ก่อนหน้านั้นผมได้เขียนบทความการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นไปแล้ว และได้ยกตัวอย่างไว้เป็นอันมากหลาย ใครที่ยังไม่ได้อ่านก็ควรเริ่มอ่านจากบทความนี้ก่อน การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น    สำหรับบทความนี้ก็เป็นการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นเหมือนกันแต่เป็นการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นสำหรับสิ่ิงของที่ไม่ต่างกันทั้งหมด พูดง่ายๆก็คือมีสิ่งของซ้ำกันนั่นเองครับ

ไม่พูดพร่ำทำเพลงอธิบายให้ยืดยาว เรามาดูสูตรในการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมดเลยครับ

ถ้ามีสิ่งของอยู่  n  สิ่งในจำนวนนี้มี  \(n_{1}\)  สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี \(n_{2}\) สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่สอง...มี \(n_{k}\)  สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ k   โดยทีี \(n_{1}+n_{2}+...n_{k}=n\)

จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มของสิ่งของ n สิ่งที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมดเท่ากับ  \[\frac{n!}{n_{1}!\times n_{2}! \times ...\times n_{k}!}\]

มาดูตัวอย่างการทำโจทย์กันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 1  จงหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรจากคำว่า "MATHEMATICS" ที่แตกต่างกัน โดยที่ไม่คำนึงถึงความหมาย

วิธีทำ  นับจำนวนตัวอักษรได้ทั้งหมด 11 ตัว  นั่นคือ  \(n!  =  11!\)

มีตัวอักษร M  อยู่ 2  ตัว

มีตัวอักษร A อยู่ 2  ตัว

มีตัวอักษร T อยู่ 2  ตัว

และมีตัวอักษร H,E,I,C และ S อย่างละ  1  ตัว

จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรดังกล่าวเท่ากับ

\(\frac{11!}{2!2!2!1!1!1!1!1!}=4989,600\)  วิธี    ต่อไปที่สิ่งของมีอย่างละ 1 ตัวคือ 1! ไม่ต้องใส่ก็ได้ค่าเท่าเดิม


ตัวอย่างที่ 2  มีหนังสือคณิตศาสตร์ 3 เล่ม หนังสือภาษาอังกฤษ 2 เล่ม และหนังสือและหนังสือภาษาไทย 4 เล่ม ถ้าถือว่าหนังสือวิชาเดียวกันไม่แตกต่างกันแล้วจะจัดเรียงหนังสือทั้งหมดบนชั้นวางหน้ังสือได้กี่วิธี

วิธีทำ  ข้อนี้จะเห็นว่าหนังสือไม่แตกต่างกันก็คือสิ่ิงของที่เรานำมาจัดเรียงไม่แตกต่างกันทั้งหมด หรือมีสิ่งของซ้ำกันนั่นเองใช้สูตรข้างบนได้เลย

มีหนังสือรวมทั้งหมด  3+2+4=9 เล่ม

มีหน้งสือคณิตศาสตร์ที่ไม่แตกต่างกัน  3  เล่ม

มีหนังสือภาษาอังกฤษที่ไม่แตกต่างกัน 2 เล่ม

มีหนังสือภาษาไทยที่ไม่แตกต่างกัน 4 เล่ม

ดังนั้นจะมีจำนวนวิธีจังเรียงหนังสือทั้งหมดบนชั้นวาง  \(\frac{9!}{3!2!4!}=1260\)   วิธี


ตัวอย่างที่ 3 มีหลอดไฟสีขาว  4  หลอด สีแดง 5 หลอด และสีน้ำเงิน  6  หลอด ต้องการนำหลอดไฟทั้งหมดไปประดับตามรั้วในแนวเส้นตรงจะประดับได้กี่วิธีที่แตกต่างกันเมื่อหลอดไฟสีเดียวกันไม่ต่างกัน

วิธีทำ  ข้อนี้มีสิ่งของทั้งหมดก็คือมีหลอดไฟทั้งหมด  4+5+6=15  หลอด

หลอดไฟสีขาว  4  หลอด

หลอดไฟสีแดง  5  หลอด

หลอดไฟสีน้ำเงิน  6  หลอด

ดังนั้นจะมีจำนวนวิธีในการประดับหลอดไฟที่แตกต่างกันทั้งหมด \(\frac{15!}{4!5!6!}=630,630\)  วิธี


ตัวอย่างที่ 4  จำนวนวิธีจัดเรียงตัวอักษร "ENTRANCE" ซึ่งตัวอักษร E  ไม่อยู่ติดกันเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ  การคิดข้อนี้เราจะคิดแบบตรงข้ามนะครับ บางทีคิดแบบตรงๆมันยาก เราก็ต้องทำในทางตรงกันข้าม ก็คือ

เอาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของทั้งหมด ลบด้วย  จำนวนวิธีจัดเรียงแบบให้ E ติดกัน ก็จะได้ จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่ E ไม่ติดกันจริงไหม

ขั้นตอนแรก หาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของทั้งหมดก่อน

มีตัวอักษรทั้งหมด  8  ตัว

มี E ทั้งหมด 2 ตัว

มี N ทั้งหมด 2 ตัว

มี T ทั้งหมด 1 ตัว

มี R ทั้งหมด 1 ตัว

มี A ทั้งหมด 1 ตัว

มี C ทั้งหมด 1 ตัว

ดั้งนั้นจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรนี้มีทั้งหมด \(\frac{8!}{2!2!1!1!1!1!}=10080\)  วิธี

ขั้นตอนที่สอง  หาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่ิงของโดยให้ตัว E  ติดกันครับ

ก็คือมัด E ที่มีสองตัวเป็นหนึ่งมัดเดียวกัน ฉะนั้น

เราจะมีตัวอัักษรทั้งหมด   7 ตัว

มี E ทั้งหมด 1 ตัว (มัดรวมกันแล้วเลยนับเป็น 1 ตัว)

มี N ทั้งหมด 2 ตัว

มี T ทั้งหมด 1 ตัว

มี R ทั้งหมด 1 ตัว

มี A ทั้งหมด 1 ตัว

มี C ทั้งหมด 1 ตัว

ดังนั้นจะได้จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนโดยตัว E ติดเท่ากับ \(\frac{7!}{1!2!1!1!1!1!}=2520\) วิธี

เพราะฉะนั้นคำตอบของข้อนี้

จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนโดยให้ E ไม่ติดกัน = จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด -  จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนโดยให้ E ติดกัน

ซึ่งก็คือ 10080-2520=7560  วิธี


ตัวอย่างที่ 5 ถ้านำเลขโดด 0,2,2,3,3,3,4 มาสร้างเป็นจำนวนที่มีค่ามากกว่าหนึ่งล้าน จะมีทั้งหมดกี่จำนวน

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยาก ข้อนี้สังเกตเขาให้เลขโดดเรามา 7 ตัว  มาสร้างเป็นเลขที่มีค่ามากกว่าหนึ่งล้าน สังเกตว่าถ้า 0 อยู่ในหลักล้าน เลขที่เราสร้างจะมีค่าไม่ถึงล้าน เข้าใจไหม เช่น  0423,233  เลขนี้ไม่ค่าไม่ถึงล้าน ดังนั้นหลักการในการหาคำตอบข้อนี้คือ

นำเลขโดดทั้งหมดมาเรียงสับเปลี่ยนก่อน  และในบรรดาทั้งหมดที่เราเรียงสับเปลี่ยนนั้นมันจะมีประเภทที่ 0 อยู่ในหลักล้าน เราค่อยหาว่าประเภทที่ 0 อยู่ในหลักล้านมีกี่ตัว แล้วค่อยเอาไปลบออกก็จะเป็นคำตอบ  ไม่รู้ว่าจะอ่านเข้าใจหรือเปล่า ไม่พูดมากแล้วไปทำกันเลยดีกว่า

นำเลขโดดทั้งหมดที่โจทย์ให้มาเรียงสับเปลี่ยนก็จะได้ \(\frac{7!}{1!2!3!1!}=420 \)  จำนวน

ใน 420 จำนวนนี้มันจะมีประเภทที่ว่า มีเลข 0 อยู่ในหลักล้านด้วยนะ ดังนั้นต่อไปต้องหาว่าประเภทที่มีเลข 0 ในหลักล้านมีกี่จำนวน วิธีการคือ เอา 2,2,3,3,3,4 มาเรียงสับเปลี่ยน เข้าใจไหม เลข 0 ไม่ต้องเอามาด้วยนะคิดออกนะ

จะได้ \(\frac{6!}{2!3!1!}=60\)

เพราะฉะนั้น จำนวนที่มีค่ามากกว่าหนึ่งล้านมีทั้งหมด 420-60=360 จำนวน


ตัวอย่างที่ 6 มีลูกบอล 6 ลูก เป็นสีแดง 1 ลูก สีขาว 1 ลูก สีเหลือง 1 ลูก และสีดำ 3 ลูก ทุกลูกมีขนาดเท่ากัน เลือกลูกบอล 4 ลูก มาจัดเรียงเป็นแถวตรงได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ ข้อนี้สิ่งที่ต้องวิเคราะห์คือ เลือกลูกบอล 4 ลูก มาจัดเรียง เราจึงต้องแบ่งกรณีในการคิดได้ดังนี้

กรณีที่ 1  เลือกลูกบอลสีดำ 3 ลูก และสีอื่นอีก 1 ลูกครบแล้ว 4 ลูก

            *** เลือกลูกบอลสีดำมา 3  ลูกอีกลูกเลือกสีแดง ก็จะได้ลูกบอล 4 ลูกนำทั้งหมดนี้มาเรียงสับเปลี่ยน

มีลูกบอลทั้งหมด 4 ลูก ดังนั้น \(n!=4!\)

            เป็นลูกบอลสีดำที่เหมือนกัน  3  ลูก

            เป็นลูกบอลสีแดง    1   ลูก

จะได้จำนวนวิธีจัดเรียงคือ  \(\frac{4!}{3!1!}= 4\)       วิธี

          ***เลือกลูกบอลสีดำมา 3  ลูกอีกลูกเลือกสีขาว ก็จะได้ลูกบอล 4 ลูกนำทั้งหมดนี้มาเรียงสับเปลี่ยน

มีลูกบอลทั้งหมด 4 ลูก ดังนั้น \(n!=4!\)

            เป็นลูกบอลสีดำที่เหมือนกัน  3  ลูก

            เป็นลูกบอลสีขาว    1   ลูก

จะได้จำนวนวิธีจัดเรียงคือ  \(\frac{4!}{3!1!}= 4\) วิธี

         ***เลือกลูกบอลสีดำมา 3  ลูกอีกลูกเลือกสีเหลือง ก็จะได้ลูกบอล 4 ลูกนำทั้งหมดนี้มาเรียงสับเปลี่ยน

มีลูกบอลทั้งหมด 4 ลูก ดังนั้น \(n!=4!\)

            เป็นลูกบอลสีดำที่เหมือนกัน  3  ลูก

            เป็นลูกบอลสีเหลือง    1   ลูก

จะได้จำนวนวิธีจัดเรียงคือ  \(\frac{4!}{3!1!}= 4\) วิธี

ดังนั้นในกรณีที่ จัดเรียงได้ทั้งหมด  4+4+4=(3)4=12  วิธี

หรือเราจะคิดแบบง่ายคือคิดแค่ *** เพียงแค่ครั้งเดียวแล้วก็คูณ 3 เอาเพราะดอกจันทน์ที่เหลือได้ค่าเท่ากัน  งงไหม

กรณีที่ 2  เลือกสีดำ 2 ลูกและเลือกสีอื่นอีก 2 ลูก กรณีนี้ผมจับคูณ  3 เลยนะไม่ทำเหมือนกรณีที่ 1 มันยาว

            มีลูกบอลทั้งหมด  4  ลูก

            เป็นสีดำ 2  ลูก

             เป็นสีอื่นสองสี สีละ 1 ลูก

           ดังนั้นจำนวนวิธีในการจัดเรียงคือ \(\frac{4!}{2!1!1!}\times 3=36\)  วิธี

กรณีที่ 3 เลือกสีดำ 1 ลูกและเลือกสีอื่นอีก 3 ลูก

             มีลูกบอลทั้งหมด  4  ลูก

             เป็นสีดำ  1  ลูก

             และอื่นสีละ 1 ลูก

  กรณีนี้จะเห็นว่าคือการนำสิ่งของที่แตกต่างกัน 4  สิ่งมาเรียงสับเปลี่ยนกัน จะได้จำนวนวิธีคือ \(P_{4,4}=4!=24\) วิธี

เอาทุกกรณีมารวมกันก็จะเป็นคำตอบครับ  \(12+36+24=72\)     วิธี


ตัวอย่างที่ 7   นำแจกันเดียวกัน 12 ใบ ซึ่งเป็นแจกันเคลือบเงา 4 ใบ แจกันลายดอก 4 ใบ และแจกันดินเผา 4 ใบ มาเรียงเป็นแถวได้กี่วิธี ถ้า

1) ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม

วิธีทำ  ข้อนี้วิธีการทำก็คือการเอาสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมดมาเรียงสับเปลี่ยนนั้นเองก็จะได้จำนวนวิธีคือ

\(\frac{12!}{4!4!4!}\)  วิธี   คำนวณเป็นตัวเลขเองนะครับ

2)  มีแจกันดินเผาอยู่ริมสุดทั้งสองข้าง

วิธีทำ  เลือกแจกันดินเผา 2 ใบมาวางด้านริมสุดทั้งสองข้าง  แล้วหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่เหลือที่อยู่ระหว่างแจกันดินเผา 2 ใบที่วางริมสองข้างจะได้จำนวนวิธีคือ

\(\frac{10!}{4!4!2!}\)   วิธี

3) มีแจกันดินเผาอยู่ติดกันเสมอ

วิธีทำ มัดแจกันดินเผา 4 ใบรวมเป็น 1 มัดนับที่เรามัดไว้เป็น 1 มัดนะครับดังนั้นเราจะมีแจกันให้เราเรียงสับเปลี่ยนจำนวน 9 ใบ  เราจะได้จำนวนวิธีคือ

\(\frac{9!}{4!4!1!}\)   วิธี


ตัวอย่างที่ 8  กำหนดแผงผังเมืองหนึ่งดังรูป

รอยเส้นในแผนผังแทนถนนน ต้องการเดินทางออกจากจุด O ไปยังจุด P  โดยมีเงื่อนไขว่าจะต้องเดินทางไปทางทิศเหนือหรือทิศตะวันออกเท่ากนั้น จงหาจำนวนเส้นทางทั้งหมดจากจุด O ไปยังจุด P โดยที่ 

1) ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม

2) เส้นทางต้องผ่านจุด A

3) เส้นทางต้องไม่ผ่านจุด A

วิธีทำ  แนวทางการทำโจทย์ข้อนี้ก็คือ

สมมติว่า

เดินทางไปทางเหนือ 1 ช่องแทนด้วย ตัว N หนึ่งตัว

เดินทางไปตะวันออก 1 ช่องแทนด้วย ตัว E หนึ่งตัว 

ดังนั้นเส้นทางที่จากจุด O ไปยังจุด P เราไปจะเดินแบบนี้ก็ได้ คือ เดินขึ้นเหนือไป 8 ช่องแล้วเลี้ยวขวาไปทางทิศตะวันออกอีก 7 ช่องเราก็จะได้เส้นทางในการเดินดังนี้

NNNNNNNNEEEEEEE 

หรือ  เดินทางไปทางทิศตะวันออก 7 ช่องแล้วค่อยเดินขึ้นไปทางเหนืออีก 8 ช่องก็จะถึงจุด P เราก็จะได้เส้นทางในการเดินดังนี้

EEEEEEENNNNNNNN

หรือเราจะเดินแบบนี้ก็ได้

EENNNENENEEENNN

สรุปก็คือต้องเดินผ่านช่อง E จำนวน 7 ครั้งและผ่านช่อง N จำนวน 8 ครั้ง จึงจะถึงจุด P ครับ 

ดังนั้นจำนวนเส้นทางทั้งหมดถ้าพิจารณาดีๆ ก็คือ การนำสิ่งของเหล่านี้คือ EEEEEEENNNNNNNN มาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นนั้นเองครับ เริ่มหาคำตอบกันแต่ละข้อเลยครับ

1) ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม

จำนวนเส้นทางจากจุด P ไปยังจุด O ก็คือเป็นการหาจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของ EEEEEEENNNNNNNN

ดังนั้นจำนวนเส้นทางจากจุด O ไปยัง P เท่ากับ \(\frac{15!}{7!8!}=6435\)  เส้นทาง

2) เส้นทางต้องผ่านจุด A

จำนวนเส้นทางจากจุด O ไปยังจุด P โดยผ่านจุด A เสมอ คือ ดูรูปประกอบนะครับจะเห็นว่าการที่เราจะเดินทางจากจุด Pไปยังจุด A นั้นเราต้องเดินไปทางตะวันออก 4 ช่องนั่นคือต้องมี EEEE และเดินทางไปทางทิศเหนือ 4 ช่องนั่นคือต้องมี NNNN  ดังนั้นจำนวนเส้นทางจากจุด O ไปยังจุด A เท่ากับ

\[\frac{8!}{4!4!}\]

ต่อหาจำนวนเส้นทาง จากจุด A ยังจุด P

จากรูปถ้าเราจะเดินทางจาก A ไปยัง P จะต้องเดินไปทางตะวันออก 3 ช่องนั่นคือต้องมี EEE และต้องไปทางเหนือ 4 ช่องนั่นคือต้องมี NNNN ดังนั้นจำนวนเส้นทางจากจุด A ไปยังจุด P เท่ากับ

\[\frac{7!}{3!4!}\]

สรุป จะเห็นว่าการที่เราจะหาจำนวนเส้นทางในการเดินทางไปยังจุด P  โดยต้องเดินผ่านจุด A นั้นเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอนคือ

ขั้นตอนที่ 1  หาจำนวนเส้นทางจาก O ไปยังจุด A ก่อนซึ่งมีทั้งหมด

\(\frac{8!}{4!4!}\)  เส้นทาง

ขั้นตอนที่ 2 หาจำนวนเส้นทางจาก A ไปยังจุด P ซึ่งมีทั้งหมด

\(\frac{7!}{3!4!}\) เส้นทาง

ดังนั้น จำนวนเส้นทางจากจุด O ไปยังจุด P โดยผ่านจุด A เท่ากับ

\[\left(\frac{8!}{4!4!}\right)\left(\frac{7!}{3!4!}\right)=2450 \]  เส้นทาง

3) เส้นทางต้องไม่ผ่านจุด A

ข้อนี้เราจะไม่หาแบบตรงนะครับ เราจะหาโดย

เอาจำนวนเส้นทางจากจุด O ไปยังจุด P  ลบออกด้วย จำนวนเส้นทางจากจุด O ไปยังจุด P โดยผ่านจุด A  ก็จะได้จำนวนเส้นทางจากจุด O ไปยังจุด P โดยที่ไม่ผ่านจุด A ครับ ก็คือเอาคำตอบจากข้อย่อยที่ 1) ลบออกด้วยคำตอบของข้อย่อยที่ 2)  นั่นคือ \(6435-2450=3985\) เส้นทาง


ตัวอย่างที่ 8 คำว่า MACBAKA ถ้านำตัวอักษรมาเรียงใหม่โดยไม่สนใจความหมายจะเรียงได้ทั้งหมดกี่วิธี ถ้า B ห้ามอยู่ติดกับ A

วิธีทำ  ข้อนี้เราจะให้วิธีการหาคำตอบโดยการทำตรงแบบตรงกันข้ามนะครับ ก็คือ

เอาจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนคำว่า MACBAKA ที่ได้ทั้งหมด ลบออกด้วย จำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนคำว่า MACBAKA โดยที่ให้ B ติดกับ A

ขั้นตอนที่ 1  หาจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนคำว่า MACBAKA ซึ่งจะได้เท่ากับ

\begin{array}{lcl}\frac{7!}{3!}&=&840\end{array}  วิธี

ขั้นตอนที่ 2  หาจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนคำว่า MACBAKA โดยที่ให้ B ติดกับ A  ซึ่งถ้าลองคิดตามเราจะได้หน้าตาในการเรียงประมาณนี้

BAMCKAA

BAMCAKA

BAAAMCK

MBAKCAA

ABAAKMC

AABAMKC

ซึ่งถ้าคำนวณออกมาจะได้จำนวนทั้งหมด (มัด BA เป็นก้อนเดียวกัน)

\begin{array}{lcl}\frac{6!}{2!}&=&360\end{array}

แต่เราสามารถสลับที่ BA  เป็น AB ได้ ซึ่งก็จะได้จำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนมาอีก 360 วิธี

นั่นก็คือ จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน คำว่า MACBAKA โดยที่ B ติดกับ A จะมีจำนวนเท่ากับ 360+360=720 วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีในการเรียงสับเปลียนคำว่า MACBAKA โดยที่ B ห้ามติดกับ A จึงเท่ากับ

\(840-720=120\) วิธี