีประตูให้เลือกเดินออกแค่ 3 ประตูเพราะจะเลือกเดินออกประตูที่เดินเข้าไม่ได้เพราะโจทย์ห้ามใช้ประตูซ้ำดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 3 วิธี
ดังนั้นวิธีเข้าและออกโดยใช้ประตูไม่ซ้ำกันทำได้ทั้งหมด \(4 \times 3=12\) วิธี
4. จงหาจำนวนนับที่มากกว่า 400 ที่เลขโดดซึ่งใช้ในการเขียนตัวเลขแสดงจำนวนดังกล่าวคือ 2,3,4 และ 5 โดยเลขโดดที่ใช้จะต้องไม่ซ้ำกัน และเป็นจำนวนที่มีสามหลัก หรือ สีหลัก
วิธีทำ ข้อนี้ ต้องแบ่งกรณีในการคิดนะครับ เพราะเราจะสร้างเลขสามหลักและเลขสี่หลักพร้อมกันไม่ได้
กรณีที่ 1 สร้างเลขสามหลัก
ขั้นตอนที่ 1 สร้างเลขหลักร้อย ทำได้ ทำได้ 2 วิธีเพราะว่าใส่ได้แค่เลข 4 หรือ 5 เท่านั้นอย่าลืมนะโจทย์ให้สร้างเลขโดดที่มากกว่า 400 ดังนั้นหลักร้อยเป็นเลขที่น้อยกว่า 4 ไม่ได้
ขั้นตอนที่ 2 สร้างเลขหลักสิบ ทำได้ ทำได้ 3 วิธี ก็คือ
ถ้าหลักร้อยใส่เลข 4 ลงไปหลักสิบก็ใส่เลข 2 หรือ 3 หรือ 5 อะไรก็ได้ลงไปตัวหนึ่งซึ่งก็คือเลือกทำได้ 3 วิธี
ถ้าหลักร้อยใส่เลข 5 ลงไปหลักสิบก็ใส่เลข 2 หรือ 3 หรือ 4 อะไรก็ได้ลงไปตัวหนึ่งซึ่งก็คือเลือกทำได้ 3 วิธี มองเห็นไหม
ขั้นตอนที่ 3 สร้างเลขหลักหน่วย ทำได้ 2 วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีในการสร้างเลขสามหลักที่มีค่ามากกว่า 400 จากเลขโดด 2,3,4,5 จะสร้างได้ \( 2 \times 3 \times 2 =12\) จำนวน
กรณีที่ 2 สร้างเลขสี่หลัก
ขั้นตอนที่ 1 สร้างเลขหลักพัน ทำได้ 4 วิธี ใส่เลขโดดอะไรก็ได้ลงไปเพราะเลขสี่หลักยังไงก็มากกว่า 400 อยู่แล้ว
ขั้นตอนที่ 2 สร้างเลขหลักร้อย ทำได้ 3 วิธี ใส่เลขที่เหลือกจากการใส่ในหลักพัน
ขั้นตอนที่ 3 สร้างเลขหลักสิบ ทำได้ 2 วิธี
ขั้นตอนที่ 4 สร้างเลขหลักหน่วย ทำได้ 1 วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีในการสร้างเลขสี่หลักที่มีค่ามากกว่า 400 จากเลขโดด 2,3,4,5 จะสร้างได้ \( 4 \times 3 \times 2 \times 1 =24\) จำนวน
ดังนั้นคำตอบคือ ต้องเอาทั้งสองกรณีมาบวกกันครับ นั่นคือจำนวนนับที่มีค่ามากกว่า 400 และเป็นจำนวนที่มีสามหลักหรือสี่หลักจะมีทั้งหมด 12+24=36 จำนวนครับ
5. จงหาจำนวนวิธีที่ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าสามลูกมากกว่า 4 เมื่อทอดลูกเต๋าสามลูกพร้อมกัน
วิธีทำ การทำข้อนี้วิธีที่ง่ายที่สุดก็คือ ทำย้อนกลับ กล่าวคือ
จำนวนวิธีทั้งหมดในการทอดลูกเต๋าสามลูกพร้อมกัน ลบออกด้วย จำนวนวิธีที่ผลรวมของแต้มลูกเต๋าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 เมื่อลบจำนวนวิธีที่ผลรวมของแต้มลูกเต๋าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 ออกแล้วก็จะเหลือจำนวนวิธีที่ผลบวกของแต้มลูกเต๋ามากกว่า 4 เข้าใจไหมเอ่ย
เริ่มหากันเลยนะ
จำนวนวิธีทั้งหมดในการทอดลูกเต๋าสามลูกพร้อมกันคือ \(6\times 6 \times 6=216\)
จะเห็นได้ว่าผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าสามลูกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 จะมี (1,1,1) ,(1,1,2),(1,2,1) และ (2,1,1) ซึ่งมีทั้งหมด 4 วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีที่ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าสามลูกจะมากกว่า4เท่ากับ 216-4=212 วิธี
สามารถอ่านและทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับที่ลิงค์นี้ครับ กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
มีคลิปให้ดูด้วยครับเพื่อความเข้าใจมากขึ้น
6. ห้องประชุมห้องหนึ่งมีประตู 4 ประตู นักเรียนคนหนึ่งเดินเข้าไปในห้องประชุมแล้วเดินออกจากห้องประชุม นักเรียนคนนี้จะมีวิธีเลือกประตูเดินเข้าและเดินออกกี่วิธีเมื่อการเดินเข้าและการเดินออกต้องไม่เป็นประตูเดียวกัน
วิธีทำ ข้อนี้ใช้หลักการนับ(กฎการคูณ)มาช่วยในการแก้ปัญหา หรือใครจะวาดแผนภาพต้นไม้ในการหาคำตอบก็ได้คับ
ถ้าเราใช้กฎการคูณ มองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน คือ
ขั้นตอนที่ 1 เลือกประตูที่จะเดินเข้าห้องประชุมซึ่งมีทั้งหมด 4 ประตู ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกประตูที่จะออกจากห้องประชุม ซึ่งมีเงือนไขว่า ห้ามใช้ประตูซ้ำ ก็คือถ้าเราเดินเข้าห้องประชุมโดยใช้ประตู 1 ก็จะเดินออกจากห้องประชุมโดยใช้ประตู 1 ไม่ได้ก็ต้องไปออกประตู 2 หรือ 3 หรือ 4 ก็ได้ ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 3 วิธี
เพราะฉะนั้น จะมีวิธีการเดินเข้าและเดินออกโดยไม่เป็นประตูเดียวกัน \(4\times 3=12\) วิธี
7.ต้องการสร้างคำโดยใช้อักษร 4 ตัวจากคำว่า ABSOLUTE โดยที่อักษรทั้ว 4 ตัวนั้นไม่ซ้ำกัน จะสามารถสร้างได้ทั้งหมดกี่คำโดยไม่คำนึงถึงความหมาย
วิธีทำ ข้อนี้เขาเอาตัวอักษร 4 ตัวจากคำว่า ABSOLUTE มาสร้างคำใหม่ขึ้นมาโดยมีเงื่อนไขคือตัวอักษรที่เลือกมาห้ามซ้ำกัน ดังนั้นใช้กฎการคูณในการหาคำตอบ คือ มองเป็นทำงาน 4 ขั้นตอนเพราะเราต้องเลือกตัวอักษรมา 4 ตัวเพื่อที่จะมาสร้างให้ได้คำๆหนึ่ง
ขั้นตอนที่ 1 เลือกตัวอักษรมา 1 ตัวจากตัวอักษรทั้งหมด 8 ตัวดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 8 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกตัวอักษรมา 1 ตัวจากตัวอักษรที่เหลือคือ 7 ตัว ที่เหลือให้เลือกแค่ 7 ตัวเพราะจะเลือกตัวอักษรจากขั้นตอนที่ 1 ไม่ได้เพราะโจทย์บอกว่าตัวอักษรต้องไม่ซ้ำกัน ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 7 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกตัวอักษรมา 1 ตัวจากตัวอักษรที่เหลือ 6 ตัว ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 6 วิธี
ขั้นตอนที่ 4 เลือกตัวอักษรมา 1 ตัวจากตัวอักษรที่เหลือ 5 ตัว ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 5 วิธี
เพราะฉะนั้นจะมีวิธีสร้างคำได้ทั้งหมด \(8\times 7\times 6\times 5=1680\) คำ
8. กำหนด \(S=\{0,1,2,3,\cdots ,9\}\) จะสร้างจำนวนเต็มบวกคี่ 4 หลัก โดยใช้ตัวเลขจากเซต \(S\) ได้กี่จำนวน
วิธีทำ ข้อนี้มองเป็นทำงาน 4 ขั้นตอน โดยให้เราไปสนใจในการขั้นตอนที่สร้างหลักหน่วยก่อนเพราะต้องเป็นเลขคี่
ขั้นตอนสร้างหลักหน่วย ทำได้คือต้องเป็นเลข 1,3,5,7,9 ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 5 วิธี
ขั้นตอนสร้างหลักพัน ทำได้คือใส่เลข 1-9 ลงไปห้ามใส่เลข 0 นะดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 9 วิธี
ขั้นตอนสร้างหลักสิบ ทำได้คือใส่เลข 0-9 ลงไป ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 10 วิธี
ขั้นตอนสร้างหลักร้อย ทำได้คือใส่เลข 0-9 ลงไป ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 10 วิธี
เพราะฉะนั้นจะมีวิธีสร้างเลข 4 หลักที่เป็นเลขคี่ได้ทั้งหมด \(5\times 9\times 10\times 10=4500\) จำนวน
9.เลขสามหลักที่มีค่าไม่น้อยกว่า 400 ประกอบด้วยเลขโดด 0,1,2,3,4,5 มีกี่จำนวน โดยแต่ละหลักจะใช้ตัวเลขซ้ำกันได้
วิธีทำ ข้อนี้มองเป็นการทำงาน 3 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 สร้างเลขหลักร้อย ทำได้ 2 วิธี เพราะหลักร้อยต้องเป็นเลข 4 หรือ 5 เท่านั้นเพราะเลขสามหลักต้องไม่น้อยกว่า 400
ขั้นตอนที่ 2 สร้างเลขหลักสิบ ทำได้ 6 วิธี เพราะใส่เลข 0-5 ได้หมดเลย
ขั้นตอนที่ 3 สร้างเลขหลักหน่วย ทำได้ 6 วิธี เพราะใส่เลข 0-5 ได้หมดเลย
ดังนั้น สร้างเลขสามหลักได้ทั้งหมด \(2\times 6\times 6=72\) จำนวน
สามารถทำโจทย์เพิ่มเติมได้จากลิงค์นี้นะครับ โจทย์กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
สนับสนุนเว็บไซต์