วันนี้เราจะมาศึกษาเกี่ยวกับตัวกลางเลขคณิต ตัวกลางเลขคณิตชื่อก็บอกแล้วว่าเป็นตัวกลางดังนั้นตัวกลางเลขคณิตคือตัวที่อยู่ตรงกลาง ตัวอย่างเช่น
กำหนดลำดับเลขคณิตคือ 5,10,15 ตัวกลางเลขคณิตของลำดับเลขคณิตนี้คือ 10
กำหนดลำดับเลขคณิตคือ 2,3,4,5,6,7 ตัวกลางเลขคณิตแล้วแต่เราจะพิจาณาเช่น
ตัวกลางเลขคณิตระหว่าง 2 และ 4 คือ 3
ตัวกลางเลขคณิตระหว่าง 2 กับ 5 คือ 3 และ 4
ตัวกลางเลขคณิตระหว่าง 2 กับ 7 คือ 3,4,5,6 เป็นต้น
ตัวอย่างการหาตัวกลางเลขคณิต
1) กำหนดให้ x เป็นตัวกลางเลขคณิตที่อยู่ระหว่าง a และ b จงหา x
วิธีทำ จากโจทย์จะได้ลำดับ \(a,x,b\) เราต้องการหา \(x\)
เรารู้ว่าลำดับนี้ \(a,x,b\) เป็นลำดับเลขคณิต ดังนั้นจากความสมบัติของลำดับเลขคณิตเราจะได้ว่า
\(x-a=b-x\)
\(x+x=b+a\)
\(2x=b+a\)
\(x=\frac{b+a}{2}\)
จากข้อที่ 1 นี้ผมพยายามจะโยงไปหาสูตรสำหรับการหาตัวกลางของเลขคณิตในกรณีที่มี 3 พจน์คือใช้สูตรนี้เลยครับ
\(x=\frac{b+a}{2}\)
2) จงหาตัวกลางเลขคณิตที่อยู่ระหว่าง 12 และ 38
วิธีทำ ให้ \(x\) เป็นตัวกลางเลขคณิตที่อยู่ระหว่าง 12 และ 38
ถ้าเขียนเรียงกันก็จะได้ \(12,x,38\) จะเห็นว่า \(a=12,b=38\) แทนค่าลงในสูตรเลยครับ
จากสูตร \(x=\frac{b+a}{2}\)
\(x=\frac{12+38}{2}\)
\(x=25\)
3) จงหาตัวกลางเลขคณิตที่อยุ่ระหว่าง -3 และ 9
วิธีทำ แทนค่าลงไปในสูตรเลยน่ะเรื่องนี้ไม่ยาก จะเห็นว่า \(a=-3,b=9\)
จากสูตร \(x=\frac{a+b}{2}\)
\(x=\frac{-3+9}{2}\)
\(x=\frac{6}{2}\)
\(x=3\)
ไม่ยากครับ ตัวอย่างที่ผ่านมากคือการหาตัวกลางเลขคณิตในกรณีที่มี 3 พจน์ ใช้สูตรเลยนะครับ
ต่อไปเรามาดูการหาตัวกลางเลขคณิต ในกรณีที่ตัวที่อยู่ตรงกลางมี k พจน์
กำหนดให้ \(X,a,b,c,...,j,k,Y\) เป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมคือ d ซึ่งจาก \(a,b,c,...j,k\) กำหนดให้มีจำนวนทั้งหมด k พจน์ จากสมบัติของลำดับเลขคณิตเราจะได้ว่า
\(a=X+d\)
\(b=X+2d\)
\(c=X+3d\)
\(\vdots\)
\(j=X+(k-1)d\)
\(k=X+kd\)
จากสมบัติของลำดับเลขคณิตเราจะได้ว่า
\(X+d-X=Y-(X+kd)\)
\(d=Y-X-kd\)
\(kd+d=Y-X\)
\(d(k+1)=Y-X\)
\(d=\frac{Y-X}{k+1}\) เป็นสูตรในการค่า d ในกรณีที่ตัวกลางเลขคณิตมีจำนวน k พจน์ส่วน \(X\) คือพจน์แรก และ \(Y\) คือพจน์สุดท้าย ดูจากสูตรอาจจะยากเรามาดูวิธีการใช้สูตรเลยดีกว่าครับ
ตัวอย่าง จงหาตัวกลางเลขคณิต 4 จำนวน ระหว่าง 17 กับ 32
วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่า \( k=4,X=17,Y=32\)
แทนค่าในสูตรเลยครับ
\(d=\frac{Y-X}{k+1}\)
\(d=\frac{32-17}{4+1}\)
\(d=\frac{15}{5}\)
\(d=3\)
ดังนั้นลำดับนี้มีผลต่างร่วมหรือว่าค่า d=3 ก็เพิ่มขึ้นหรือว่าบวกเพิ่มทีละ 3 นั่นเอง
พจน์แรกคือ 17 พจน์ที่สองต้องเป็น 17+3=20 บวกเพิ่มอย่างนี้เรื่อยๆครับจะได้
17,20,23,26,29,32 นั่นคือตัวกลางเลขคณิตที่อยู่ระหว่าง 17 กับ 32 คือ 20,23,26,29 นั่นเอง
ตัวอย่าง จงหาตัวกลางเลขคณิต 4 จำนวนที่อยู่ระหว่าง -8 กับ 17
วิธีทำ ใช้สูตรเลยครับ k=4 นะครับ
จากสูตร \(d=\frac{Y-X}{k+1}\)
\(d=\frac{17-(-8)}{4+1}\)
\(d=\frac{25}{5}\)
\(d=5\)
จะต้องบวกเพิ่มอีกทีละ 5 นั่นเอง จะได้
พจน์แรกคือ -8
พจน์ที่สองคือ -8+5=-3 บวกเพิ่มทีละ 5 ไปเรื่อยๆจะได้
\(-8,-3,2,7,12,17\) ดังนั้นตัวกลางเลขคณิต 4 ตัวคือ \(-3,2,7,12\) นั่นเอง
ปล. ศึกษาตัวกลางเลขคณิตแล้วอย่าลืมไปศึกษาตัวกลางเรขาคณิต ด้วยครับ