การแก้อมการลอการิทึมนั้นมีความยุ่งยากกว่าการแก้สมการลอการิทึมอยู่มาก เพราะขึ้นชื่อว่าอสมการแล้วมันต้องยากกว่าเดิมนิดหนึ่งแน่  มาดูขั้นตอนการแก้อสมการลอการิทึมกันครับว่าขั้นตอนนั้นมีอะไรบ้าง

1.  จัดอสมการให้ทั้งสองข้างของอสมการมีฐานเท่ากัน

2. ปลดล็อกออก

   2.1) เมื่อปลดล็อกออกแล้วต้องสลับเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายตรงกันข้ามถ้าฐานของล็อกมีค่ามากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 แต่ถ้าฐานของล็อกมากว่า 1 ไม่ต้องสลับเครื่องหมาย

เช่น 

\(log_{\frac{1}{2}}x>log_{\frac{1}{2}}5\)

ปลดล็อกเครื่องหมายเปลี่ยน

\(x<5\)      จากตอนแรกเครื่องหมายมากกว่า ปลดล็อกเสร็จสลับเครื่องหมายเป็นน้อยกว่า

แต่ถ้าฐานมากว่า 1 ไม่ต้องสลับเครื่องหมายนะ เช่น

\(log_{2}x>log_{2}5\)

\(x>5\)

3.แก้อสมการ

4.ตรวจคำตอบ  จำเป็นต้องตรวจตำตอบเพราะตัวเลขหลังล็อกห้ามติดลบนะครับ

อ่านขั้นตอนแล้วอาจจะยังมองภาพไม่เห็นต้องดูอย่างประกอบ ไปดูตัวอย่างการแก้อสมการล็อกเลยครับ

ตัวอย่าง  จงแก้อสมการต่อไปนี้

1.  \(log_{4}(2x+1)>1\)

วิธีทำ ทำตอนขั้นตอนเลยครับ ขั้นตอนแรกคือทำฐานให้ทั้งสองฝั่งของอสมการเท่ากันก่อนคือ ทำให้ฐานเป็น 4

\(log_{4}(2x+1)>1\)

\(log_{4}(2x+1)>1log_{4}4\)           อย่าลืมนะ   \(log_{4}4=1\)

\(log_{4}(2x+1)>log_{4}4\)        เมื่อฐานเท่ากันแล้วทำการปลดล็อกครับจะได้

\(2x+1>4\)                 ไม่ต้องสลับเครื่องหมายเพราะฐานเราคือ 4 มีค่ามากว่า 1 ต่อไปก็แก้อสมการธรรมดา

\(2x>4-1\)

\(x>\frac{3}{2}\)

\(x>3.5\)          แต่ยังตอบไม่ได้นะครับ เราต้องไปตรวจสอบตัวนี้ด้วยครับ จากโจทย์เราจะเห็นอันนี้  \(log_{4}(2x+1)\)        ซึ่งตัวเลขหลังล็อกคือ  \((2x+1)\)     ต้องไม่ติดลบคือมันต้องมากกว่า 0    ดังนั้นเราต้องมาแก้อสมการนี้ต่อครับคือ

\(2x+1>0\)

\(2x>-1\)

\(x>-\frac{1}{2}\) 

\(x>-0.5\) 

ต่อไปก็ตอบได้แล้ว เราจะเห็นว่าคำตอบที่เราได้ตอนแรกคือ  \(x>3.5\)     และตัวเลขที่จะทำให้หลังล็อกไม่ติดลบคือ \(x>-0.5\)    ซึ่งคำตอบที่เราได้คือ  \(x>3.5\)  ยังไงก็มากว่า -0.5 อยู่แล้ว ดังนั้นข้อนี้ตอบเลยคือ  \(x>3.5\)

---

2. \(log_{\frac{1}{3}}(2x-1)\leq -1\)

วิธีทำ ทำตามขั้นตอนเลยครับแต่ถ้าสังเกตดีๆจะเห็นว่าฐานของเราคือ \(frac{1}{3}\)  ซึ่งมีค่ามากว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ข้อนี้ปลดล็อกเสร็จแล้วต้องสลับเครื่องหมายครับ

\(log_{\frac{1}{3}}(2x-1)\leq -1\)

\(log_{\frac{1}{3}}(2x-1)\leq -1log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3}\)               ต่อไปทำการปรับแต่งอสมการนิดหนึ่งต้องมีความรู้เรื่องสมบัติล็อกนะครับ

\(log_{\frac{1}{3}}(2x-1)\leq log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^{-1}\)         ฐานเท่ากันแล้วปลดล็อกได้ครับ อย่าลืมฐานมากกว่า 0  แต่น้อยกว่า 1 ต้องสลับเครื่องหมายด้วยครับ จะได้

\(2x-1 \geq (\frac{1}{3})^{-1}\)

\(2x-1\geq 3\)             อย่าลืมนะ \((\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1^{-1}}{3^{-1}}=\frac{3}{1}=3\)

\(2x\geq 3+1\)

\(2x\geq 4\)

\(x \geq \frac{4}{2}\)

\(x \geq 2\)

อย่าพึ่งรีบตอบนะครับเราต้องไปตรวจสอบตัวนี้ก่อน จากโจทย์เราจะเห็นอันนี้คือ 

\(log_{\frac{1}{3}}(2x-1)\)     ซึ่ง   \(2x-1\)    เป็นตัวเลขหลังล็อกซึ่งตัวเลขนี้ต้องมากกว่า 0  ดังนั้นเราต้องแก้อสมการนี้ต่อ

\(2x-1 >0\)

\(x>\frac{1}{2}\)

\(x>0.5\)

ตอนนี้ตอบได้แล้ว จะเห็นว่าคำตอบที่เราได้ตอนแรกคือ  \(x\geq 2 \)    และถ้า x>0.5 ทำให้หลังล็อกไม่ติดลบจากคำตอบที่เราได้คือ  \(x\geq 2 \)   มากกว่า 0.5 อยู่แล้ว  ดังนั้นตอบได้เลยครับคำตอบของอสมการคือ  \(x\geq 2 \)

---

3. \(log_{2}log_{3}log_{4}x \geq 0 \)

วิธีทำ ข้อนี้ \(log\)  มีหลายตัวอาจจะทำให้เรางงดังนั้นเราควรสมมติตัวแปรขึ้นมา เพื่อไม่ให้เรางงครับ ผมจะให้ 

\(log_{3}log_{4}x =A \)       แทนค่าลงไปในโจทย์เราจะได้

\(log_{2}A \geq 0 \)

\(log_{2}A \geq log_{2}1\)            อย่าลืมนะ  ล็อกหนึ่งฐานอะไรก็ตามมีค่าเป็นศูนย์ ปลดล็อกด้วยจะได้

\(A \geq 1\)            แทนค่า \(log_{3}log_{4}x =A \)     กลับเหมือนเดิมจะได้

\(log_{3}log_{4}x \geq 1 \)

เพื่อความไม่งงต่อไปทำเหมือนเดิมคือ ให้  \(log_{4}x=B\)      จะได้

\(log_{3}B \geq 1 \)

\(log_{3}B \geq  log_{3}3\)          ปลดล็อกทิ้งครับจะได้

\(B \geq  3\)           ถามว่า B  คืออะไร ก็คือค่านี้ไง  \(log_{4}x=B\)   ที่เรากำหนดขึ้นมาตอนแรก แทนค่ากลับไปเลยครับ จะได้

\(log_{4}x  \geq 3\)

\(log_{4}x  \geq 3log_{4}4\)

\(log_{4}x  \geq log_{4}4^{3}\)        ปลดล็อกทิ้งครับ

\(x \geq  4^{3}\)

\(x  \geq 64 \)

\(x   \geq 64\)        ยังไม่ตอบนะจ๊ะ ตรวจสอบเลขหลังล็อกต้องไม่ติดลบ

จากโจทย์ข้างบน 

\(log_{2}log_{3}log_{4}x \)  หลังล็อกคือ x ต้องมากกว่า 0  แต่คำตอบของเราคือ

\(x \geq 64 \)  มากว่า 0 อยู่แล้ว ดังนั้นข้อนี้ตอบ  \(x\geq 64\)   ครับ

---

4. \(log_{0.5}(2-x)\geq log_{0.5}x\)

วิธีทำ ทำเลยนะดูฐานของล็อกด้วยครับ มันเท่ากันทั้งสองข้างแล้วปลดล็อกเปลี่ยนเครื่องหมายเลย

\(log_{0.5}(2-x)\geq log_{0.5}x\)

\(2-x\leq x\)

\(-x-x \leq -2\)

\(-2x \leq -2\)      เอา -1  คูณเข้าทั้งสองข้างของอสมการแสดงว่าต้องสลับเปลี่ยนสมการอีก

\(2x \geq 2\)

\(x \geq \frac{2}{2}\)

\(x \geq 1\)  ยังไม่ตอบนะ 

จากโจทย์หลังล็อกคือ  \(2-x \)   ต้องมากกว่า 0   ก็คือ

\(2-x>0\)

\(-x>-2\)

\(x < 2\)  ดังนั้นคำตอบที่ได้ต้องน้อยกว่า 2  ซึ่งคำตอบที่เราได้นั้นคือ \(x \geq 1\)  ก็คือมากกว่า 1 ได้แต่ต้องไม่เกินสอง เพราะถ้าเกิน 2 เมื่อไรจะทำให้ (2-x) ติดลบอย่าลืมหลังล็อกติดลบไม่ได้นะ ดังนั้น ข้อนี้ตอบ  \(x\in [1,2)\)

---

5. \(log_{5}(x^{2}+3x) < \frac{1}{log5}\)

วิธีทำ ข้อนี้มีเศษส่วนมากเกี่ยวข้องต้องใช้สมบัติลอการิทึมข้อนี้ครับ จำได้ไหมเอ่ย

\(log_{b}a=\frac{1}{log_{a}b}\)    ก็คือสลับฐานกันครับ

ดังนั้น  \(\frac{1}{log5}=log_{5}10\)    เริ่มแก้อสมการต่อเลยนะ 

\(log_{5}(x^{2}+3x) < \frac{1}{log5}\)

\(log_{5}(x^{2}+3x) < log_{5}10\)      ปลดล็อก

\(x^{2}+3x<10\)

\(x^{2}+3x-10<0\)

\((x+5)(x-2)<0\)

จะได้  \(x \in (-5,2)\)    แต่ยังไม่ตอบครับเพราะต้องไปเช็คว่าหลังล็อกต้องไม่ติดลบก็คือ

\(x^{2}+3x >0\)

\(x(x+3)>0\)

แล้วที่นี้หลายคนอาจจะส่งสัยว่าจะตอบในช่วงไหนลองเอาช่วงทั้งสองมาเขียนบนเส้นจำนวนเดียวกันดูแล้วจะรู้คำตอบครับ

ฉะนั้นคำตอบคือ  \(x\in (-5,-3) \cup (0,2)\)

---

6. \(log_{2}(2x-3)+log_{2}(x+1) \geq log_{2}3\)

วิธีทำ ข้อนี้อาศัยสมบัติของล็อกคือล็อกบวกเท่ากับล็อกคูณใครที่จำไม่ได้ก็ไปดูมาก่อนครับลองเสิร์ทหาดูในเว็บนี้แหละครับ

\(log_{2}(2x-3)+log_{2}(x+1) \geq log_{2}3\)

\(log_{2}(2x-3)(x+1)\geq log_{2}3\)

\((2x-3)(x+1) \geq 3\)

\(2x^{2}-x-3 \geq 3\)

\(2x^{2}-x-3-3 \geq 0\)

\(2x^{2}-x-6 \geq 0\)

\((2x+3)(x- 2) \geq 0\)

ดังนั้น  \(x\in (\infty,-\frac{3}{2}) \cup (2,\infty)\)            ยังไม่ตอบนะครับทำเหมือนเดิมคือต้องไปเช็คว่าหลังล็อคต้องไม่ติดลบคือ

\(2x-3 > 0\)           และ  \(x+1 >0\)

มาดูอันแรกก่อน 

\(2x-3 > 0\) 

\(x > \frac{3}{2}\)     

อีกอัน

 \(x+1 >0\)

\(x>-1\)

ดูรูปด้านล่างประกอบครับ ดังนั้น คำตอบคือ    \(x\in [2,\infty)\) 

 หรือก็คือ    

\(x \geq 2\)

---

7. \( (1+log_{2}x)^{2}-3(1+log_{2}x)+2<0\)

วิธีทำ ข้อนี้เหมือนจะยากแต่ถ้าเราสังเกตพจน์นี้ดีๆ คือ  \(1+log_{2}x\)      มันมีการซ้ำกันสองที่ดังนั้นถ้าเกิดกรณีอย่างนี้เราควรใช้เทคนิคกำหนดตัวแปรก็คือ  กำหนดให้     \(1+log_{2}x=A\)       แทนค่าลงไปในโจทย์ก็จะได้

\(A^{2}-3A+2<0\)       แล้วแยกตัวประกอบตามปกติก็จะได้

\((A-2)(A-1)<0\) 

เอาไปเขียนบนเส้นจำนวนเพื่อหาคำตอบ

คำตอบของเราอยู่ในช่วง   \((1,2)\)

นั่นก็คือ    \( 1<A<2\)

ตอนแรกเราให้   \(A=1+log_{2}x\)     แทนค่าลงไปจะได้

\(1<1+log_{2}x<2\)     แก้อสมการนี้ต่อครับ แยกออกมากแก้ก็ได้ครับเพื่อไม่ให้งงแยกออกเป็นสองส่วนคือ

ส่วนที่ 1   

 \(  1+log_{2}x>1\)

\(log_{2}x>1-1\)

\(log_{2}x>0\)

\(log_{2}x>log_{2}1\)            อย่าลืมนะว่า พวกล็อกหนึ่งฐานอะไรก็ตามมีค่าเป็นศูนย์ดังนั้นผมจะแทน    0  ด้วย  \(log_{2}1\)   นะครับ พอฐานล็อกเท่ากันแล้วเราก็ปลดล็อกเลยครับจะได้

\(x>1\)  

ส่วนที่ 2

\(1+log_{2}x<2\) 

\(log_{2}x<2-1\)

\(log_{2}x<1\)       ต่อไปทำฐานให้เท่ากันครับเรารู้ว่า  \(log_{2}2=1\)   แทนค่าไปเลย

จะได้

\(log_{2}x<log_{2}2\)       ฐานเท่ากันแล้วทำการปลดล็อกเลยครับ

\(x<2\)  

จากส่วนที่ 1 และส่วนที่ 2  ที่เราแก้อสมการเราจะได้คำตอบคือ 

\(x>1\)     และ   \(x<2\)  

นำมาเขียนรวมกันก็จะได้

\(1<x<2\)        อ่านว่าเอ็กซ์มากกว่าหนึ่งแต่น้อยกว่าสอง ก่อนจะตอบไปดูที่โจทย์นิดหนึ่งจากโจทย์    \( (1+log_{2}x)^{2}-3(1+log_{2}x)+2<0\)    จะเห็นว่าหลังล็อกคือ \(x\)   ซึ่งหลังล็อกต้องมากกว่า 0   ก็คือ \(x\)  ต้องมากว่า 0  คำตอบที่เราได้คือ  

\(1<x<2\)    มันมากกว่า 0  อยู่แล้วดังนั้นตอบเลยครับข้อนี้ คือ    \(1<x<2\)    หรือถ้าตอบเป็นช่วงคือ    \(x\in(1,2)\)

ใครขี้เกียจอ่านดูวิดีโอได้ครับ