การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมเป็นเนื้อหาชั้น ม.5 จะได้เรียนในเทอม 2 ถ้าผมจำไม่ผิดนะครับการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมคือการนำสิ่งของมาจัดเรียงให้เป็นวงกลมครับ เช่นมีคน 3 คนมานั่งรอบโต๊ะกลมจะมีวิธีการนั่งที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธี อันนี้ก็ต้องใช้ความรู้เรื่องการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมมาช่วยในการคิดครับ ฉะนั้นในวันนี้เรามาเรียนเรื่องการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของเชิงวงกลมกันครับ แต่ก่อนที่จะเรียนเรื่องการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม ผมขอทบทวนเท้าความไปยังการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นก่อนครับ
ถ้าเรามีสิ่งของที่ต่างกัน 3 สิ่งคือ A,B,C นำสิ่งของนี้มาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นจะได้จำนวนวิธีที่แตกต่างกันทั้งหมด 6 วิธี คือ
ABC
CAB
BCA
ACB
CBA
BAC
แต่ถ้าผมนำสิ่งของที่แตกต่างกัน 3 สิ่งนี้ไปเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมก็คือเหมือนจัดสิ่งของสามสิ่งนี้นั่งรอบโต๊ะกลม คิดว่าจะได้จำนวนวิธีการที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธี ดูจากรูปภาพนะเดี๋ยวผมทำให้ดู
รูปที่ 1
จะเห็นว่าทั้งสามแบบคือ
ABC
CAB
BCA
เป็นแบบเดียวกันครับ ลองหมุนดูดีๆนะครับ มันจะมาทับกันที่จุดเดิมครับ เมื่อมันเป็นแบบเดียวกันเราจะเลือกใช้แบบไหนก็ได้นะครับ
รูปที่ 2
รูปที่ 2 จะเห็นว่าแบบทั้งสามแบบนี้คือ
ACB
CBA
BAC
เป็นแบบเดียวกันครับ ลองหมุนดูดีๆนะครับ มันจะมาทับกันที่จุดเดิมครับ เมื่อมันเป็นแบบเดียวกันเราจะเลือกใช้แบบไหนก็ได้นะครับ
ดังนั้น เราจะได้ว่า ถ้ามีสิ่งของ 3 สิ่งที่แตกต่างกันนำมาเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมจะได้จำนวนวิธีที่แตกต่างกันทั้งหมด 2 วิธี ใช่ไหม คือ
ABC และ ACB (เลือกมา 1 แบบจาก 3 แบบที่เป็นแบบเดียวกันนะ) ซึ่งถ้าเรามองต่ออีกจะเห็นว่าถ้าเรานำสิ่งของที่แตกต่างกัน 3 สิ่งมาเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม เลือกสิ่งของมา 1 สิ่งก่อนมาวางมาวางทิ้งไว้ แล้วเอาสิ่งของที่เหลือมาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น อย่างเช่น
ตัวนี้ ABC และ ACB เลือก A มาวางทิ้งไว้แล้วเอา B และ C มาเรียงสับเปลี่ยนกัน กล่าวคือ
ถ้าเรามีสิ่งของที่ต่างกัน 3 สิ่ง คือ A,B,C นำมาเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมจะได้จำนวนวิธีที่แตกต่างกันทั้งหมดคือ....
วิธีทำ คือ เลือกสิ่งของ 1 สิ่งมาวางทิ้งไว้ ผมเลือก A มานะ แล้วเอาที่เหลือ มาเรียงสับเปลี่ยนก็คือเอา B และ C มาเรียงสับเปลี่ยนก็จะได้จำนวนวิธีที่่แตกต่างกันคือ ABC และ ACB มี 2 วิธีที่แตกต่างกันครับ
หรือถ้าเราจะมองให้มันเป็นสูตรในการคิดคำนวณจำนวนวิธีทั้งหมดในการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง เราก็จะได้สูตรดังนี้
เลือกสิ่งของ มา 1 สิ่งมาวางทิ้งไว้ก่อน แล้วเอาสิ่งของที่เหลืออยู่คือเหลืออยู่ n-1 สิ่งมาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น ซึ่งจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของ n-1 สิ่ง คือ \((n-1)!\) วิธี ครับ
ดังนั้น เราจึงได้สูตรในการหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของเชิงวงกลมคือ \((n-1)!\) ครับ
ยกตัวอย่างเช่น จัดคน 3 คนนั่งรอบโต๊ะกลมจะได้จำนวนวิธีการนั่งที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ ข้อนี้สิ่งของก็คือคน 3 คน หรือก็คือ \(n=3\) จากสูตรจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของเชิงวงกลมคือ \((n-1)!=(3-1)!=2!=2\) ข้อนี้จัดคนสามคนนั่งรอบโต๊ะกลมจะได้จำนวนวิธีจัดที่แตกต่างกัน 2 วิธีครับ
มีแค่นี้ครับ concept ในการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของเชิงวงกลม ต่อไปเราไปทำโจทย์เพิ่มเติมครับ ผมจะเฉลยให้ดูเป็นบางข้อเท่านั้น สำหรับคนที่เรียนในห้องเรียนไม่ทันหรือไม่มีตังค์เรียนพิเศษ
ตัวอย่างที่ 1 จัดนักเรียน 10 คน ให้นั่งรอบโต๊ะกลม ซึ่งมี 10 ที่นั่งได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ จำนวนวิธีจัดนักเรียน 10 คน นั่งรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 10 ที่นั่งเท่ากับ
\((n-1)!=(10-1)!=9!=362,880\) วิธี
ตัวอย่างที่ 2 มีนักเรียนชาย 6 คน และนักเรียนหญิง 6 คน ต้องการจัดคนทั้งหมดให้นั่งรอบโต๊ะกลม ซึ่งมี 12 ที่นั่ง โดยที่นักเรียนชายและนักเรียนหญิงต้องนั่งสลับกันจะมีวิธีจัดทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ ข้อนี้ concept คือ จัดนักเรียนชายหรือหญิงก็ได้เข้าไปนั่งก่อน แล้วค่อยจัดแทรกอีกที กล่าวคือจัดนักเรียนชายลงไปนั่งก่อน แล้วค่อยจัดหญิงเข้าไปแทรก
จัดชายลงไปนั่งก่อนก็จะได้จำนวนวิธีทั้งหมด \((6-1)!=5!\) งานยังไม่เสร็จนะย้งไม่ตอบ ต่อไปเราก็จัดหญิงไปนั่งแทรกระหว่างชายเพราะโจทย์เขาต้องการให้หญิงชายนั่งสลับกัน ซึ่งที่นั่งระหว่างชายจะมีที่ว่าง 6 ที่เหมือนกับการเอาหญิง 6 คนไปเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นนั่นเองก็จะได้จำนวนวิธีคือ \(6!\) วิธี ข้อนี้มองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน
ขั้นตอนแรก คือจัดชายก่อนได้ \(5!\)
ขั้นตอนที่สอง คือจัดหญิงเข้าไปแทรกระหว่างชายได้ \(6!\)
ดังนั้นจำนวนวิธีในการจัดทั้งหมดใช้กฏการคูณคือ \(5!6!=86400\) วิธี
ตัวอย่างที่ 3 นักเรียนชาย 3 คน และนักเรียนหญิง 3 คน นั่งรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 6 ที่นั่งโดยที่นักเรียนชายนั่งติดกันหมดและนักเรียนหญิงนั่งติดกันหมด จะมีวิธีนั่งทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ ข้อนี้มีหลักการทำก็คือ โจทย์ต้องการให้นักเรียนชายนั่งติดกันหมดและนักเรียนหญิงก็นั่งติดกันหมด ดังนั้นเราจับนักเรียนชาย 3 คนมัดรวมกัน และจัดนักเรียนหญิง 3 คนหมัดรวมกัน หลังจากมัดรวมกันแล้วก็จะทำการหาคำตอบเลยนะครับ มองเป็นการทำงาน 3 ขั้นตอน ใช้กฏการคูณในการหาคำตอบ
ขั้นตอนที่ 1 จัดสิ่งของสองสิ่งก็คือมัดนักเรียนชายและมัดของนักเรียนหญิงเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมจะจัดได้ \((2-1)!=1\) แบบ
ขั้นตอนที่ 2 เอานักเรียนชายที่อยู่ในมัดเดียวกันมาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น จะจัดเรียงได้จำนวน
\(3!=6\) แบบ
ขั้นตอนที่ 3 เอานักเรียนหญิงที่อยู่ในมัดเดียวกันมาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น จะจัดเรียงได้จำนวน
\(3!=6\) แบบ
ตามกฏการคูณ จะมีวิธีนั่งทั้งหมด \(1\times 6 \times 6=36\) วิธี
ตัวอย่างที่ 4 ถ้าต้องการจัดให้เด็กชาย 4 คน และหญิง 3 คน นั่งเป็นวงกลม โดยไม่ให้เด็กหญิงนั่งติดกัน จะจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ โจทย์แบบนี้ออกข้อสอบเยอะ concept ในการทำก็ง่ายๆเลยจำเอาไปใช้เลยครับ คือจัดชาย 4 คนไปนั่งเป็นวงกลมก่อน แล้วค่อยจัดหญิงเข้าไปแทรก ใช้กฏการคูณในการหาคำตอบมองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 จัดชาย 4 คนเข้าไปนั่งเป็นวงกลมก่อน จะจัดได้
\((4-1)!=3!=6\) วิธี
ขั้นตอนที่ 2 จัดหญิง 3 คนเข้าไปแทรกระหว่างชายก็จะทำให้หญิงนั่งไม่ติดกัน ซึ่งมีที่ให้แทรกได้ 4 ที่ตามรูปด้านล่าง การจัดก็ทำได้คือ
หญิงคนที่ 1 เลือกนั่งตรงไหนก็ได้ทำได้ 4 วิธี
หญิงคนที่ 2 เลือกนั่งตรงไหนก็ได้ที่ไม่ไปซ้ำกันคนที่ 1 ก็ทำได้ 3 วิธี
หญิงคนที่ 3 เลือกนั่งได้ 2 วิธี ห้ามไปนั่งซ้ำกับคนที่ 1 และ 2 นะ
จำนวนวิธีในการนั่งของหญิงคือ \(4\times 3 \times 2 =24\) วิธี
ตามกฏการคูณ จะมีวิธีนั่งเป็นวงกลมโดยไม่ให้หญิงติดกันเท่ากับ \(6\times 24=144 \) วิธี
ตัวอย่างที่ 5 มีลูกบอลที่แตกต่างกัน 9 ลูก เป็นสีแดง 2 ลูก สีขาว 4 ลูกและสีดำ 3 ลูก นำลูกบอลทั้งหมดมาวางเรียงรอบวงกลมวงหนึ่ง จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเท่ากับเท่าใด เมื่อไม่ต้องการให้ลูกบอลสีดำติดกันทีเดียวสามลูก
วิธีทำ การทำข้อนี้ถ้าเราทำแบบตรงๆคงจะยากเพราะต้องแยกคิดออกเป็นหลายกรณี ในเมื่อเราคิดตรงๆไม่ได้เราก็ใช้เทคนิคการคิดการคิดแบบตรงกันข้าม เทคนิคนี้นำไปใช้ได้ตลอดนะจำเอาไปใช้ด้วยเหล่านักเรียนทั้งหลาย มาเริ่มต้นทำกันเลยดีกว่า อย่าลืมนะโจทย์ข้อนี้ไม่ต้องการให้ลูกบอลสีดำติดกัน ใช้วิธีคิดตรงข้าม คือ
- หาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงกลมของลูกบอลทั้งหมดแบบไม่มีเงื่อนไข
- หาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่ลูกบอลสีดำ 3 ลูกอยู่ติดกันทั้งสามลูก(อันนี้โจทย์ไม่ต้องการนะ)
- นำจำนวนวิธีทั้งหมดจากข้อที่ 1 มาลบออกด้วยข้อที่ 2 คือลบออกด้วยสิ่งที่เราไม่ต้องการก็จะได้สิ่งที่เราต้องการครับ
เริ่มทำกันเลยนะ
หาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงกลมของลูกบอลทั้งหมดแบบไม่มีเงื่อนไข
มีลูกบอลที่แตกต่างกันทั้งหมด 9 ลูก เอามีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมก็คือเอามาวางเรียงรอบวงกลมวงหนึ่งตามที่โจทย์บอก ก็จะได้จำนวนวิธีทั้งหมด \((n-1)!=(9-1)!=8!\) วิธี
หาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่ลูกบอลสีดำ 3 ลูกอยู่ติดกันทั้งสามลูก(อันนี้โจทย์ไม่ต้องการนะ)
อันนี้ก็มัดลูกบอลสีดำ 3 ลูกติดกันเป็นหนึ่งมัดนับเป็นหนึ่ง แล้วก็บวกกับลูกบอลสีแดง 2 ลูก สีขาวอีก 4 ลูก ตอนนี้มีสิ่งของหรือว่าลูกบอล 7 ลูก เอาเจ็ดลูกนี้มาจัดเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมได้ \((7-1)!=6!\) วิธี ยังไม่จบนะ เอาลูกบอลสีดำที่มัดติดกันสลับกันภายในมัดได้ \(3!\) วิธี ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดคือ \(6!3!\) วิธี
นำจำนวนวิธีทั้งหมดจากข้อที่ 1 มาลบออกด้วยข้อที่ 2 คือลบออกด้วยสิ่งที่เราไม่ต้องการก็จะได้สิ่งที่เราต้องการ
เอามาลบกันเลยนะ \(8!-(6!3!)=36000\) วิธี นี่คือวิธีการคิดแบบตรงกันข้ามครับ จำๆเอาไปใช้ดูครับคิดตรงไม่ได้ก็คิดตรงกันข้าม ออกทางออกไม่ได้ก็เดินออกทางเข้าก็ได้
ตัวอย่างที่ 6 จากตัวอย่างที่ 5 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน โดยให้มีลูกบอลสีขาวอยู่ติดกันอย่างน้อยสองลูก เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ใช้การคิดตรงกันข้ามเหมือนเดิมครับ ง่ายๆ เขาบอกว่าโดยให้ลูกบอลสีขาวติดกันอย่างน้อยสองลูก ก็แสดงว่าติดกัน 2 ลูกก็ได้ ติดกัน 3 ลูกก็ได้ ติดกัน 4 ลูกก็ได้ ใช้ไหมก็คือยังไงก็ต้องมีลูกสีขาวติดกัน ดังนั้นเราสามารถคิดตรงกันข้ามคือ
เอาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดโดยไม่มีเงื่อนไข ลบออกด้วย วิธีเรียงสับเปลี่ยนกรณีที่ลูกบอลสีขาวแยกกันอยู่ทั้งหมด เริ่มทำกันเลยครับ
หาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดโดยไม่มีเงื่อนไข คือ
\((9-1)!=8!\) วิธี
วิธีเรียงสับเปลี่ยนกรณีที่ลูกบอลสีขาวแยกกันอยู่ทั้งหมด
วิธีการคิดกรณีนี้คือ เอาลูกบอลสีแดงและสีดำมาเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมก่อนแล้วค่อยเอาสีขาวเข้าไปแทรก ก็จะได้สีขาวแยกกันอยู่ ดูรูปประกอบครับ
นำลูกบอลสีดำ 3 ลูกและลูกบอลสีแดง 2 ลูกมารวมกันได้ 5 ลูก มาเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมได้จำนวนวิธีคือ \((5-1)!=4!\) งานยังไม่เสร็จนะต่อไปนำลูกบอลสีขาวไปแทรกซึ่งมีที่ให้แทรกทั้งหมด 5 ที่จากที่มีลูกบอลสีขาวเพียง 4 ลูกอันนี้มองเป็นการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น คือมีสิ่งของที่ต่างกัน 5 สิ่งนำมาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นคราวละ 4 สิ่งก็จะได้จำนวนวิธีคือ \(P_{5,4}=\frac{5!}{(5-4)!}=5!\) หรือใครจะมองอย่างนี้ก็ได้คือ
ลูกบอลสีขาวลูกที่ 1 สามารถเลือกวางแทรกตรงไหนก็ได้ในจำนวนที่ว่าง 5 ที่ก็วางได้ 5 วิธี
ลูกบอลสีขาวลูกที่ 2 เลือกวางแทรกที่ว่างได้ 4 วิธี
ลูกบอลสีขาวลูกที่ 3 เลือกวางแทรกที่ว่างได้ 3 วิธี
ลูกบอลสีขาวลูกที่ 4 เลือกวางแทรกที่ว่างได้ 2 วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีในการวางแทรกในที่ว่างทั้งหมดคือ \(5\times 4\times 3\times 2=5!\) วิธีนั่นเอง
เพราะฉะนั้นวิธีเรียงสับเปลี่ยนกรณีที่ลูกบอลสีขาวแยกกันอยู่ทั้งหมด คือ \(4!5!\) วิธี
ต่อไปก็เอามาลบกันครับ
ดังนั้นจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน โดยที่ลูกบอลสีขาวอยู่ติดกันอย่างน้อยสองลูกเท้า
\(8!-(4!5!)=37440\) วิธี
ตัวอย่างที่ 7 มีครู 3 คน นักเรียนชาย 3 คน นักเรียนหญิง 3 คน มานั่งล้อมรอบโต๊ะตัวหนึ่ง จำนวนวิธีการนั่งของคนทั้งหมดเท่ากับเท่าใด เมื่อต้องการให้ครู นักเรียนชาย นักเรียนหญิง นั่งสลับกันทีละ 1 คนและเรียงลำดับเหมือนกันทุกชุด
วิธีทำ แนวคิด
ขั้นที่ 1 หาจำนวนวิธีเรียงลำดับระหว่างครู นักเรียนชาย และนักเรียนหญิง ซึ่งเป็นการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของ 3 สิ่ง
ขั้นที่ 2 ให้ใครคนใดคนหนึ่งไปเลือกที่นั่ง หาจำนวนวิธีเลือก และให้อยู่กับที่
ขั้นที่ 3 หาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของคนในประเภทนั้นที่เหลือ 2 คน (แบบเชิงเส้น)
ขั้นที่ 4 หาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบเชิงเส้นของคนอีก 2 ประเภทที่เหลือ
เริ่มทำกันเลยนะ อ่านขั้นตอนอาจจะงงนิดๆ หรือว่างงมากก็ไม่รู้นะ มันอย่างนี้นะค่อยๆอ่าน
โจทย์เขาต้องการให้นั่งแบบ ครู ตามด้วยนักเรียนชาย และตามด้วยนักเรียนหญิง
ผมให้ครูแทนด้วยตัว T
นักเรียนชายแทนด้วยตัว B
นักเรียนหญิงแทนด้วยตัว G
เอาสามสิ่งนี้มาเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมก็จะได้ 2 วิธีที่ต่างกันคือ
1. นั่งล้อมโต๊ะกลมแบบ TBG
2. นั่งล้อมโต๊ะกลมแบบ GBT (ยังเป็นไปเงื่อนไขเพียงให้เราเริ่มมองจากฝั่งขวาไปซ้าย)
มาดูกรณี 1. นั่งล้อมโต๊ะกลมแบบ TBG
จัดครูไปนั่งรอบโต๊ะกลมก่อนครูมี 3 คนจัดนั่งรอบโต๊ะกลมจัดได้ \((3-1)!=2!\) วิธี
ต่อไปจัดนักเรียนชายเข้าไปนั่งแทรกเรียงสับเปลี่ยนแบบเชิงเส้น ก็ทำได้ \(3!\) วิธี
ต่อไปจัดนักเรียนหญิงเข้าไปบ้างเรียงสับเปลี่ยนแบบเชิงเส้นก็ทำได้ \(3!\) วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีในการจัดคือ \( 2!\times 3!\times 3!=72\) วิธี
ต่อไปดูกรณี 2. นั่งล้อมโต๊ะกลมแบบ GBT
จะทำได้เหมือนกันกับข้างบนครับ ได้ 72 วิธี
ดังนั้น เอาทั้งสองกรณีบวกกันก็จะได้ คำตอบคือ 72+72=144 วิธี
ดูรูปประกอบคร่าวๆ
ไม่เข้าใจตรงไหนถามได้นะครับ
สนับสนุนเว็บไซต์