เวกเตอร์ คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ครูวิษณุเดินทางไปทิศใต้ด้วยระยะทาง 10 กิโลเมตร อย่างนี้เป็นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งการเขียนปริมาณเวกเตอร์ เราจะเขียนแทนด้วย ลูกศร ความยาวลูกศร คือขนาดของเวกเตอร์ ซึ่งการเขียนเวกเตอร์แทนด้วยลูกศรจะยุ่งยากต่อการนำเวกเตอร์มาคำนวณ ดังนั้นจึงมีการเขียนเวกเตอร์ให้อยู่ในระบบพิกัดฉาก ซึ่งเราจะมาดูกันในบทความนี้ว่าเวกเตอร์ในระบบพิฉากนั้นเป็นอย่างไร
มาดูรูปบนก่อนนะครับ
จะเห็นว่า \(\vec{u}\) มีระยะทางแกน X ไปทางขวายาว 3 หน่วย
และมีระยะทางแกน Y ไปทางด้านบนยาว 4 หน่วย ดังนั้นเราสามารถเขียนเวกเตอร์ \(\vec{u}\) ในระบบพิกัดฉากได้ดังนี้คือ
\(\vec{u}=\begin{bmatrix}
3\\4
\end{bmatrix}\)
ถ้าเราต้องการหาขนาดของเวกเตอร์ \(\vec{u}\) ก็หาได้ง่ายๆโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเลยจริงไหมดูรูปเอานะ ฉะนั้นขนาดของเวกเตอร์ \(\vec{u}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(|\vec{u}|\)
\(|\vec{u}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)
ต่อไปดูรูปล่างนะครับ
จะเห็นว่า \(\vec{v}\) มีระยะทางแกน X ไปทางซ้ายยาว 3 หน่วย
และมีระยะทางแกน Y ไปทางด้านล่างยาว 3 หน่วย ดังนั้นเราสามารถเขียนเวกเตอร์ \(\vec{v}\) ในระบบพิกัดฉากได้ดังนี้คือ
\(\vec{v}=\begin{bmatrix}
-3\\-3
\end{bmatrix}\)
ถ้าเราต้องการหาขนาดของเวกเตอร์ \(\vec{v}\) ก็หาได้ง่ายๆโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเลยจริงไหมดูรูปเอานะ ฉะนั้นขนาดของเวกเตอร์ \(\vec{v}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(|\vec{v}|\)
\(|\vec{v}|=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
หมายเหตุ
ถ้าระยะทางแกน X ไปทางขวาจะเป็นบวก
ถ้าระยะทางแกน X ไปทางซ้ายจะเป็นลบ
ถ้าระยะทางแกน Y ไปทางด้านบนจะเป็นบวก
ถ้าระยะทางแทน Y ไปทางด้านล่างจะเป็นลบ
ดูรูปประกอบเอาเองนะครับไม่น่ายาก
จากรูปนะ เวกเตอร์ \(\vec{AB}\) เป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่พิกัด (2,2) และจุดสิ้นสุดที่พิกัด (6,5) ดังนั้นเวกเตอร์ \(\vec{AB}\) สามารถเขียนให้อยู่ในระบบพิกัดฉากได้คือ
\(\vec{AB}=\begin{bmatrix}
6-2\\5-2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4\\3
\end{bmatrix}\)
เป็นอย่างไรบ้าง concept ของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติไม่ยากและเราสามารถนำความตรงนี้ไปขยายใช้ได้กับเวกเตอร์ในระบบพิกัดสามมิติได้ด้วยจริงไหม
แบบฝึกหัดเกี่ยวกับเวกเตอร์
1.จงหาเวกเตอร์ที่ลากระหว่างจุดต่อไปนี้
1) จาก (1,3) ไปยัง (3,9)
วิธีทำ ผมตัั้งชื่อให้เวกเตอร์นี้เป็นเวกเตอร์ \(\vec{u}\)
\(\vec{u}=\begin{bmatrix}
3-1\\9-3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2\\6
\end{bmatrix}\)
2) จาก (1,-1) ไปยัง (-1,1)
วิธีทำ ผมตัั้งชื่อให้เวกเตอร์นี้เป็นเวกเตอร์ \(\vec{u}\)
\(\vec{u}=\begin{bmatrix}
-1-1\\1-(-1)
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2\\2
\end{bmatrix}\)
ต่อไปเราลองขยายความรู้ตรงนี้ไปศึกษา เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ บ้างลองอ่านดูนะครับ
2. เวกเตอร์ใดต่อไปนี้ขนานกับเส้นตรงซึ่งสัมผัสวงกลม \(x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0\) ที่จุด (6,0)
ก. \(3\vec{i}+4\vec{j}\)
ข. \(3\vec{i}-4\vec{j}\)
ค. \(5\vec{i}-3\vec{j}\)
วิธีทำ การทำข้อนี้เราต้องหาความชันของเส้นตรงที่สัมผัสกับวงกลมที่จุด (6,0) ผมให้จุด (x,y) เป็นจุดใดๆที่อยู่บนเส้นตรงนี้เราจะได้สมการเส้นตรงคือ \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) แทนค่า x=6,y=0 จะได้
\(y-0=m(x-6)\)
\(y=m(x-6)\)
แต่เกิดปัญหาครับเราไม่สามารถหาความชันของเส้นตรงนี้ได้เพราะเรารู้พิกัดแค่พิกัดเดียวคือ (6,0) ต้องรู้สองพิกัดจึงจะหาความชันของเส้นตรงได้ครับ แต่อย่าพึ่งกลัวเขาให้วงกลมมาด้วยแสดงว่าต้องมีอะไรเกี่ยวกับวงกลมนี้แน่ครับก่อนอื่นหาจุดศูนย์กลางของวงกลมก่อนครับ
\begin{array}{lcl}x^{2}+y^{2}-4x+6y-12&=&0\\(x^{2}-4x)+(y^{2}+6y)&=&12\\(x^{2}-2(2)x+2^{2})+(y^{2}+2(3)y+3^{2})&=&12+2^{2}+3^{2}\\(x-2)^{2}+(y+3)^{2}&=&5^{2}\end{array}
ดังนั้นจะได้ว่าวงกลมนี้มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2,-3) และรัศมียาว 5 หน่วย ถ้าลองว่ารูปคร่าวก็เป็นดังนี้ครับ
ถ้าเราดูจากรูปเราจะเห็นรัศมีวงกลมซึ่งจะเห็นจุดสองจุดอยู่บนเส้นรัศมีนี้ดังนั้นเราสามารถหาความชันของเส้นรัศมีนี้ได้ เมื่อเรารู้ความชันของรัศมีเราก็สามารถหาความชันของเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมได้ เหตุผลเพราะว่าเส้นสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมีวงกลมที่จุดสัมผัส เมื่อมันตั้งฉากกันแสดงว่าเอาความชันของเส้นทั้งสองมาคูณกันจะเท่ากับ -1 ครับ ดังนั้นเราจะหาความชันของเส้นรัศมีก่อนจะได้
\(m=\frac{-3-0}{2-6}=\frac{3}{4}\)
ดังนั้นความชันของเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมเท่ากับ \(-\frac{4}{3}\) โจทย์ให้หาเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมดังนั้นเวกเตอร์ที่จะขนานกับเส้นสัมผัสวงกลมต้องมีความชันเท่ากันอย่าลืมนะเส้นตรงขนานกันความชันจะเท่ากัน
พิจารณาเวกเตอร์ ก. \(3\vec{i}+4\vec{j}\)
ความหมายของเตอร์นี้ก็คือก็คือเป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด (0,0) และจุดสิ้นสุดที่จุด (3,4) ดังนั้นเวกเตอร์นี้มีความชันคือ \(m=\frac{4-0}{3-0}=\frac{4}{3}\)
พิจารณาเวกเตอร์ ข. \(3\vec{i}-4\vec{j}\)
ความหมายของเตอร์นี้ก็คือก็คือเป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด (0,0) และจุดสิ้นสุดที่จุด (3,-4) ดังนั้นเวกเตอร์นี้มีความชันคือ \(m=\frac{-4-0}{3-0}=-\frac{4}{3}\) จะเห็นว่าเวกเตอร์นี้มีความชันเท่ากับเส้นสัมผัสวงกลมดังนั้นเวกเตอร์นี้ขนานกับเส้นสัมผัสวงกลมครับ
3. กำหนดให้จุด \(A,B\) และ \(C(3,1)\) เป็นจุดบนเส้นตรงเดียวกัน ถ้า \(\vec{AB}=\frac{3}{5}\vec{AC}\) และ \(\vec{BC}=\begin{bmatrix}2\\-4\end{bmatrix}\) แล้ว จงหาพิกัดของจุด \(A\)
วิธีทำ กำหนดพิกัด \(B\) คือ \((x,y)\) และกำหนดพิกัดของ \(A\) คือ \((m,n)\) จากโจทย์เราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\vec{BC}&=&\begin{bmatrix}2\\-4\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}3-x\\1-y\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2\\-4\end{bmatrix}\\so\\3-x=2\quad then\quad x=1\\1-y=-4\quad then\quad y=-3\end{array}
ดังนั้น พิกัดของจุด \(B\) คือ \((1,5)\) ต่อไปหาพิกัดของ จุด \(A\)
จาก
\begin{array}{lcl}\vec{AB}&=&\frac{3}{5}\vec{AC}\\\begin{bmatrix}1-m\\-3-n\end{bmatrix}&=&\frac{3}{5}\begin{bmatrix}3-m\\1-n\end{bmatrix}\\so\\1-m=\frac{3}{5}(3-m)\cdots\quad (1)\\5-n=\frac{3}{5}(1-n)\cdots\quad (2)\end{array}
ต่อไปเรามาแก้สมการ \((1)\) และ \((2)\) เพื่อ หาค่าของ \(m\) และ \(n\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}1-m&=&\frac{3}{5}(3-m)\\5-5m&=&3(3-m)\\5-5m&=&9-3m\\-5m+3m&=&9-5\\-2m&=&4\\m&=&-2\end{array}
ต่อไปหา \(n\)
\begin{array}{lcl}5-n&=&\frac{3}{5}(1-n)\\25-5n&=&3(1-n)\\25-5n&=&3-3n\\-5n+3n&=&-25+3\\-2n&=&-22\\n&=&11\end{array}
นั่นคือพิกัดของจุด \(A\) คือ \((-2,11)\quad\underline{AnS}\)
สนับสนุนเว็บไซต์