โจทย์อนุกรมเลขคณิต วันนี้ผมจะพาทุกคนทำฝึกทำโจทย์เกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิตนะครับ จริงๆเรื่องนี้อนุกรมเลขคณิตผมได้เขียนไว้แล้วครับตามไปดูที่ลิงค์ได้เลยครับ สิ่งที่ควรรู้เกี่ยวกับการทำโจทย์อนุกรมเลขคณิตคือสูตรในการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ซึ่ง ก็มี 2  สูตรด้วยกันดังนี้

\(S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\)       สูตรนี้เอาไว้ใช้เมื่อรู้พจน์สุดท้าย

\(S_{n}=\frac{n}{2}\left[2a_{1}+(n-1)d\right]\)      สูตรนี้ใช้ตอนไหนก็ได้ครับแต่สูตรอาจจะยาวหน่อย

มาดูตัวอย่างการใช้สูตรกันเลยครับ

ตัวอย่าง 1  จงหาค่าของอนุกรมต่อไปนี้

1)   \(4+4+6+...+80\)

วิธีทำ อนุกรมนี้เป็นอนุกรมเลขคณิต ใช้ไหมครับ รู้พจน์สุดท้ายใช้สูตรนี้ได้เลย

\(S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\)

แต่เรายังไม่รู้ว่าอนุกรมนี้มีกี่พจน์ ก็คือยังไม่รู้ \(n\)   ดังนั้นเราต้องหาเอ็นก่อนครับ เราหา  \(n\)  จากความรู้เรื่องลำดับเลขคณิตครับจากพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต คือ  \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)       เราก็แทน \(a_{n}\)     ด้วย  80  ครับจะได้

\(80=2+(n-1)2\)               อย่าลืมนะ   \(a_{1}=2,d=4-2=2\)

\(80=2+2n-2\)

\(n=\frac{80}{2}\)

\(n=40\)

ดังนั้นอนุกรมนี้มีทั้งหมด  40  พจน์นั้นเอง ข้อนี้เราก็หา  \(S_{40}\)     นั่นเอง

จาก      \(S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\)

\(S_{40}=\frac{40}{2}(2+80)\)            อย่าลืมนะ  \(a_{n}\)        คือพจน์สุดท้าย

\(S_{40}=20(82)\)

\(S_{40}=1640\)


2)   ผลบวก 12  พจน์แรกของ  3+5+7+...

วิธีทำ  ข้อนี้หา  \(S_{12}\)  นั่นเอง ข้อนี้เราไม่รู้พจน์สุดท้าย ด้งนั้นใช้สูตรสองได้ครับ  ข้อนี้ n=12,d=2

\(S_{n}=\frac{n}{2}\left[2a_{1}+(n-1)d\right]\) 

\(S_{12}=\frac{12}{2}\left[2(3)+(12-1)2\right]\) 

\(S_{12}=6\left[6+22\right]\)

\(S_{12}=168\)


ตัวอย่าง 2  ลำดับชุดหนึ่ง มี  \(a_{n}=2n+1\)    จงหาค่าของ \(S_{10}\)

วิธีทำ  ข้อนี้ให้ค่าหา  \(S_{10}\)   ดังนั้นเราจำเป็นต้องรู้ค่าของ   \(a_{10}\)   และ  \(a_{1}\)   ก่อนครับ

ก็หาจากลำดับที่โจทย์กำหนดมาให้จาก

\(a_{n}=2n+1\)

\(a_{10}=2(10)+1\)

\(a_{10}=21\)

ต่อไปหา  \(a_{1}\)

\(a_{1}=2(1)+1\)

\(a_{1}=3\)

โจทย์ให้หาค่า  \(S_{10}\)    พจน์แรกรู้   พจน์สุดท้ายรู้  ก็แทนค่าในสูตรนี้เลย  ให้หา \(S_{10}\)      ดังนั้นพจน์สุดท้ายคือ  \(a_{10}\)      นั่นเองครับ

\(S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\) 

\(S_{10}=\frac{10}{2}(3+21)\)

\(S_{10}=120\)


ตัวอย่าง 3  ลำดับชุดหนึ่งมี  \(a_{n}=3n-1\)   จงหาค่าของ  \(a_{6}+a_{7}+a_{8}+...+a_{20}\)

วิธีทำ เรามาดูตรงนี้ก่อน \(S_{20}\)     คือผลบวก 20  พจน์แรก ซึ่งก็คือ

\(S_{20}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}...+a_{20}\)

และ  \(S_{5}\)     คือผลบวก 5  พจน์แรก ซึ่งก็คือ

\(S_{5}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}\)

ซึ่งเราจะเห็นว่า  ต้องเห็นเหมือนผมนะ

\(S_{20}-S_{5}=a_{6}+a_{7}+a_{8}+...+a_{20}\)         ดังนั้นข้อนี้ก็คือหาค่าของ  \(S_{20}-S_{5}\)      นั่นเองครับ

หาทีละตัวก่อนนะแล้วค่อยเอามาลบกันครับ

\(S_{20}\)  ก่อน   ต้องหา  \(a_{20},a_{1}\)  ให้ได้ก่อน

จาก  \(a_{n}=3n-1\)

\(a_{20}=3(20)-1\)

\(a_{20}=59\)

\(a_{1}=3(1)-1\)

\(a_{1}=2\)

\(S_{20}=\frac{20}{2}(2+59)\)

\(S_{20}=10(61)\)

\(S_{20}=610\)

ต่อไปหา  \(S_{5}\)    ครับ

จาก \(a_{n}=3n-1\)

\(a_{5}=3(5)-1\)

\(a_{5}=14\)

\(S_{5}=\frac{5}{2}(2+14)\)

\(S_{5}=\frac{5}{2}\times 16\)

\(S_{5}=5\times 8\)

\(S_{5}=40\)

หาได้ทั้งสองอันแล้วก็เอามาลบกันก็จะได้คำตอบครับ

\(S_{20}-S_{5}=610-40=570\)


ตัวอย่าง 4 ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งมี   \(a_{5}=17\)    และ    \(a_{9}=33\)   จงหาค่าของ   \(S_{7}\)

วิธีทำ จาก

\(S_{7}=\frac{7}{2}(a_{1}+a_{7})\)     ก่อนที่เราจะหา  \(S_{7}\)   ได้ เราต้องรู้ค่าของ \(a_{1}\)   กับ   \(a_{5}\)      ก่อนครับ วิธีการหาก็หาจากสิ่งที่โจทย์กำหนดมาให้ครับ

ลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิตจะมีพจน์ทั่วไปคือ

\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

\(a_{5}=a_{1}+4d\)            แทนค่า \(a_{5}\)   ด้วย 17  ครับจะได้

\(17=a_{1}+4d\)  ให้เป็นสมการที่ 1

มาดูอีกอันครับ

\(a_{9}=a_{1}+8d\)

\(33=a_{1}+8d\)      ให้เป็นสมการที่ 2   ถ้าเราเอาสมการสองสมการที่เรามีมาลบกันเราก็จะหาค่า d  ได้ พอเรารู้ค่า d เราก็จะหา พวก  \(a_{1},a_{7}\)    ได้หมดเลยครับ

นำสมการที่ 2  ลบออกด้วย  สมการที่ 1  จะได้

\(33-17=(a_{1}+8d)-(a_{1}+4d)\)

\(16=4d\)

\(d=\frac{16}{4}\)

\(d=4\)

แทนค่า d  ด้วย 4 ในสมการที่ 1 เพื่อหาค่า  \(a_{1}\)   ออกมาครับ

จะได้

\(17=a_{1}+4(4)\)

\(17=a_{1}+16\)

\(a_{1}=1\)

ต่อไปก็หาค่า  \(a_{7}\)    ออกมาเพื่อนำไปใช้ในการหาค่า   \(S_{7}\)

\(a_{7}=a_{1}+6d\)

\(a_{7}=1+(6)(4)\)      อย่าลืมนะค่า d  กับ  \(a_{1}\) เราหาไว้แล้ว

\(a_{7}=25\)

จาก

\(S_{7}=\frac{7}{2}(a_{1}+a_{7})\)

\(S_{7}=\frac{7}{2}(1+25)\)

\(S_{7}=\frac{7}{2}\times 26\)

\(S_{7}=7\times 13\)

\(S_{7}=91\)

ข้อนี้ตอบ  91  ครับ ไม่ยากนะแต่ว่าเวลาพิมพ์ต้องพิมพ์ยาวแบบนี้เพื่อความเข้าใจ


ตัวอย่างที่ 5  ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งมี  \(a_{1}=3\)   และ   \(S_{10}=210\)     จงหาค่าของ    \(a_{8}\)

วิธีทำ เนื่องจากลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต ดังนั้น   \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

ดังนั้น  \(a_{8}=a_{1}+(n-1)d\)

\(a_{8}=a_{1}+(n-1)d\)

แสดงว่าเราต้องรู้ค่าของ   \(a_{1}\)   และ   \(d\)    แต่ \(a_{1}\)    เรารู้แล้วดังนั้นเหลือแค่หาค่าของ  \(d\)

จากสูตรที่เรารู้คือ  \(S_{n}=\frac{n}{2}\left[2a_{1}+(n-1)d\right]\)     จะได้

\(S_{10}=\frac{10}{2}\left[2a_{1}+(10-1)\right]d\)       แทนค่าต่างๆลงไปในสมการเลยครับ

\(210=5\left[2(3)+9d\right]\)

\(\frac{210}{5}=(6+9d)\)

\(42=6+9d\)

\(42-6=9d\)

\(36=9d\)

\(d=\frac{36}{9}\)

\(d=4\)

ต่อไปเราก็หาค่า  \(a_{8}\)     ได้แล้วครับ

จาก  \(a_{8}=a_{1}+(8-1)d\)

\(a_{8}=3+7(4)\)

\(a_{8}=3+28\)

\(a_{8}=31\)      ตอบ  31  นะครับข้อนี้


ตัวอย่างที่ 6  จงหาว่าจะต้องบวกอนุกรม \(2+7+12+...\)   ไปกี่พจน์จึงจะได้ผลบวกเท่ากับ  87

วิธีทำ   จะเห็นว่าอนุกรมที่โจทย์ให้มาเป็นอนุกรมเลขคณิต  มีค่า   \(d=7-2=5\)

จากสูตรในการหาผลบวก   n  พจน์แรกคือ

\(S_{n}=\frac{n}{2}\left[2a_{1}+(n-1)d\right]\)       แทน \(S_{n}\)   ด้วย  87   ครับเพราะเขาต้องการให้ผลบวกเท่ากับ  87

\(87=\frac{n}{2}\left[2(2)+(n-1)5\right]\)

\(87\times 2=n\left[4+5n-5\right]\)

\(174=5n^{2}-n\)

\(5n^{2}-n-174=0\)      แยกตัวประกอบครับ

\((5n=29)(n-6)=0\)

ดังนั้น

\(n=-\frac{29}{5}\)      หรือ   \(n=6\)     แต่ต้องตอบ 6   ครับเพราะ n  ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น


ตัวอย่างที่ 7 อนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่งมี   \(S_{12}=60\)    จงหาค่าของ  \(a_{1}+a_{12}\)

วิธีทำ  จากที่เรารู้ว่าพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ  \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

ดังนั้น   \(a_{12}=a_{1}+11d\)  แทนค่าลงไปในสิ่งที่โจทย์กำหนดมาให้เลยครับ

\(a_{1}+a_{12}=a_{1}+a_{1}+11d=2a_{1}+11d\)     ดังนั้นข้อนี้คือเขาให้หา   \(2a_{1}+11d\)     นั่นเอง

 แล้วจะหายังไงก็หาจาก  \(S_{12}=60\) 

\(S_{12}=\frac{12}{2}\left[2a_{1}+(12-1)d\right]\)

\(60=6\left[2a_{1}+11d\right]\)

\(\frac{60}{6}=2a_{1}+11d\)

\(10=2a_{1}+11d\)     ข้อนี้ตอบ   10  นั่นเองครับ

ดูคลิปประกอบครับ เป็นโจทย์อนุกรมเลขคณิต

Pin It