วันนี้ผมจะพาพวกเราทำโจทย์อนุกรมเรขาคณิตครับ ค่อยๆอ่านค่อยๆทำความเข้าใจ ผมจะพยายามทำให้ดูทีละขั้นตอนใครที่เรียนไม่ทันในห้องเรียน ไม่มีเงินเรียนพิเศษก็ค่อยๆอ่านทำความเข้าใจไม่ได้ยากมากครับง่ายๆ เครื่องมือในการทำโจทย์อนุกรมเรขาคณิตมีอยู่สองอย่างเท่านั้นที่ทุกคนต้องนำไปใช้ให้เป็นก็คือ 2 สูตรนี้
\[S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\] สูตรนี้เป็นสูตรที่ใช้เมื่อรู้พจน์สุดท้ายครับซึ่งพจน์สุดท้ายก็คือ \(a_{n}\) นั่นเอง
\[S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\] สูตรนี้ใช้ตอนไหนก็ได้ไม่รู้พจน์สุดท้ายหรือรู้พจน์สุดท้ายก็ใช้ได้ครับฉะนั้นสูตรนี้สำคัญใช้ได้ตลอดเลย
มาดูการทำโจทย์กันเลยครับ
1. ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่งมี \(r=-2\) และ \(S_{6}=42\) จงหาค่าของ \(S_{10}\)
วิธีทำ เนื่องจากเขาให้หาค่าของ\(S_{10}\) ดังนั้นเราก็ลองกระจ่าย \(S_{10}\) ออกมาก่อนกระจายโดยใช้สูตรที่สองนะครับจะได้
\begin{array}{lcl}S_{10}&=&\frac{a_{1}(1-r^{10})}{1-r}\\&=&\frac{a_{1}(1-(-2)^{10})}{1-(-2)}\\&=&\frac{a_{1}(1-1024)}{1+2}\\&=&\frac{a_{1}(1-1024)}{3}\end{array}
จากตรงนี้เราจะเห็นว่าจะหาค่า \(S_{10}\) ต่อไม่ได้เนื่องจากติดค่า \(a_{1}\) ดังนั้นต้องหาเอหนึ่งก่อนโดยหาจาก \(S_{6}\) กระจ่าย \(S_{6}\) ออกมาเลยกระจ่ายโดยใช้สูตรสองครับ(สูตรล่าง)
\begin{array}{lcl}S_{6}&=&\frac{a_{1}(1-r^{6})}{1-r}\\42&=&\frac{a_{1}(1-(-2)^{6})}{1-(-2)}\\42&=&\frac{a_{1}(1-64)}{3}\\42\times 3&=&a_{1}(1-64)\\126&=&a_{1}(-63)\\a_{1}&=&-\frac{126}{63}\\a_{1}&=&-2\end{array}
ได้ค่า \(a_{1}=-2\) เอาไปแทนค่าในสมการค่าบนที่เราได้พักไว้ในตอนแรกก็จะได้
\begin{array}{lcl}S_{10}&=&\frac{a_{1}(1-r^{10})}{1-r}\\&=&\frac{a_{1}(1-(-2)^{10})}{1-(-2)}\\&=&\frac{a_{1}(1-1024)}{1+2}\\&=&\frac{a_{1}(1-1024)}{3}\\&=&\frac{-2(1-1024)}{3}\\&=&\frac{(-2)\times (-1023)}{3}\\&=&\frac{2046}{3}\\&=&682 \end{array}
2. จงหาว่าจะต้องบวกอนุกรม \(1-2+4+...\) ไปกี่พจน์จึงจะได้ผลบวกเท่ากับ \(-85\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับหาว่าบวกไปกี่พจน์ก็คือหาค่า \(n\) นั่นเองครับ อันนี้ใช้สูตรที่สองได้เลย
ก่อนจะทำข้อนี้ต้องรู้ก่อนนะว่า \(a_{1}=1,r=-2\)
\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\\-85&=&\frac{1(1-(-2)^{n})}{1-(-2)}\\-85&=&\frac{1-(-2)^{n}}{3}\\(-85)\times (3)&=&1-(-2)^{n}\\-255&=&1-(-2)^{n}\\-255-1&=&-(-2)^{n}\\-256&=&-(-2)^{n}\\256&=&(-2)^{n}\\(-2)^{8}&=&(-2)^{n}\\ดังนั้น\\n&=&8\end{array}
สรุปคือต้องบวกไป 8 พจน์จึงจะได้ผลบวกเท่ากับ -85 ครับ
3. กำหนดให้ \(S_{n}\) เป็นผลบวก \(n\) พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2 ถ้า \(S_{10}-S_{8}=32\) แล้วพจน์ที่ 9 ของอนุกรมนี้เท่ากับเท่าใด[O-NET51]
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรยากครับเป็นข้อสอบ O-NET เก่าครับเริ่มทำกันเลยครับ
ก่อนทำจะเห็นว่าโจทย์บอกว่า \(r=2\) และให้หา \(a_{9}\)
เนื่องจาก
\begin{array}{lcl}a_{9}&=&a_{1}r^{9-1}\\&=&a_{1}(2)^{8}\\&=&a_{1}(256)\end{array}
ยังหาค่า \(a_{9}\) ไม่เนื่องจากไม่รู้ \(a_{1}\) เก็บสมการนี้ไว้ก่อนไปหาค่า \(a_{1}\) ให้ได้ก่อนครับ
เนื่องจาก
\begin{array}{lcl}S_{10}-S_{8}&=&32\\a_{9}+a_{10}&=&32\\a_{1}r^{8}+a_{1}r^{9}&=&32\\a_{1}(r^{8}+r^{9})&=&32\\a_{1}(2^{8}+2^{9})&=&32\\a_{1}768&=&32\\a_{1}&=&\frac{32}{768}\\a_{1}&=&\frac{1}{24}\end{array}
หา \(a_{1}\) ได้แล้วเอาไปแทนค่าในสมการข้างบนที่เราค้างไว้ครับเพื่อหาค่า \(a_{9}\) ออกมาครับจะได้
\begin{array}{lcl}a_{9}&=&a_{1}r^{9-1}\\&=&a_{1}(2)^{8}\\&=&a_{1}(256)\\&=&\frac{1}{24}\times 256\\&=&\frac{32}{3}\end{array}
ข้อนี้พจน์ที่ 9 คือ \(\frac{32}{3}\) นั่นเอง
4. ุ ถ้า \(a\) เป็นจำนวนจริงลบ และ \(a^{20}+2a-3=0\) แล้ว \(1+a+a^{2}+...+a^{19}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด [O-NET9]
วิธีทำ จากอนุกรมที่โจทย์กำหนดให้ คือ \(1+a+a^{2}+...+a^{19}\) ถ้าดูดีๆจะเป็นอนุกรมเรขาคณิต ที่มี \(r=\frac{a^{2}}{a}=a\) และมีจำนวน 20 พจน์ เรารู้พจน์สุดท้ายด้วยข้อนี้ดังนั้นใช้สูตรนี้ได้เลย
\[S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\]
แทนค่าลงไปเลยนะ พจน์แรกก็รู้ ก็คือ \(a_{1}=1\) พจน์สุดท้ายก็รู้คือ \(a_{n}=a^{19}\) เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\\&=&\frac{1-a^{19}a}{1-a}\\&=&\frac{1-a^{20}}{1-a}\end{array}
ค้างไว้ตรงนี้ก่อนนะครับ เราต้องไปหาค่า \(a^{20}\) ก่อนครับจากที่โจทย์กำหนดมาให้คือ
\begin{array}{lcl}a^{20}+2a-3&=&0\\a^{20}&=&3-2a\end{array}
ได้ค่า \(a^{20}\) แล้วเอาไปแทนค่าสมการที่เราค้างไว้จะได้
\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\\&=&\frac{1-a^{19}a}{1-a}\\&=&\frac{1-a^{20}}{1-a}\\&=&\frac{1-(3-2a)}{1-a}\\&=&\frac{1-3+2a}{1-a}\\&=&\frac{-2+2a}{1-a}\\&=&\frac{-2(1-a)}{1-a}\\&=&-2\end{array}
ข้อนี้ตอบ -2 นั่นเอง
สนับสนุนเว็บไซต์