การบวกเวกเตอร์สำหรับหัวข้อการบวกเวกเตอร์ผมจะแบ่งการเขียนออกเป็น 2 หัวข้อหลักๆ ก็คือ
1.การบวกเวกเตอร์ที่เป็นเวกเตอร์แบบเส้นตรงลูกศร
2.การบวกเวกเตอร์ที่เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 2 มิติและเวกเตอร์ใน 3 มิติ
มาดูหัวข้อแรกก่อน
1.การบวกเวกเตอร์ที่เป็นเวกเตอร์แบบเส้นตรงลูกศร
การบวกเวกเตอร์ที่เป็นเส้นลูกศร มีหลักการง่ายครับ สมมติผมมีเวกเตอร์ \(\vec{u}\) กับ เวกเตอร์ \(\vec{v}\) ดังรูป
การเอายูมาบวกวีก็คือ ลากเอาตูดของวีมาต่อหัวยู เส้นที่ลากจากตูดของยูไปยังหัวของวี เส้นนี้แหละ(เส้นสีแดง)เป็นผลลัพธ์ของยูบวกวี นะครับ ดูรูปประกอบด้านล่าง
หลักการการบวกมีแค่นี้ครับง่ายๆ แต่หลักการนี้ใช้แก้ปัญหาบ่อยมาก สิ่งที่เราต้องรู้ก็คือต้องรู้ว่าเวกเตอร์เส้นนี้เกิดจากเส้นไหนบ้างมาบวกกัน มาดูตัวอย่างเพิ่มครับ
มาดูนะครับว่าแต่ละเส้นเกิดจากเวกเตอร์เส้นไหนบ้างบวกกัน จากรูปข้างบนจะได้
\(\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CD}+\vec{DB}\)
หรือ
\(\vec{AB}=\vec{AD}+\vec{DB}\)
\(\vec{AD}=\vec{AC}+\vec{CD}\)
หรือ
\(\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BD}\)
\(\vec{DA}=\vec{DB}+\vec{BA}\)
หรือ
\(\vec{DA}=\vec{DC}+\vec{CA}\)
\(\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AD}\)
หรือ
\(\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AC}+\vec{CD}\)
หลังจากที่เรียนรู้เกี่ยวกับการบวกเวกเตอร์ไปแล้วต่อไปก็ไปดูการทำแบบฝึกหัดครับ
แบบฝึกหัด
1. จากรูปกำหนดให้ \(\vec{AB}=\vec{u}\) และ \(\vec{AC}=\vec{v}\) จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปของ \(\vec{u}\) หรือ \(\vec{v}\)
1) \(\vec{AF}\)
\begin{array}{lcl}\vec{AF}&=&\frac{1}{2}\vec{AB}\\&=&\frac{1}{2}\vec{u}\end{array}
2)\(\vec{AD}\)
\begin{array}{lcl}\vec{AD}&=&\frac{1}{4}\vec{AC}\\&=&\frac{1}{4}\vec{v}\end{array}
3)\(\vec{DC}\)
\begin{array}{lcl}\vec{DC}&=&\frac{3}{4}\vec{AC}\\&=&\frac{3}{4}\vec{v}\end{array}
4)\(\vec{CA}\)
\begin{array}{lcl}\vec{CA}&=&-\vec{v}\end{array}
5)\(\vec{BF}\)
\begin{array}{lcl}\vec{BF}&=&\frac{1}{2}\vec{BA}\\&=&\frac{1}{2}(-\vec{AB})\\&=&-\frac{1}{2}\vec{AB}\\&=&-\frac{1}{2}\vec{u}\end{array}
6)\(\vec{BC}\)
\begin{array}{lcl}\vec{BC}&=&\vec{BA}+\vec{AC}\\&=&-\vec{u}+\vec{v}\end{array}
7)\(\vec{BE}\)
ข้อนี้สามารถนำคำตอบข้อ 6 มาช่วยได้ครับ
\begin{array}{lcl}\vec{BE}&=&\frac{1}{3}\vec{BC}\\&=&\frac{1}{3}(-\vec{u}+\vec{v})\\&=&-\frac{1}{3}\vec{u}-\frac{1}{3}\vec{v}\end{array}
8)\(\vec{CE}\)
ข้อนี้ก็นำข้อ 6 มาช่วยได้ครับ
\begin{array}{lcl}\vec{CE}&=&\frac{2}{3}\vec{CB}\\&=&-\frac{2}{3}\vec{BC}\\&=&-\frac{2}{3}(-\vec{u}+\vec{v})\\&=&\frac{2}{3}\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v}\end{array}
มีหลายๆเส้นที่ผมไม่ได้ทำให้ดูนะครับอย่างไรก็ทำฝึกดูเอาเอง และสามารถทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมได้ตามลิงคนี้ครับ การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์
ต่อไปมาดูแนวโจทย์ข้อสอบ Pat 1 ที่เกี่ยวกับการบวกเวกเตอร์บ้างคับ ต้องอาศัยการบวกเวกเตอร์คับถึงจะทำแบบฝึกหัดได้
1.กำหนดให้ \(ABC\) เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี \(D\) เป็นจุดบนด้าน \(AC\) และ \(F\) เป็นจุดบนด้าน \(BC\) ถ้า \(\vec{AD}=\frac{1}{4}\vec{AC}\quad , \vec{BF}=\frac{1}{3}\vec{BC}\) และ \(\vec{DF}=a\vec{AB}+b\vec{BC}\) แล้ว \(\frac{a}{b}\) มีค่าเท่าใด (Pat 1 ต.ค.52)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดรูปออกมานะคับถึงจะทำข้อสอบได้ง่าย ใครวาดรูปไม่เป็นบอกเลยว่ายากคับ จากรูปเราเราจะได้ว่า
\[\vec{DF}=\vec{DC}+\vec{CF}\]
เราต้องจัด \(\vec{DF}=\vec{DC}+\vec{CF}\) ให้อยู่ในรูปของ \(\vec{DF}=a\vec{AB}+b\vec{BC}\) เพื่อที่จะได้ค่า \(a\) และ \(b\) ออกมา ใครที่ยังไม่เข้าใจ ก็ลองอ่านตามมาคับ
\begin{array}{lcl}\vec{DF}&=&\vec{DC}+\vec{CF}\\&=&\frac{3}{4}\vec{AC}+\frac{2}{3}\vec{CB}\\&=&\frac{3}{4}[\vec{AB}+\vec{BC}]-\frac{2}{3}\vec{BC}\\&=&\frac{3}{4}\vec{AB}+\frac{3}{4}\vec{BC}-\frac{2}{3}\vec{BC}\\&=&\frac{3}{4}\vec{AB}+\frac{1}{12}\vec{BC}\end{array}
ตอนนี้เราจะเห็นได้ว่า
\[\vec{DF}=\frac{3}{4}\vec{AB}+\frac{1}{12}\vec{BC}\]
ดังนั้น \(a=\frac{3}{4}\) และ \(b=\frac{1}{12}\)
นั่นคือ \(\frac{a}{b}=\frac{3}{4}\times 12=9\quad\underline{Ans}\)
2.การบวกเวกเตอร์ที่เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 2 มิติและเวกเตอร์ใน 3 มิติ
การบวกเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 2 มิติและ 3 มิตินี้ง่ายครับมาดูนิยามกันเลยครับ
นิยาม ให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัด 2 มิติ
\(\vec{u}=\begin{bmatrix}a\\b \end{bmatrix},\vec{v}=\begin{bmatrix}c\\d \end{bmatrix}\)
\(\vec{u}+\vec{v}=\begin{bmatrix}a+c\\b+d \end{bmatrix}\)
ลบก็ทำเหมือนบวกนะครับแค่เอามาลบกัน ส่วนในระบบพิกัดฉาก 3 มิติก็ทำเหมือนสองมิติเลยแต่เพียงแต่ 3 มิติจะมีสามแถวครับ
ตัวอย่าง กำหนดให้
\(\vec{u}=\begin{bmatrix}2\\6 \end{bmatrix}\)
\(\vec{v}=\begin{bmatrix}4\\5 \end{bmatrix}\)
จงหา \(\vec{u}+\vec{v},\vec{u}-\vec{v}\)
วิธีทำ
\(\vec{u}+\vec{v}=\begin{bmatrix}2+4\\6+5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\11 \end{bmatrix}\)
\(\vec{u}-\vec{v}=\begin{bmatrix}2-4\\6-5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\1 \end{bmatrix}\)
สนับสนุนเว็บไซต์