วันนี้ผมจะพาพวกเราทำโจทย์อนุกรมเรขาคณิตครับ ค่อยๆอ่านค่อยๆทำความเข้าใจ ผมจะพยายามทำให้ดูทีละขั้นตอนใครที่เรียนไม่ทันในห้องเรียน ไม่มีเงินเรียนพิเศษก็ค่อยๆอ่านทำความเข้าใจไม่ได้ยากมากครับง่ายๆ  เครื่องมือในการทำโจทย์อนุกรมเรขาคณิตมีอยู่สองอย่างเท่านั้นที่ทุกคนต้องนำไปใช้ให้เป็นก็คือ 2 สูตรนี้

\[S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\]    สูตรนี้เป็นสูตรที่ใช้เมื่อรู้พจน์สุดท้ายครับซึ่งพจน์สุดท้ายก็คือ  \(a_{n}\)   นั่นเอง

\[S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\]     สูตรนี้ใช้ตอนไหนก็ได้ไม่รู้พจน์สุดท้ายหรือรู้พจน์สุดท้ายก็ใช้ได้ครับฉะนั้นสูตรนี้สำคัญใช้ได้ตลอดเลย

มาดูการทำโจทย์กันเลยครับ

1. ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่งมี  \(r=-2\) และ  \(S_{6}=42\)   จงหาค่าของ  \(S_{10}\)

วิธีทำ  เนื่องจากเขาให้หาค่าของ\(S_{10}\)     ดังนั้นเราก็ลองกระจ่าย   \(S_{10}\)    ออกมาก่อนกระจายโดยใช้สูตรที่สองนะครับจะได้

\begin{array}{lcl}S_{10}&=&\frac{a_{1}(1-r^{10})}{1-r}\\&=&\frac{a_{1}(1-(-2)^{10})}{1-(-2)}\\&=&\frac{a_{1}(1-1024)}{1+2}\\&=&\frac{a_{1}(1-1024)}{3}\end{array}

จากตรงนี้เราจะเห็นว่าจะหาค่า   \(S_{10}\)     ต่อไม่ได้เนื่องจากติดค่า    \(a_{1}\)   ดังนั้นต้องหาเอหนึ่งก่อนโดยหาจาก  \(S_{6}\)    กระจ่าย   \(S_{6}\)   ออกมาเลยกระจ่ายโดยใช้สูตรสองครับ(สูตรล่าง)

\begin{array}{lcl}S_{6}&=&\frac{a_{1}(1-r^{6})}{1-r}\\42&=&\frac{a_{1}(1-(-2)^{6})}{1-(-2)}\\42&=&\frac{a_{1}(1-64)}{3}\\42\times 3&=&a_{1}(1-64)\\126&=&a_{1}(-63)\\a_{1}&=&-\frac{126}{63}\\a_{1}&=&-2\end{array}

ได้ค่า   \(a_{1}=-2\)    เอาไปแทนค่าในสมการค่าบนที่เราได้พักไว้ในตอนแรกก็จะได้

\begin{array}{lcl}S_{10}&=&\frac{a_{1}(1-r^{10})}{1-r}\\&=&\frac{a_{1}(1-(-2)^{10})}{1-(-2)}\\&=&\frac{a_{1}(1-1024)}{1+2}\\&=&\frac{a_{1}(1-1024)}{3}\\&=&\frac{-2(1-1024)}{3}\\&=&\frac{(-2)\times (-1023)}{3}\\&=&\frac{2046}{3}\\&=&682 \end{array}


2. จงหาว่าจะต้องบวกอนุกรม   \(1-2+4+...\)    ไปกี่พจน์จึงจะได้ผลบวกเท่ากับ   \(-85\)

วิธีทำ  ข้อนี้ไม่ยากครับหาว่าบวกไปกี่พจน์ก็คือหาค่า  \(n\)   นั่นเองครับ  อันนี้ใช้สูตรที่สองได้เลย

ก่อนจะทำข้อนี้ต้องรู้ก่อนนะว่า  \(a_{1}=1,r=-2\)

\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\\-85&=&\frac{1(1-(-2)^{n})}{1-(-2)}\\-85&=&\frac{1-(-2)^{n}}{3}\\(-85)\times (3)&=&1-(-2)^{n}\\-255&=&1-(-2)^{n}\\-255-1&=&-(-2)^{n}\\-256&=&-(-2)^{n}\\256&=&(-2)^{n}\\(-2)^{8}&=&(-2)^{n}\\ดังนั้น\\n&=&8\end{array}

สรุปคือต้องบวกไป 8 พจน์จึงจะได้ผลบวกเท่ากับ -85  ครับ


3. กำหนดให้ \(S_{n}\)   เป็นผลบวก  \(n\)   พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2 ถ้า   \(S_{10}-S_{8}=32\)   แล้วพจน์ที่ 9  ของอนุกรมนี้เท่ากับเท่าใด[O-NET51]

วิธีทำ  ข้อนี้ไม่มีอะไรยากครับเป็นข้อสอบ O-NET เก่าครับเริ่มทำกันเลยครับ

ก่อนทำจะเห็นว่าโจทย์บอกว่า  \(r=2\)  และให้หา  \(a_{9}\)

เนื่องจาก

\begin{array}{lcl}a_{9}&=&a_{1}r^{9-1}\\&=&a_{1}(2)^{8}\\&=&a_{1}(256)\end{array}    

ยังหาค่า \(a_{9}\)  ไม่เนื่องจากไม่รู้  \(a_{1}\)  เก็บสมการนี้ไว้ก่อนไปหาค่า   \(a_{1}\)   ให้ได้ก่อนครับ

เนื่องจาก

\begin{array}{lcl}S_{10}-S_{8}&=&32\\a_{9}+a_{10}&=&32\\a_{1}r^{8}+a_{1}r^{9}&=&32\\a_{1}(r^{8}+r^{9})&=&32\\a_{1}(2^{8}+2^{9})&=&32\\a_{1}768&=&32\\a_{1}&=&\frac{32}{768}\\a_{1}&=&\frac{1}{24}\end{array}

หา  \(a_{1}\)   ได้แล้วเอาไปแทนค่าในสมการข้างบนที่เราค้างไว้ครับเพื่อหาค่า  \(a_{9}\)   ออกมาครับจะได้

\begin{array}{lcl}a_{9}&=&a_{1}r^{9-1}\\&=&a_{1}(2)^{8}\\&=&a_{1}(256)\\&=&\frac{1}{24}\times 256\\&=&\frac{32}{3}\end{array}  

ข้อนี้พจน์ที่ 9  คือ   \(\frac{32}{3}\)   นั่นเอง


4. ุ ถ้า \(a\)   เป็นจำนวนจริงลบ และ   \(a^{20}+2a-3=0\)  แล้ว  \(1+a+a^{2}+...+a^{19}\)   มีค่าเท่ากับเท่าใด [O-NET9]

วิธีทำ  จากอนุกรมที่โจทย์กำหนดให้ คือ   \(1+a+a^{2}+...+a^{19}\)     ถ้าดูดีๆจะเป็นอนุกรมเรขาคณิต ที่มี   \(r=\frac{a^{2}}{a}=a\)  และมีจำนวน  20  พจน์   เรารู้พจน์สุดท้ายด้วยข้อนี้ดังนั้นใช้สูตรนี้ได้เลย

\[S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\]

แทนค่าลงไปเลยนะ พจน์แรกก็รู้  ก็คือ \(a_{1}=1\)     พจน์สุดท้ายก็รู้คือ   \(a_{n}=a^{19}\)      เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\\&=&\frac{1-a^{19}a}{1-a}\\&=&\frac{1-a^{20}}{1-a}\end{array}

ค้างไว้ตรงนี้ก่อนนะครับ เราต้องไปหาค่า  \(a^{20}\)   ก่อนครับจากที่โจทย์กำหนดมาให้คือ

\begin{array}{lcl}a^{20}+2a-3&=&0\\a^{20}&=&3-2a\end{array}

ได้ค่า   \(a^{20}\)    แล้วเอาไปแทนค่าสมการที่เราค้างไว้จะได้

\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\\&=&\frac{1-a^{19}a}{1-a}\\&=&\frac{1-a^{20}}{1-a}\\&=&\frac{1-(3-2a)}{1-a}\\&=&\frac{1-3+2a}{1-a}\\&=&\frac{-2+2a}{1-a}\\&=&\frac{-2(1-a)}{1-a}\\&=&-2\end{array}

ข้อนี้ตอบ  -2   นั่นเอง

Pin It