การแก้สมการตรีโกณมิติเป็นเรื่องที่เราจะได้เรียนในชั้น ม.5 ในรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติมซึ่งเรื่องนี้ค่อนข้างยุ่งยากต้องมีพื้นฐานการหาค่าตรีโกณมิติก่อน การแก้สมการตรีโกณมิตินั้นต้องระวังระวังในเรื่องของคำตอบที่ได้มาว่า คือต้องไปดูว่ามุมที่โจทย์กำหนดให้มานั้นอยู่ในควอร์ดเรนท์ไหน ลองทำโจทย์ดูเลยครับอ่านมากพูดมากเดี๋ยวงงเฉยๆ ไปดูตัวอย่างการแก้สมการตรีโกณมิติกันเลย
แบบฝึกหัด
1. กำหนดให้ \(\theta \in [0,2\pi]\) จงแก้สมการต่อไปนี้
1.1) \(sin\theta =\frac{1}{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้อย่างน้อยเราก็ต้องรู้ว่ามุมทีตาของเรานั้นหมุนอยู่ในวงกลมหนึ่งหน่วยเพียงรอบเดียว เพราะโจทย์กำหนว่า ต้องเป็นสมาชิกในช่วงปิด ศูนย์ถึงสองไพ ก็คือศูนย์ถึง 360 องศาในเองก็คือหนึ่งรอบวงกลมครับ
จาก
\(sin\theta =\frac{1}{2}\)
ข้อนี้ถามว่าไซน์ของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเป็น หนึ่งส่วนสอง เนื่องจาก
\(sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)
\(sin(180^{\circ}-30^{\circ})=\frac{1}{2}\)
ข้อนี้เนื่องจากค่าไซน์ที่โจทย์กำหนดมาให้คือหนึ่งส่วนสองซึ่งมีค่าเป็นบวก อย่างน้อยเราก็ต้องรู้นะว่ามุมต้องตกอยู่ในควอร์ดเรนท์ที่ 1 กับ 2 แน่ๆ คือมุมที่เป็นคำตอบของเราต้องไม่เกิน 180 องศาครับ ใครได้คำตอบเกิน 180 องศาผิดแน่ๆ
ดังนั้น
\(\theta=30^{\circ}\) หรือก็คือ \(\theta=\frac{\pi}{6}\)
\(\theta=150^{\circ}\) หรือก็คือ \(\theta=\frac{5\pi}{6}\)
1.2) \(tan\theta=1\)
วิธีทำ เนื่องจาก \(tan45^{\circ}=1\)
\(tan225^{\circ}=1\)
ดังนั้น
\(\theta=225^{\circ}\) หรือ \(\theta=\frac{5\pi}{4}\)
\(\theta=45^{\circ}\) หรือ \(\theta=\frac{\pi}{4}\)
1.3) \(cot\theta=-\sqrt{3}\)
วิธีทำ เนื่องจากข้อนี้คือค่าของ cot ที่โจทย์กำหนดให้มีค่าเท่ากับติดลบสามและค่าของ
\(cot\theta=\frac{cos\theta}{sin\theta}=-\sqrt{3}\) ค่าที่ได้ติดลบดังนั้นค่าของคอสกับค่าของไซน์ต้องมีเครื่องหมายต่างกัน เพราะถ้าเครื่องหมายต่างกันจะหารกันได้ติดลบ
นั่นคือเรารู้ได้เลยว่ามุมทีตาของเราต้องตกอยู่ในควอร์ดเรนท์ที่ 2 และ 4 แน่ๆ
ที่เรารู้ตอนนี้คือ
\(cot30^{\circ}=\sqrt{3}\)
จึงได้
\(cot(180^{\circ}-30^{\circ})=-\sqrt{3}\)
\(cot(360^{\circ}-30^{\circ})=-\sqrt{3}\)
ดังนั้น
\(\theta=150^{\circ}\)
\(\theta=330^{\circ}\)
1.4) \(2cos^{2}\theta+cos\theta=0\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรยากเหมือนกับกับแก้สมการพหุนามธรรมดา ถ้าเรามองว่า \(cos\theta=x\) เราก็จะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้ก็คือ
\(\begin{array}{}2x^{2}+x=0\\x(2x+1)=0 \end{array}\)
จะได้
\(x=0\) หรือ \(2x+1=0\)
\(cos\theta=0\) หรือ \(2cos\theta+1=0\)
\(cos\theta=-\frac{1}{2}\)
เนื่องจาก
\(cos90^{\circ}=0\)
\(cos270^{\circ}=0\)
เนื่องจาก
\(cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}\)
\(cos240^{\circ}=-\frac{1}{2}\)
ดังนั้น
\(\theta=90^{\circ},270^{\circ},120^{\circ},240^{\circ}\)
1.5) \(2sin^{2}\theta -sin\theta-1=0\)
วิธีทำ ข้อนี้มอง \(sin\theta=x\) จะง่ายครับ จะได้
\(2x^{2}-x-1=0\) แยกตัวประกอบเลยครับ
\((2x+1)(x-1)=0\)
จะได้
\(2x+1=0\) หรือ \(x-1=0\)
\(2sin\theta+1=0\) หรือ \(sin\theta - 1=0\)
\(sin\theta=-\frac{1}{2}\) หรือ \(sin\theta=1\)
เนื่องจาก
\(sin210^{\circ}=-\frac{1}{2}\)
\(sin330^{\circ}=-\frac{1}{2}\)
\(sin90^{\circ}=1\)
ดังนั้น
\(\theta=210j^{\circ},330^{\circ},90^{\circ}\)
2. จงแก้สมการต่อไปนี้
2.1) \(cosec\theta=\sqrt{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ไม่ได้กำหนดช่วงของมุมมากให้แสดงว่าเวลาตอบต้องตอบในรูปแบบทั่วไปครับ
cosec เป็นส่วนกลับของ sin ซึ่งค่าของ cosec ในโจทย์มีค่าเป็นบวกรูทสอง ดังมุมทีตาต้องตกในควอร์ดเรนที่ 1 และ 2 แน่เพราะ ค่าของ sin มีค่าเป็นบวกในควอร์ดเรนท์ที่ 1 และ 2
เนื่องจาก
\(cosec45^{\circ}=\sqrt{2}\)
\(cosec(180^{\circ}-45^{\circ})=\sqrt{2}\)
หรือถ้ามองเป็นมุมในรูปแบบทั่วไปก็คือ
\(\theta=2n\pi+45^{\circ}\)
\(\theta=(2n-1)\pi-45^{\circ}\)
หรือ เอามุมทั้งสองมาเขียนรวมกันก็จะได้
\(\theta=n\pi+(-1)^{n}45^{\circ}\)
2.2) \(tan\theta=\sqrt{3}\)
วิธีทำ เนื่องจาก
\(tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\)
และ
\(tan(\pi+\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}\)
ดังนั้นข้อนี้ตอบ
\(\theta=n\pi+\frac{\pi}{3}\)
3. กำหนดให้ \(\theta \in [0,\frac{3\pi}{2}]\) จงแก้สมการต่อไปนี้
3.1) \(4sin^{2}\theta=1\)
วิธีทำ ง่ายๆเลยข้อนี้ทำการย้ายข้างธรรมดาครับ
\(4sin^{2}\theta=1\)
\(sin^{2}\theta=\frac{1}{4}\)
\(sin\theta=\pm\frac{1}{2}\)
เนื่องจาก \(sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)
\(sin150^{\circ}=\frac{1}{2}\)
\(sin210^{\circ}=-\frac{1}{2}\)
ดังนั้น \(\theta=30^{\circ},150^{\circ},210^{\circ}\)
3.2) \(sin^{2}\theta+cos\theta+1=0\)
วิธีทำ จากข้อนี้จะเห็นว่ามีทั้ง cos และ sin ที่มองเหมือนที่เรียนมาตอน ม.3 ก็เหมือนสมการสองตัวแปร มีทั้ง x และ y ฉะนั้นเราต้องทำให้เหลือตัวแปรเดียวครับ เปลียนไซน์ให้อยู่ในรูปของคอส โดยใช้เอกลักษณ์ของตรีโกณมิติครับ
จาก \(sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\) จะได้
\(sin^{2}\theta=1-cos^{2}\theta\) เอาค่านี้แหละไปแทนในไซน์กำลังสองในโจทย์ครับ จะได้
จากโจทย์ \(sin^{2}\theta+cos\theta+1=0\)
\(1-cos^{2}\theta+cos\theta +1=0\)
\(-cos^{2}\theta+cos\theta+2=0\) เอาลบหนึ่งคูณเข้าทั้งสองข้าง
\(cos^{2}\theta-cos\theta-2=0\) ลองแยกตัวประกอบดูครับก่อนแยกตัวประกอบถ้าใครงงก็ให้ \(cos\theta=x\)
\(x^{2}-x-2=0\)
\((x-2)(x+1)=0\)
จะได้
\((x-2)=0\) หรือ \((x+1)=0\)
\(x=2\) หรือ \(x=-1\)
ดังนั้น
\(cos\theta=2\) หรือ \(cos\theta=-1\)
เนื่องจาก \(-1\leq cos\theta \leq 1\)
ดังนั้น \(cos\theta=2\) ไม่มีคำตอบ
และ \(cos180^{\circ}=-1\)
ดังนั้น \(\theta=-1\)
3.3) \(cos3x=cosx\)
วิธีทำ ข้อนี้ใช้สูตรของมุมสามเท่าครับจำได้ไหมเอ่ยก็คือ
\(cos3x=4cos^{3}x-3cosx\) แทนค่าลงไปในโจทย์เลยครับจะได้
\(4cos^{3}x-3cosx=cosx\)
\(4cos^{3}x-3cosx-cosx=0\)
\(4cos^{3}x-4cosx=0\) ดึงตัวร่วมครับ
\(4cosx(cos^{2}x-1)=0\) จะได้
\(4cosx=0\) หรือ \(cos^{2}x-1=0\)
\(cosx=0\) หรือ \(cosx=\pm 1\)
เนื่องจาก
\(cos90^{\circ}=0\)
\(cos270^{\circ}=0\)
\(cos0^{\circ}=1\)
\(cos180^{\circ}=-1\)
ดังนั้นข้อนี้ตอบ \(\theta=90^{\circ},270^{\circ},0^{\circ},180^{\circ}\)
4. จงแก้สมการต่อไปนี้ เมื่อ \(0 \leq x < 2\pi \)
4.1) \(4sin^{2}x-3=0\)
วิธีทำ แก้สมการทำธรรมย้ายข้างเอา
\(\begin{array}{}4sin^{2}x-3=0 \\sin^{2}x=\frac{3}{4}\\sinx=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\)
เนื่องจาก
\(sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(sin300^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(sin240^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ดังนั้น
\(x=60^{\circ},120^{\circ},300^{\circ},240^{\circ}\)
4.2) \(2cos^{2}-\sqrt{3}cosx=0\)
วิธีทำ มอง \(cosx\) เป็นตัวประแปรตัวหนึ่งผมให้เป็น A แล้วกันครับจะได้
\(2A^{2}-\sqrt{3}A=0\) ต่อไปดึงตัวร่วม
\(A(2A-\sqrt{3})=0\)
จะได้
\(A=0\) หรือ \(2A-\sqrt{3}=0\)
\(cosx=0\) หรือ \(2cosx-\sqrt{3}=0\)
\(cosx=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
เนื่องจาก
\(cos90^{\circ}=0\)
\(cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(cos330^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ดังนั้น
\(x=90^{\circ},30^{\circ},330^{\circ}\)
4.3) \(sin^{2}x-cosx+5=0\)
วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่ามีทั้งไซน์และคอส ดังนั้นถ้ามองเป็นตัวแปรก็คือมีสองตัวแปรนั่นเองจะแก้สมการข้อนี้ได้ต้องทำให้เหลือแค่ตัวแปรเดียว อาจจะทำให้เหลือแค่คอส หรือเหลือแค่ไซน์ก็ได้ครับโดยใช้เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ก็คือ
\(sin^{2}x+cos^{2}x=1\) ย้ายข้างสมการจะได้
\(sin^{2}x=1-cos^{2}x\) เอาค่านี้แหละไปแทนในโจทย์เลยจะได้
\(sin^{2}x-cosx+5=0\)
\(1-cos^{2}x-cosx+5=0\)
\(-cos^{2}x-cosx+6=0\) เอา -1 คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการ
\(cos^{2}x+cosx-6=0\) ต่อไปก็แยกตัวประกอบใครจะมอง cosx=A ก็ได้ครับจะได้
\(A^{2}+A-6=0\)
\((A-2)(A+3)=0\) จะได้
\(A-2=0\) หรือ \(A+3=0\)
\(cosx-2=0\) หรือ \(cosx+3=0\)
\(cosx=2\) หรือ \(cosx=-3\)
จากที่เราเรียนเกี่ยวกับวงกลมหนึ่งหน่วยมาจะเห็นว่าค่าสูงสุดของ x หรือว่าค่า คอส คือสูงสุดอยู่ที่ 1 และต่ำสุดอยู่ที่ -1 ดูวงกลมหนึ่งหน่วยประกอบนะ ดังนั้นเราจะได้ว่าค่าของฟังก์ชันคอส อยู่ในช่วงปิด [-1,1] เท่านั้น cosx=2 จึงไม่มีหรือเกิดขึ้นไม่ได้ ข้อนี้จึงไม่มีคำตอบครับ
4.4) \(cos2x+2cos^{2}\frac{x}{2}=1\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้สูตรของมุมสองเท่าครับก็คือสูตรนี้ครับ
\(2cos^{2}x-1=cos2x\)
ดังนั้น
\(2cos^{2}\frac{x}{2}-1=cos2\frac{x}{2}\)
จากโจทย์
\(cos2x+2cos^{2}\frac{x}{2}=1\) ทำการย้ายข้างนิดหนึ่ง
\(cos2x+2cos^{2}\frac{x}{2}-1=0\)
จะเห็นว่า \(2cos^{2}\frac{x}{2}-1=cos2\frac{x}{2}=cosx\) แทนค่าลงไปในโจทย์เลยครับจะได้
\(cos2x+cosx=0\) ทำการกระจาย cos2x โดยสูตรมุมสองเท่าอีกทีครับก็จะได้ว่า
\(2cos^{2}x-1+cosx=0\) จัดรูปนิดหนึ่ง
\(2cos^{2}x+cosx-1=0\) มอง cosx เป็น A ครับ จะได้
\(2A^{2}+A-1=0\) แล้วแยกตัวประกอบจะได้
\((2A-1)(A+1)=0\) จะได้
\(2A+1=0\) หรือ \(A+1=0\)
\(2cosx+1=0\) หรือ \(cosx+1=0\)
\(cosx=\frac{1}{2}\) หรือ \(cosx=-1\)
เนื่องจาก
\(cos60^{\circ}=\frac{1}{2}\)
\(cos300^{\circ}=\frac{1}{2}\)
\(cos180^{\circ}=-1\)
ดังนั้น
\(x=60^{\circ},300^{\circ},180^{\circ}\)
5. จงแก้สมการต่อไปนี้
*** เนื่องจากข้อ 5 ใหญ่ เขาไม่ได้กำหนดว่ามุม \(\theta\) หมุนกี่รอบดังนั้น มุม \(\theta\) จะหมุนกี่รอบก็ได้ ดังนั้นคำตอบต้องตอบในรูปแบบทั่วไป
5.1) \(4sin^{2}\theta=1\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}4sin^{2}\theta&=&1\\sin^{2}\theta&=&\frac{1}{4}\\sin\theta&=&\pm\frac{1}{2}\end{array}
เนื่องจาก \(\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}\) และ \(sin 150^{\circ}=\frac{1}{2}\)
\(sin 330^{\circ}=-\frac{1}{2}\) และ \(sin 210^{\circ}=-\frac{1}{2}\)
จากรูปเราสามารถเขียนคำตอบเหล่านี้ให้อยู่ในรูปแบบทั่วไปได้คือ
จากรูปจะเห็นว่า \(sin(n\pi\pm\frac{\pi}{6})=\pm\frac{1}{2}\)
ดังนั้นคำตอบของสมการนี้ถ้าเขียนให้อยู่ในรูปแบบทั่วไปคือ \(\theta=n\pi\pm\frac{\pi}{6}\) เมื่อ \(n\) เป็นจำนวนเต็มนะครับ
5.2) \(tan^{2}-3=0\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}tan^{2}\theta-3&=&0\\tan^{2}\theta&=&3\\tan\theta&=&\pm\sqrt{3}\end{array}
จากรูปเราจะเห็นว่า \(tan(n\pi\pm\frac{\pi}{3})=\pm\sqrt{3}\)
ดังนั้นคำตอบของสมการนี้สามารถเขียนในรูปแบบทั่วไปได้คือ \(\theta=n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) เมื่อ \(n\) เป็นจำนวนเต็มนะครับ
5.3) \(tan\theta\sin\theta+tan\theta=0\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}tan\theta\sin\theta+\tan\theta&=&0\\\tan\theta(sin\theta+1)&=&0\end{array}
จะได้
\(\tan\theta=0\) หรือ \(sin\theta+1=0\rightarrow \sin\theta=-1\)
จากรูปจะได้คำตอบรูปแบบทั่วไปคือ
ถ้าอ่านแล้วไม่เข้าใจก็ดูคลิปเพิ่มเติมได้ครับ
สนับสนุนเว็บไซต์