สมบัติที่สำคัญของผลคูณเชิงสเกลาร์ สมบัตินี้เอาไว้ใช้สำหรับการหาผลคูณเชิงสเกลาร์หรือว่า dot product ในแบบต่างๆครับ ซึ่งมีเยอะมากครับ มาดูกันเลยว่ามีอะไรบ้าง
กำหนดให้ \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ \(a\) เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. ถ้า \(\vec{u}\cdot \vec{u}=0\) แล้ว \(\vec{u}=\vec{0}\)
2.\(\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}\)
3.\(\vec{u}\cdot \vec{u}=|\vec{u}|^{2}\)
4.\((a\vec{u})\cdot \vec{v}=\vec{u}\cdot (a\vec{v})=a(\vec{u}\cdot \vec{v})\) กฎการเปลี่ยนกลุ่ม
5.\(\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}\) กฎการแจกแจง
6. ถ้า \(\theta\) เป็นมุมระหว่าง \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) แล้ว \(\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta\)
7. \(\vec{u}\) ตั้งฉากกับ \(\vec{v}\) ก็ต่อเมื่อ \(\vec{u}\cdot \vec{v}=0\)
8. \(\vec{i}\cdot \vec{i}=\vec{j}\cdot \vec{j}=\vec{k}\cdot \vec{k}=1\)
9.\(\vec{i}\cdot \vec{j}=\vec{j}\cdot \vec{i}=\vec{i}\cdot \vec{k}=\vec{k}\cdot \vec{i}=\vec{j}\cdot \vec{k}=\vec{k}\cdot \vec{j}=0\)
10. \(|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+2\vec{u}\cdot \vec{v}\)
11.\(|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\vec{u}\cdot \vec{v}\)
12.\((\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})=|\vec{u}|^{2}-|\vec{v}|^{2}\)
เอาละต่อไปก็เป็นการนำสมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์ไปใช้ทำโจทย์ผลคูณเชิงสเกลาร์ครับ ไปดูตัวอย่างกันเลย
ตัวอย่างที่ 1
เวกเตอร์ที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เวกเตอร์คู่ใดบ้างที่ตั้งฉากกัน
\(1) 3\vec{i}+4\vec{j}\) กับ \(8\vec{i}-6\vec{j}\)
วิธีทำ การตรวจสอบว่าเวกเตอร์คู่ที่กำหนดให้ตั้งฉากกันหรือไม่ให้เอามาดอทกันดูถ้าผลลัพธ์จากการดอทออกมาเป็น 0 แสดงว่าเวกเตอร์คู่นั้นตั้งฉากกันตามสมบัติผลคูณเชิงสเกลาร์ข้อที่ 7 ครับ ลองดอกกันดูเลยครับ
ผมให้ \(\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}\) และ
\(\vec{v}=8\vec{i}-6\vec{j}\) ดังนั้น
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=(3)(8)+(4)(-6)\)
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=24-24\)
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=0\)
ดอทแล้วผลลัพธ์ออกมากเป็น 0 ก็แสดงว่าเวกเตอร์คู่ที่กำหนดให้ตั้งฉากกันครับ
\(2) \vec{i}-\vec{k}\) กับ \(-\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมครับ ลองเอามาดอทกันดูครับ
ผมให้ \(\vec{u}=\vec{i}-\vec{k}\) และ \(\vec{v}=-\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}\) จะได้
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=(1)(-1)+(0)(1)+(-1)(-1)\)
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=-1+0+1\)
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=0\)
เวกเตอร์คู่นี้ตั้งฉากกันครับ
ตัวอย่างที่ 2 ถ้า \(a\vec{i}+5\vec{j}\) ตั้งฉากกับ \(10\vec{i}+6\vec{j}\) จงหาค่า \(a\)
วิธีทำ โจทย์กำหนดให้สองเวกเตอร์นี้ตั้งฉากกันแสดงว่าดอทกันแล้วได้ 0 ครับ จึงได้สมการ
\((a\vec{i}+5\vec{j})\cdot (10\vec{i}+6\vec{j})=0\)
\((a)(10)+(5)(6)=0\) ต่อไปก็แก้สมการหาค่า a ครับ
\(10a=-30\)
\(a=\frac{-30}{10}\)
\(a=-3\)
ตัวอย่างที่ 3 กำหนด \(\vec{u}\) กับ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ โดย \(\vec{u}=6\vec{i}+8\vec{j}\) และ \(\vec{v}=\vec{i}+5\vec{j}\) จงหาเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ \(\vec{u}\) และ ตั้งฉากกับ \(\vec{v}\)
วิธีทำ ข้อนี้เหมือนจะยาก แต่ไม่ยากนะทำตามสเต็บเลยครับ
ผมกำหนดให้ \(\vec{w}=a\vec{i}+b\vec{j}\) เป็นเวกเตอร์ใดๆที่มีขนาดเท่ากับ \(\vec{u}\) และตั้งฉากกับ \(\vec{v}\)
เนื่องจาก \(\vec{w}\) ตั้งฉากกับ \(\vec{v}\) ดังนั้นถ้าเอามาดอทกันจะมีค่าเป็นศูนย์จึงได้ว่า
\(\vec{w}\cdot \vec{v}=0 \)
\((a)(1)+(5)(b)=0\) ให้เป็นสมการที่ 1 เก็บสมการนี้ไว้ก่อน
ต่อไปโจทย์บอกว่าเวกเตอร์ที่ให้หานั้นมีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ยู ซึ่งเราให้เป็นดับเบิลยูดังนั้นขนาดของเวกเตอร์ยูเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ดับเบิลยู หาขนาดของเวกเตอร์ยูก่อนครับ
จาก
\(\vec{u}=6\vec{i}+8\vec{j}\)
\(|\vec{u}|=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10\)
ดังนั้นเราจะได้ว่า ขนาดของดับเบิลยูเท่ากับ 10 ด้วยครับ จึงได้ว่า
จาก
\(\vec{w}=a\vec{i}+b\vec{j}\)
\(|\vec{w}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=10\)
จังได้อีกสมการคือ
\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}=10\) ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการครับ
\(a^{2}+b^{2}=100\) ให้เป็นสมการที่ 2
ต่อไปมาดูสมการที่ 1 กับ สมการที่ 2 เพื่อแก้สมการ
จากสมการที่ 1 คือ
\((a)(1)+(5)(b)=0\) จะได้
\(a=-5b\) เอาค่านี้ไปแทนในสมการที่ 2
จากสมการที่ 2 คือ
\(a^{2}+b^{2}=100\)
แทน \(a\) ด้วย \(-5b\) ในสมการที่ 2 จะได้
\((-5b)^{2}+b^{2}=100\)
\(25b^{2}+b^{2}=100\)
\(26b^{2}=100\)
\(b^{2}=\frac{100}{26}\)
\(b^{2}=\frac{50}{13}\)
\(b=\pm\frac{50}{13}\)
ตอนนี้เราได้ค่า \(b\) แล้วนะต้องหาค่า \(a\) ต่อครับจากที่เรามีคือ
\(a=-5b\)
ถ้า \(b=\frac{50}{13}\) จะได้ \(a\) คือ
\(a=(-5)(\frac{50}{13})\)
\(a=-\frac{250}{13}\)
ถ้า \(b=-\frac{50}{13}\) จะได้ \(a\) คือ
\(a=(-5)(-\frac{50}{13})\)
\(a=5(\frac{50}{13})\)
\(a=\frac{250}{13}\)
ดังนั้นตอบได้แล้วครับ เวกเตอร์ที่ขนาดเท่ากับ \(\vec{u}\) และตั้งฉากกับ \(\vec{v}\) คือ
\(\vec{w}=-\frac{250}{13}\vec{i}+\frac{50}{13}\vec{j}\)
\(\vec{w}=\frac{250}{13}\vec{i}-\frac{50}{13}\vec{j}\)
ตัวอย่างที่ 4 กำหนด \(|\vec{u}|=4\),\(|\vec{v}|=3\) และ \(\vec{u}\) ตั้งฉากกับ \(\vec{v}\) จงหา \(|\vec{u}-\vec{v}|\)
วิธีทำ จากที่เรารู้คือ
\(|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\vec{u}\cdot \vec{v}\)
แต่โจทย์บอกว่าเวกเตอร์ยูกับเวกเตอร์วีตั้งฉากกันนั่นคือ \(\vec{u}\cdot \vec{v}=0\)
\(|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\vec{u}\cdot \vec{v}\)
\(|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=4^{2}+3^{2}-2(0)\)
\(|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=25\)
\(|\vec{u}-\vec{v}|=5\)
ตัวอย่างที่ 5 กำหนด \(\vec{u}=4\vec{i}-3\vec{j}\) และ \(\vec{v}=8\vec{i}+6\vec{j}\) จงหา \(|\vec{u}-\vec{v}|\)
วิธีทำ จากที่เรารู้คือ
\(|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\vec{u}\cdot \vec{v}\)
แต่ข้อนี้ไม่ได้กำหนดขนาดมาให้เหมือนข้อข้างบน เราต้องหาขนาดของเวกเตอร์ยูกับเวกเตอร์วีออกมาก่อนครับ
จาก
\(\vec{u}=4\vec{i}-3\vec{j}\)
\(|\vec{u}|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}\)
\(|\vec{u}|=\sqrt{16+9}\)
\(|\vec{u}|=\sqrt{25}\)
\(|\vec{u}|=5\)
จาก
\(\vec{v}=8\vec{i}+6\vec{j}\)
\(|\vec{v}=8\vec{i}+6\vec{j}|=\sqrt{8^{2}+6^{2}}\)
\(|\vec{v}=8\vec{i}+6\vec{j}|=\sqrt{100}\)
\(|\vec{v}=8\vec{i}+6\vec{j}|=10\)
ได้ขนาดของเวกเตอร์ยูกับวีแล้วครับ ต่อไปหายู dot วีบ้าง
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=(4)(8)+(-3)(6)\)
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=14\)
เอาไปแทนค่าในสูตรเลยครับ
\(|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\vec{u}\cdot \vec{v}\)
\(|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=5^{2}+10^{2}-2(14)\)
\(|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=97\)
\(|\vec{u}-\vec{v}|=\sqrt{97}\)
ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย และมุมระหว่าง \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เท่ากับ \(120^{\circ}\) จงหา \(|\vec{u}-\vec{v}|\)
วิธีทำ เนื่องจากเวกเตอร์ยูและเวกเตอร์วี เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยดังนั้นมีขนาดเท่ากับ 1 นั่นคือ \(|\vec{u}|=1\) และ \(|\vec{v}=1|\)
เนื่องจากข้อนี้เขากำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์มากให้ ดังนั้นเราสามารถหาค่าของ ยู dot วี จากสูตรนี้ครับ
\(\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v}=(1)(1)cos120^{\circ}\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v}=-\frac{1}{2}\)
ดังนั้น
\(\vec{u} \cdot \vec{v}=-\frac{1}{2}\)
แต่โจทย์ต้องการให้เราหา
\(|\vec{u}-\vec{v}|\) แต่เราหาตรงๆไม่ได้เราต้องหาโดยผ่านสูตรนี้ครับ
\(|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\vec{u}\cdot \vec{v}\)
แทนค่าลงไปในสูตรจะได้
\(|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=1^{2}+1^{2}-2(-\frac{1}{2})\)
\(|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=2+1\)
\(|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=3\)
\(|\vec{u}-\vec{v}|=\sqrt{3}\)
ตัวอย่างที่ 7 กำหนดให้ \(\vec{u}=2\vec{i}+5\vec{j}\) และ \(\vec{v}=\vec{i}+\frac{5}{2}\vec{j}\) จงหามุมระหว่าง \(\vec{u}\) กับ \(\vec{v}\)
วิธีทำ แน่นอนข้อนี้มุมระหว่างเวกเตอร์ยูกับเวกเตอร์วีคือใช้สูตรนี้
\(\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta\)
แต่ก่อนจะใช้สูตรนี้เราต้องรู้ขนาดของเวกเตอร์ยูกับขนาดของเวกเตอร์วีก่อนครับ
\(|\vec{u}|=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{29}\)
\(|\vec{v}|=\sqrt{1^{2}+(\frac{5}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{29}}{2}\)
หาเวกเตอร์ยู dot เวกเตอร์วี ต่อครับ
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=(2)(1)+(5)\frac{5}{2}=\frac{29}{2}\)
ได้สิ่งที่เราต้องการหมดแล้วเอาไปแทนค่าในสูตรนี้เลย
\(\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta\)
\(\frac{29}{2}=(\sqrt{29})(\frac{\sqrt{29}}{2})cos\theta\)
\(\frac{29}{2}=\frac{29}{2}cos\theta\)
\(\frac{29}{2}\times \frac{2}{29}=cos\theta\)
\(1=cos\theta\)
เนื่องจาก \(cos0^{\circ}=1\)
ดังนั้น \(\theta=0^{\circ}\)
นั่นคือเวกเตอร์ยูและเวกเตอร์วีทับกันอยู่หรือจะกล่าวว่าขนานกันก็ได้
ตัวอย่างที่ 8 กำหนดให้ \(\vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}\) และ \(\vec{v}=\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}\) ถ้า \(\theta\) เป็นมุมระหว่าง \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) แล้วค่าของ \(\cos2\theta\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ อันนี้ใช้สมบัติข้อที่ 6 ครับ ก็คือ
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\)
หา \(\vec{u}\cdot \vec{v}\)
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=(2)(1)+(-1)(1)+(1)(2)=3\)
หา \(|\vec{u}|,|\vec{v}|\)
\(|\vec{u}|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{6}\)
\(|\vec{v}|=\sqrt{1^{2}+(1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{6}\)
เริ่มทำต่อเลยครับจาก
\begin{array}{lcl}\vec{u}\cdot \vec{v}&=&|\vec{v}||vec{u}|\cos\theta\\\cos\theta&=&\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\\\cos\theta&=&\frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{6}}\\\cos\theta&=&\frac{3}{6}\\\cos\theta&=&\frac{1}{2}\end{array}
เนื่องจาก
\(\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\)
ดังนั้น
\(\theta=60^{\circ}\)
ต่อไปก็หาค่า \(\cos 2\theta\) หรือก็คือ \(\cos 2(60^{\circ})\) นั่นเอง
เนื่องจาก \(\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}cos 2(60^{\circ})&=&\cos^{2}60^{\circ}-\sin^{2}60^{\circ}\\&=&(\frac{1}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}\\&=&\frac{1}{4}-\frac{3}{4}\\&=&-\frac{1}{2}\end{array}
ตัวอย่างที่ 9 ถ้า \(a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}\) เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยและมีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ \(-2\vec{i}+3\vec{j}+6\vec{k}\) จงหาค่าของ \(a+b+c\)
วิธีทำ ข้อนี้ ผมกำหนดให้
\(\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}\) เนื่องจากโจทย์บอกว่าเวกเตอร์นี้เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยดังนั้น
\(|\vec{u}|=1\)
และกำหนดให้
\(\vec{v}=-2\vec{i}+3\vec{j}+6\vec{k}\) จะได้ว่า
\(|\vec{v}|=\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}+6^{2}}=7\)
จะเห็นได้ว่า \(|\vec{u}|=1\) และ \(|\vec{v}|=7\) จึงได้ว่า
\(\vec{v}=7\vec{u}\) จึงได้อีกว่า
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}-2\\3\\6\end{bmatrix}&=&7\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}\end{array}
จะได้อีกว่า
\(-2=7a\rightarrow a=-\frac{2}{7}\)
\(3=7b \rightarrow b=\frac{3}{7}\)
\(6=7c\rightarrow c=\frac{6}{7}\)
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}a+b+c&=&-\frac{2}{7}+\frac{3}{7}+\frac{6}{7}\\&=&1\end{array}
ตัวอย่างที่ 10 กำหนดให้ \(|\vec{u}|=6\) และ \(|\vec{v}|=3\) ถ้า \(\vec{u}\) ตั้งฉากกับ \(\vec{v}\) ค่าของ \(|\vec{u}-\vec{v}|\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ เนื่อง \(\vec{u}\) ตั้งฉากกับ \(\vec{v}\) ดังนั้น \(\vec{v}\cdot \vec{u}=0\)
จาก
\begin{array}{lcl}|\vec{u}-\vec{v}|^{2}&=&|\vec{u}|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2}\\&=&6^{2}-2(0)+3^{2}\\&=&36+9\\&=&45\\so\\|\vec{u}-\vec{v}|&=&\sqrt{45}\\&=&3\sqrt{5}\end{array}
ตัวอย่างที่ 11 ถ้า \(|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{3}\) และ \(|\vec{u}-\vec{v}|=\sqrt{5}\) แล้ว \(\vec{u}\cdot \vec{v}\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรเป็นการเล่นกับสมบัติ 2 ข้อของการคูณแบบสเกลาร์ (scalar product or dot product) สมบัติที่ว่านั้นก็คือ
\begin{array}{lcl}|\vec{u}+\vec{v}|^{2}&=&|\vec{u}|^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2}\\|\vec{u}-\vec{v}|^{2}&=&|\vec{u}|^{2}-2\vec{u}\cdot \vec{v}+|\vec{v}|^{2}\end{array}
ลองเอาสิ่งที่โจทย์ให้มาไปแทนค่าในสมการข้างบนจะได้
\begin{array}{lcl}(\sqrt{3})^{2}&=&|\vec{u}|^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2}\quad\cdots (1)\\(\sqrt{5})^{2}&=&|\vec{u}|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2}\quad\cdots (2)\\(2)-(1)\\5-3&=&-4\vec{u}\cdot\vec{v}\\2&=&-4\vec{u}\cdot\vec{v}\\\vec{u}\cdot\vec{v}&=&-\frac{2}{4}\\\vec{u}\cdot\vec{v}&=&-\frac{1}{2}\end{array}
ตัวอย่างที่ 12 กำหนด \(\vec{u}=\begin{bmatrix}2\\0\\4\end{bmatrix}\) และ \(\vec{v}=\begin{bmatrix}-4\\2\\1\end{bmatrix}\) จงหาค่าของ \(\vec{u}\cdot\vec{v}\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรครับก็ทำตามนิยามของการดอทเวกเตอร์เลยครับ
\begin{array}{lcl}\vec{u}\cdot\vec{v}&=&(2)(-4)+(0)(2)+(4)(1)\\&=&-8+4\\&=&-4\end{array}
ตัวอย่างที่ 13 ถ้า \(2\vec{i}+a\vec{j}+4\vec{k}\) ตั้งฉากกับ \(-3\vec{i}-4\vec{j}-2\vec{k}\) แล้ว \(a\) มีค่าเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ขอนี้ก็ใช้สมบัติที่ว่า เวกเตอร์ตั้งฉากกันดอทกันจะเท่ากับศูนย์จึงได้ว่า
ก่อนทำผมกำหนดให้
\(\vec{u}=2\vec{i}+a\vec{j}+4\vec{k}\)
\(\vec{v}=-3\vec{i}-4\vec{j}-2\vec{k}\)
เวกเตอร์ทั้งสองนี้ตั้งฉากกันดังนั้น \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) นั่นคือ
\begin{array}{lcl}(2)(-3)+(a)(-4)+(4)(-2)&=&0\\-6-4a-8&=&0\\-4a&=&8+6\\a&=&-\frac{14}{4}\\a&=&-\frac{7}{2}\end{array}
ตัวอย่างที่ 14 ถ้า \(\vec{u}\cdot\vec{v}=25\quad ,|\vec{u}|=4\) มุมระหว่าง \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) คือ 60 องศา จงหาค่าของ \(|\vec{u}-\vec{v}|\)
วิธีทำ ถ้าเห็น \(|\vec{u}-\vec{v}|\) ให้เรานึกถึงสมบัติข้อนี้
\(|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2}\)
เริ่มทำต่อเลยครับ
\begin{array}{lcl}|\vec{u}-\vec{v}|^{2}&=&|\vec{u}|^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2}\\&=&4^{2}-(2)(25)+|\vec{v}|^{2}\quad (1)\end{array}
จะเห็นได้ว่าจากสมการที่ \((1)\) เราไปต่อไม่ได้เพราะเราไม่รู้ค่าของ \(|\vec{v}|\) ต้องไปหาก่อนนะครับ
แต่เรารู้ว่า มุมระหว่างเวกเตอร์ยูและวี คือ 60 องศาดังนั้นเราสามารถใช้สมบัติข้อนี้ในการหา \(|\vec{v}|\) ได้ครับ
\begin{array}{lcl}\vec{u}\cdot\vec{v}&=&|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\\25&=&(4)|\vec{v}|\cos 60^{\circ}\\25&=&4|\vec{v}|\frac{1}{2}\\25&=&4\times\frac{1}{2}|\vec{v}|\\25&=&2|\vec{v}|\\|\vec{v}|&=&\frac{25}{2}\quad \cdots (2)\end{array}
เอาค่าของ \(|\vec{v}|\) ไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}|\vec{u}-\vec{v}|^{2}&=&4^{2}-(2)(25)+|\vec{v}|^{2}\\&=&16-50+(\frac{25}{2})^{2}\\&=&16-50+\frac{625}{4}\\&=&-34+\frac{625}{4}\\&=&\frac{-136+625}{4}\\&=&\frac{489}{4}\\so\\|\vec{u}-\vec{v}|&=&\sqrt{\frac{489}{4}}\\&=&\frac{\sqrt{489}}{2}\end{array}
สนับสนุนเว็บไซต์