การแก้สมการตรีโกณมิติเป็นเรื่องที่เราจะได้เรียนในชั้น ม.5  ในรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติมซึ่งเรื่องนี้ค่อนข้างยุ่งยากต้องมีพื้นฐานการหาค่าตรีโกณมิติก่อน การแก้สมการตรีโกณมิตินั้นต้องระวังระวังในเรื่องของคำตอบที่ได้มาว่า คือต้องไปดูว่ามุมที่โจทย์กำหนดให้มานั้นอยู่ในควอร์ดเรนท์ไหน ลองทำโจทย์ดูเลยครับอ่านมากพูดมากเดี๋ยวงงเฉยๆ  ไปดูตัวอย่างการแก้สมการตรีโกณมิติกันเลย

แบบฝึกหัด

1.  กำหนดให้  \(\theta  \in [0,2\pi]\)    จงแก้สมการต่อไปนี้

1.1)   \(sin\theta =\frac{1}{2}\)

วิธีทำ  ข้อนี้อย่างน้อยเราก็ต้องรู้ว่ามุมทีตาของเรานั้นหมุนอยู่ในวงกลมหนึ่งหน่วยเพียงรอบเดียว เพราะโจทย์กำหนว่า ต้องเป็นสมาชิกในช่วงปิด ศูนย์ถึงสองไพ ก็คือศูนย์ถึง 360 องศาในเองก็คือหนึ่งรอบวงกลมครับ

จาก

\(sin\theta =\frac{1}{2}\)

ข้อนี้ถามว่าไซน์ของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเป็น หนึ่งส่วนสอง เนื่องจาก

\(sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)

\(sin(180^{\circ}-30^{\circ})=\frac{1}{2}\)

ข้อนี้เนื่องจากค่าไซน์ที่โจทย์กำหนดมาให้คือหนึ่งส่วนสองซึ่งมีค่าเป็นบวก อย่างน้อยเราก็ต้องรู้นะว่ามุมต้องตกอยู่ในควอร์ดเรนท์ที่ 1 กับ 2  แน่ๆ คือมุมที่เป็นคำตอบของเราต้องไม่เกิน 180  องศาครับ ใครได้คำตอบเกิน 180 องศาผิดแน่ๆ

ดังนั้น  

\(\theta=30^{\circ}\)    หรือก็คือ    \(\theta=\frac{\pi}{6}\)

\(\theta=150^{\circ}\)    หรือก็คือ    \(\theta=\frac{5\pi}{6}\)


1.2)   \(tan\theta=1\)

วิธีทำ  เนื่องจาก  \(tan45^{\circ}=1\)

\(tan225^{\circ}=1\)

ดังนั้น

\(\theta=225^{\circ}\)      หรือ  \(\theta=\frac{5\pi}{4}\)

\(\theta=45^{\circ}\)     หรือ  \(\theta=\frac{\pi}{4}\)


1.3)   \(cot\theta=-\sqrt{3}\)

วิธีทำ  เนื่องจากข้อนี้คือค่าของ cot ที่โจทย์กำหนดให้มีค่าเท่ากับติดลบสามและค่าของ

\(cot\theta=\frac{cos\theta}{sin\theta}=-\sqrt{3}\)      ค่าที่ได้ติดลบดังนั้นค่าของคอสกับค่าของไซน์ต้องมีเครื่องหมายต่างกัน เพราะถ้าเครื่องหมายต่างกันจะหารกันได้ติดลบ

นั่นคือเรารู้ได้เลยว่ามุมทีตาของเราต้องตกอยู่ในควอร์ดเรนท์ที่ 2  และ 4  แน่ๆ

ที่เรารู้ตอนนี้คือ 

\(cot30^{\circ}=\sqrt{3}\)

จึงได้

\(cot(180^{\circ}-30^{\circ})=-\sqrt{3}\)

\(cot(360^{\circ}-30^{\circ})=-\sqrt{3}\)

ดังนั้น

\(\theta=150^{\circ}\)

\(\theta=330^{\circ}\)


1.4)  \(2cos^{2}\theta+cos\theta=0\)

วิธีทำ  ข้อนี้ไม่มีอะไรยากเหมือนกับกับแก้สมการพหุนามธรรมดา ถ้าเรามองว่า  \(cos\theta=x\)  เราก็จะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้ก็คือ

\(\begin{array}{}2x^{2}+x=0\\x(2x+1)=0 \end{array}\)

จะได้

\(x=0\)       หรือ      \(2x+1=0\)

\(cos\theta=0\)      หรือ    \(2cos\theta+1=0\)

                                       \(cos\theta=-\frac{1}{2}\)

เนื่องจาก

\(cos90^{\circ}=0\)

\(cos270^{\circ}=0\)

เนื่องจาก

\(cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}\)

\(cos240^{\circ}=-\frac{1}{2}\)

 ดังนั้น

\(\theta=90^{\circ},270^{\circ},120^{\circ},240^{\circ}\)


1.5)   \(2sin^{2}\theta -sin\theta-1=0\)

วิธีทำ ข้อนี้มอง \(sin\theta=x\)   จะง่ายครับ จะได้

\(2x^{2}-x-1=0\)      แยกตัวประกอบเลยครับ

\((2x+1)(x-1)=0\)

จะได้

\(2x+1=0\)        หรือ     \(x-1=0\)

\(2sin\theta+1=0\)             หรือ    \(sin\theta - 1=0\)

\(sin\theta=-\frac{1}{2}\)    หรือ   \(sin\theta=1\)

เนื่องจาก

\(sin210^{\circ}=-\frac{1}{2}\)

\(sin330^{\circ}=-\frac{1}{2}\)

\(sin90^{\circ}=1\)

ดังนั้น

\(\theta=210j^{\circ},330^{\circ},90^{\circ}\)


2. จงแก้สมการต่อไปนี้

2.1)  \(cosec\theta=\sqrt{2}\)

วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ไม่ได้กำหนดช่วงของมุมมากให้แสดงว่าเวลาตอบต้องตอบในรูปแบบทั่วไปครับ

cosec เป็นส่วนกลับของ sin ซึ่งค่าของ cosec ในโจทย์มีค่าเป็นบวกรูทสอง ดังมุมทีตาต้องตกในควอร์ดเรนที่ 1  และ 2 แน่เพราะ ค่าของ sin มีค่าเป็นบวกในควอร์ดเรนท์ที่ 1 และ 2

เนื่องจาก

\(cosec45^{\circ}=\sqrt{2}\)

\(cosec(180^{\circ}-45^{\circ})=\sqrt{2}\)

หรือถ้ามองเป็นมุมในรูปแบบทั่วไปก็คือ

\(\theta=2n\pi+45^{\circ}\)

\(\theta=(2n-1)\pi-45^{\circ}\)

หรือ เอามุมทั้งสองมาเขียนรวมกันก็จะได้

\(\theta=n\pi+(-1)^{n}45^{\circ}\)


2.2)   \(tan\theta=\sqrt{3}\)

วิธีทำ เนื่องจาก

\(tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\)

และ

\(tan(\pi+\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}\)

ดังนั้นข้อนี้ตอบ

\(\theta=n\pi+\frac{\pi}{3}\)


3. กำหนดให้  \(\theta \in [0,\frac{3\pi}{2}]\)  จงแก้สมการต่อไปนี้

3.1)  \(4sin^{2}\theta=1\)

วิธีทำ  ง่ายๆเลยข้อนี้ทำการย้ายข้างธรรมดาครับ

\(4sin^{2}\theta=1\)

\(sin^{2}\theta=\frac{1}{4}\)

\(sin\theta=\pm\frac{1}{2}\)

เนื่องจาก  \(sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)

\(sin150^{\circ}=\frac{1}{2}\)

\(sin210^{\circ}=-\frac{1}{2}\)

ดังนั้น   \(\theta=30^{\circ},150^{\circ},210^{\circ}\)


3.2)  \(sin^{2}\theta+cos\theta+1=0\)

วิธีทำ  จากข้อนี้จะเห็นว่ามีทั้ง cos และ sin  ที่มองเหมือนที่เรียนมาตอน ม.3 ก็เหมือนสมการสองตัวแปร มีทั้ง x  และ  y ฉะนั้นเราต้องทำให้เหลือตัวแปรเดียวครับ  เปลียนไซน์ให้อยู่ในรูปของคอส  โดยใช้เอกลักษณ์ของตรีโกณมิติครับ

จาก   \(sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\)       จะได้

\(sin^{2}\theta=1-cos^{2}\theta\)      เอาค่านี้แหละไปแทนในไซน์กำลังสองในโจทย์ครับ จะได้

จากโจทย์  \(sin^{2}\theta+cos\theta+1=0\)

\(1-cos^{2}\theta+cos\theta +1=0\)

\(-cos^{2}\theta+cos\theta+2=0\)           เอาลบหนึ่งคูณเข้าทั้งสองข้าง

\(cos^{2}\theta-cos\theta-2=0\)            ลองแยกตัวประกอบดูครับก่อนแยกตัวประกอบถ้าใครงงก็ให้   \(cos\theta=x\)

\(x^{2}-x-2=0\)

\((x-2)(x+1)=0\)

จะได้

\((x-2)=0\)              หรือ        \((x+1)=0\)   

\(x=2\)                   หรือ          \(x=-1\)

ดังนั้น

\(cos\theta=2\)          หรือ       \(cos\theta=-1\)

เนื่องจาก      \(-1\leq cos\theta \leq 1\)

ดังนั้น  \(cos\theta=2\)      ไม่มีคำตอบ

และ    \(cos180^{\circ}=-1\)

ดังนั้น    \(\theta=-1\)


3.3)     \(cos3x=cosx\)

วิธีทำ ข้อนี้ใช้สูตรของมุมสามเท่าครับจำได้ไหมเอ่ยก็คือ

\(cos3x=4cos^{3}x-3cosx\)   แทนค่าลงไปในโจทย์เลยครับจะได้

\(4cos^{3}x-3cosx=cosx\) 

\(4cos^{3}x-3cosx-cosx=0\)

\(4cos^{3}x-4cosx=0\)          ดึงตัวร่วมครับ

\(4cosx(cos^{2}x-1)=0\)       จะได้

\(4cosx=0\)       หรือ    \(cos^{2}x-1=0\)

\(cosx=0\)         หรือ     \(cosx=\pm 1\)

เนื่องจาก

\(cos90^{\circ}=0\)

\(cos270^{\circ}=0\)

\(cos0^{\circ}=1\)

\(cos180^{\circ}=-1\)

ดังนั้นข้อนี้ตอบ    \(\theta=90^{\circ},270^{\circ},0^{\circ},180^{\circ}\)


4. จงแก้สมการต่อไปนี้ เมื่อ   \(0 \leq x  < 2\pi \)

4.1)  \(4sin^{2}x-3=0\)

วิธีทำ  แก้สมการทำธรรมย้ายข้างเอา

\(\begin{array}{}4sin^{2}x-3=0 \\sin^{2}x=\frac{3}{4}\\sinx=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\)

เนื่องจาก

\(sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(sin300^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(sin240^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ดังนั้น

\(x=60^{\circ},120^{\circ},300^{\circ},240^{\circ}\)


4.2)  \(2cos^{2}-\sqrt{3}cosx=0\)

วิธีทำ  มอง \(cosx\)  เป็นตัวประแปรตัวหนึ่งผมให้เป็น  A  แล้วกันครับจะได้

\(2A^{2}-\sqrt{3}A=0\)     ต่อไปดึงตัวร่วม

\(A(2A-\sqrt{3})=0\)

จะได้

\(A=0\)      หรือ    \(2A-\sqrt{3}=0\)

\(cosx=0\)    หรือ   \(2cosx-\sqrt{3}=0\)

                                 \(cosx=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

เนื่องจาก

\(cos90^{\circ}=0\)

\(cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(cos330^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ดังนั้น

\(x=90^{\circ},30^{\circ},330^{\circ}\)


4.3)  \(sin^{2}x-cosx+5=0\)

วิธีทำ  ข้อนี้จะเห็นว่ามีทั้งไซน์และคอส ดังนั้นถ้ามองเป็นตัวแปรก็คือมีสองตัวแปรนั่นเองจะแก้สมการข้อนี้ได้ต้องทำให้เหลือแค่ตัวแปรเดียว อาจจะทำให้เหลือแค่คอส หรือเหลือแค่ไซน์ก็ได้ครับโดยใช้เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ก็คือ 

\(sin^{2}x+cos^{2}x=1\)   ย้ายข้างสมการจะได้

\(sin^{2}x=1-cos^{2}x\)      เอาค่านี้แหละไปแทนในโจทย์เลยจะได้

\(sin^{2}x-cosx+5=0\)

\(1-cos^{2}x-cosx+5=0\)

\(-cos^{2}x-cosx+6=0\)         เอา -1  คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการ

\(cos^{2}x+cosx-6=0\)           ต่อไปก็แยกตัวประกอบใครจะมอง cosx=A   ก็ได้ครับจะได้

\(A^{2}+A-6=0\)

\((A-2)(A+3)=0\)        จะได้

\(A-2=0\)        หรือ    \(A+3=0\)

\(cosx-2=0\)     หรือ    \(cosx+3=0\)

\(cosx=2\)        หรือ    \(cosx=-3\)

จากที่เราเรียนเกี่ยวกับวงกลมหนึ่งหน่วยมาจะเห็นว่าค่าสูงสุดของ x  หรือว่าค่า คอส คือสูงสุดอยู่ที่ 1  และต่ำสุดอยู่ที่ -1  ดูวงกลมหนึ่งหน่วยประกอบนะ ดังนั้นเราจะได้ว่าค่าของฟังก์ชันคอส  อยู่ในช่วงปิด [-1,1]  เท่านั้น   cosx=2  จึงไม่มีหรือเกิดขึ้นไม่ได้ ข้อนี้จึงไม่มีคำตอบครับ


4.4)  \(cos2x+2cos^{2}\frac{x}{2}=1\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้สูตรของมุมสองเท่าครับก็คือสูตรนี้ครับ

\(2cos^{2}x-1=cos2x\)

ดังนั้น

\(2cos^{2}\frac{x}{2}-1=cos2\frac{x}{2}\)

จากโจทย์

\(cos2x+2cos^{2}\frac{x}{2}=1\)     ทำการย้ายข้างนิดหนึ่ง

\(cos2x+2cos^{2}\frac{x}{2}-1=0\)

จะเห็นว่า   \(2cos^{2}\frac{x}{2}-1=cos2\frac{x}{2}=cosx\)    แทนค่าลงไปในโจทย์เลยครับจะได้

\(cos2x+cosx=0\)       ทำการกระจาย cos2x   โดยสูตรมุมสองเท่าอีกทีครับก็จะได้ว่า

\(2cos^{2}x-1+cosx=0\)     จัดรูปนิดหนึ่ง

\(2cos^{2}x+cosx-1=0\)      มอง cosx  เป็น  A   ครับ จะได้

\(2A^{2}+A-1=0\)        แล้วแยกตัวประกอบจะได้

\((2A-1)(A+1)=0\)     จะได้

\(2A+1=0\)           หรือ    \(A+1=0\)

\(2cosx+1=0\)       หรือ   \(cosx+1=0\)

\(cosx=\frac{1}{2}\)     หรือ    \(cosx=-1\)

เนื่องจาก

\(cos60^{\circ}=\frac{1}{2}\)

\(cos300^{\circ}=\frac{1}{2}\)

\(cos180^{\circ}=-1\)

ดังนั้น

\(x=60^{\circ},300^{\circ},180^{\circ}\)


5. จงแก้สมการต่อไปนี้

*** เนื่องจากข้อ 5 ใหญ่ เขาไม่ได้กำหนดว่ามุม \(\theta\) หมุนกี่รอบดังนั้น มุม \(\theta\) จะหมุนกี่รอบก็ได้ ดังนั้นคำตอบต้องตอบในรูปแบบทั่วไป

5.1) \(4sin^{2}\theta=1\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}4sin^{2}\theta&=&1\\sin^{2}\theta&=&\frac{1}{4}\\sin\theta&=&\pm\frac{1}{2}\end{array}

เนื่องจาก  \(\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}\) และ \(sin 150^{\circ}=\frac{1}{2}\)

\(sin 330^{\circ}=-\frac{1}{2}\)  และ \(sin 210^{\circ}=-\frac{1}{2}\)

จากรูปเราสามารถเขียนคำตอบเหล่านี้ให้อยู่ในรูปแบบทั่วไปได้คือ

จากรูปจะเห็นว่า \(sin(n\pi\pm\frac{\pi}{6})=\pm\frac{1}{2}\)

ดังนั้นคำตอบของสมการนี้ถ้าเขียนให้อยู่ในรูปแบบทั่วไปคือ \(\theta=n\pi\pm\frac{\pi}{6}\) เมื่อ \(n\) เป็นจำนวนเต็มนะครับ


5.2) \(tan^{2}-3=0\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}tan^{2}\theta-3&=&0\\tan^{2}\theta&=&3\\tan\theta&=&\pm\sqrt{3}\end{array}

จากรูปเราจะเห็นว่า \(tan(n\pi\pm\frac{\pi}{3})=\pm\sqrt{3}\)

ดังนั้นคำตอบของสมการนี้สามารถเขียนในรูปแบบทั่วไปได้คือ \(\theta=n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) เมื่อ \(n\) เป็นจำนวนเต็มนะครับ


5.3) \(tan\theta\sin\theta+tan\theta=0\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}tan\theta\sin\theta+\tan\theta&=&0\\\tan\theta(sin\theta+1)&=&0\end{array}

จะได้

\(\tan\theta=0\)  หรือ \(sin\theta+1=0\rightarrow \sin\theta=-1\)

จากรูปจะได้คำตอบรูปแบบทั่วไปคือ

ถ้าอ่านแล้วไม่เข้าใจก็ดูคลิปเพิ่มเติมได้ครับ

Pin It