โจทย์กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ เรื่องนี้เราจะได้เรียนในชั้น ม.5 กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับจะมีสองกฎก็คือ
1. การการคูณ
2. การการบวก
ไปอ่านเพิ่มเติมตามนี้ครับ กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
สำหรับวันนี้เรามาทำโจทย์เพิ่มเติมเกี่ยวกับกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ เริ่มกันเลยนะครับค่อยๆอ่านผมจะเฉลยวิธีการทำให้ดูเป็นบางข้อ สำหรับคนที่เรียนในห้องไม่ทันหรือไม่มีเงินเรียนพิเศษ
1. มีถนนจากกรุงเทพฯ ถึงลพบุรี 3 สาย และมีถนนจากลพบุรีถึงนครราชสีมา 4 สาย ถ้าจะขับรถยนต์จากกรุงเทพฯถึงนครราชสีมาโดยขับผ่านจังหวัดลพบุรี จะใช้เส้นทางที่ต่างกันได้ทั้งหมดกี่เส้นทาง เขียนแผนภาพแสดงการเดินทางเพื่อประกอบคำตอบด้วย
วิธีทำ ข้อนี้ใช้กฎการคูณ มองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 คือเดินทางจากกรุงเทพไปลพบุรี ซึ่งการเดินทางจากกรุงเทพไปลพบุรีมีเส้นทางให้เลือกเดินทาง 3 สายนั่นคือขั้นตอนนี้มีวิธีการทำงาน 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 คือเดินทางจากลพบุรีไปนครราชสีมา ซึ่งการเดินทางจากลพบุรีไปนครราชสีมามีเส้นทางให้เลือกเดินทาง 4 สายนั่นคือขั้นตอนนี้มีวิธีการทำงาน 4 วิธี
ดังนั้น จะใช้เ้ส้นทางในการเดินทางแตกต่างกันทั้งหมด \(3 \times 4=12\) เส้นทาง
2. หมายเลขโทรศัพท์ซึ่งประกอบไปด้วยเลขโดด 9 ตัว และห้าตัวแรกเป็น 02392 มีได้ทั้งหมดกี่หมายเลข
วิธีทำ เนื่องจากหมายเลขโทรศัทพ์ห้าตัวแรกคือ 02392 ดังนั้นต้องทำงานแค่ 4 ขั้นตอนคือ
ขั้นตอนที่ 1 สร้างหมายเลขโทรศัพท์หลักที่ 6 ซึ่งทำได้ 10 วิธีเพราะใส่เลขโดดหนึ่งตัวอะไรก็ได้อย่าลืมนะเลขโดดมี 10 ตัวคือ 0-9
ขั้นตอนที่ 2 สร้างหมายเลขโทรศัพท์หลักที่ 7 ซึ่งทำได้ 10 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 สร้างหมายเลขโทรศัพท์หลักที่ 8 ซึ่งทำได้ 10 วิธี
ขั้นตอนที่ 4 สร้างหมายเลขโทรศัพท์หลักที่ 9 ซึ่งทำได้ 10 วิธี
ดังนั้นหมายเลขโทรศัพท์มีได้ทังหมด \(10\times 10\times 10\times 10=10000\) หมายเลข
3. สนามกีฬาแห่งหนึ่งมีประตูอยู่ 4 ประตู ถ้าจะเข้าประตูหนึ่งแล้วออกอีกประตูหนึ่งไม่ให้ซ้ำกับประตูที่เข้ามา จะมีวิธีเข้าและออกจากสนามกีฬาแห่งนี้ได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ ข้อนี้มองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 เลือกประตูเข้าซึ่งมีประตูให้เลือก 4 ประตูดังนั้นจึงทำได้ 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกประตูเพื่อเดินออกมีประตูให้เลือกเดินออกแค่ 3 ประตูเพราะจะเลือกเดินออกประตูที่เดินเข้าไม่ได้เพราะโจทย์ห้ามใช้ประตูซ้ำดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 3 วิธี
ดังนั้นวิธีเข้าและออกโดยใช้ประตูไม่ซ้ำกันทำได้ทั้งหมด \(4 \times 3=12\) วิธี
4. จงหาจำนวนนับที่มากกว่า 400 ที่เลขโดดซึ่งใช้ในการเขียนตัวเลขแสดงจำนวนดังกล่าวคือ 2,3,4 และ 5 โดยเลขโดดที่ใช้จะต้องไม่ซ้ำกัน และเป็นจำนวนที่มีสามหลัก หรือ สีหลัก
วิธีทำ ข้อนี้ ต้องแบ่งกรณีในการคิดนะครับ เพราะเราจะสร้างเลขสามหลักและเลขสี่หลักพร้อมกันไม่ได้
กรณีที่ 1 สร้างเลขสามหลัก
ขั้นตอนที่ 1 สร้างเลขหลักร้อย ทำได้ ทำได้ 2 วิธีเพราะว่าใส่ได้แค่เลข 4 หรือ 5 เท่านั้นอย่าลืมนะโจทย์ให้สร้างเลขโดดที่มากกว่า 400 ดังนั้นหลักร้อยเป็นเลขที่น้อยกว่า 4 ไม่ได้
ขั้นตอนที่ 2 สร้างเลขหลักสิบ ทำได้ ทำได้ 3 วิธี ก็คือ
ถ้าหลักร้อยใส่เลข 4 ลงไปหลักสิบก็ใส่เลข 2 หรือ 3 หรือ 5 อะไรก็ได้ลงไปตัวหนึ่งซึ่งก็คือเลือกทำได้ 3 วิธี
ถ้าหลักร้อยใส่เลข 5 ลงไปหลักสิบก็ใส่เลข 2 หรือ 3 หรือ 4 อะไรก็ได้ลงไปตัวหนึ่งซึ่งก็คือเลือกทำได้ 3 วิธี มองเห็นไหม
ขั้นตอนที่ 3 สร้างเลขหลักหน่วย ทำได้ 2 วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีในการสร้างเลขสามหลักที่มีค่ามากกว่า 400 จากเลขโดด 2,3,4,5 จะสร้างได้ \( 2 \times 3 \times 2 =12\) จำนวน
กรณีที่ 2 สร้างเลขสี่หลัก
ขั้นตอนที่ 1 สร้างเลขหลักพัน ทำได้ 4 วิธี ใส่เลขโดดอะไรก็ได้ลงไปเพราะเลขสี่หลักยังไงก็มากกว่า 400 อยู่แล้ว
ขั้นตอนที่ 2 สร้างเลขหลักร้อย ทำได้ 3 วิธี ใส่เลขที่เหลือกจากการใส่ในหลักพัน
ขั้นตอนที่ 3 สร้างเลขหลักสิบ ทำได้ 2 วิธี
ขั้นตอนที่ 4 สร้างเลขหลักหน่วย ทำได้ 1 วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีในการสร้างเลขสี่หลักที่มีค่ามากกว่า 400 จากเลขโดด 2,3,4,5 จะสร้างได้ \( 4 \times 3 \times 2 \times 1 =24\) จำนวน
ดังนั้นคำตอบคือ ต้องเอาทั้งสองกรณีมาบวกกันครับ นั่นคือจำนวนนับที่มีค่ามากกว่า 400 และเป็นจำนวนที่มีสามหลักหรือสี่หลักจะมีทั้งหมด 12+24=36 จำนวนครับ
5. จงหาจำนวนวิธีที่ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าสามลูกมากกว่า 4 เมื่อทอดลูกเต๋าสามลูกพร้อมกัน
วิธีทำ การทำข้อนี้วิธีที่ง่ายที่สุดก็คือ ทำย้อนกลับ กล่าวคือ
จำนวนวิธีทั้งหมดในการทอดลูกเต๋าสามลูกพร้อมกัน ลบออกด้วย จำนวนวิธีที่ผลรวมของแต้มลูกเต๋าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 เมื่อลบจำนวนวิธีที่ผลรวมของแต้มลูกเต๋าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 ออกแล้วก็จะเหลือจำนวนวิธีที่ผลบวกของแต้มลูกเต๋ามากกว่า 4 เข้าใจไหมเอ่ย
เริ่มหากันเลยนะ
จำนวนวิธีทั้งหมดในการทอดลูกเต๋าสามลูกพร้อมกันคือ \(6\times 6 \times 6=216\)
จะเห็นได้ว่าผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าสามลูกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 จะมี (1,1,1) ,(1,1,2),(1,2,1) และ (2,1,1) ซึ่งมีทั้งหมด 4 วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีที่ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋าสามลูกจะมากกว่า4เท่ากับ 216-4=212 วิธี
สามารถอ่านและทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับที่ลิงค์นี้ครับ กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
มีคลิปให้ดูด้วยครับเพื่อความเข้าใจมากขึ้น
6. ห้องประชุมห้องหนึ่งมีประตู 4 ประตู นักเรียนคนหนึ่งเดินเข้าไปในห้องประชุมแล้วเดินออกจากห้องประชุม นักเรียนคนนี้จะมีวิธีเลือกประตูเดินเข้าและเดินออกกี่วิธีเมื่อการเดินเข้าและการเดินออกต้องไม่เป็นประตูเดียวกัน
วิธีทำ ข้อนี้ใช้หลักการนับ(กฎการคูณ)มาช่วยในการแก้ปัญหา หรือใครจะวาดแผนภาพต้นไม้ในการหาคำตอบก็ได้คับ
ถ้าเราใช้กฎการคูณ มองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน คือ
ขั้นตอนที่ 1 เลือกประตูที่จะเดินเข้าห้องประชุมซึ่งมีทั้งหมด 4 ประตู ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 4 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกประตูที่จะออกจากห้องประชุม ซึ่งมีเงือนไขว่า ห้ามใช้ประตูซ้ำ ก็คือถ้าเราเดินเข้าห้องประชุมโดยใช้ประตู 1 ก็จะเดินออกจากห้องประชุมโดยใช้ประตู 1 ไม่ได้ก็ต้องไปออกประตู 2 หรือ 3 หรือ 4 ก็ได้ ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 3 วิธี
เพราะฉะนั้น จะมีวิธีการเดินเข้าและเดินออกโดยไม่เป็นประตูเดียวกัน \(4\times 3=12\) วิธี
7.ต้องการสร้างคำโดยใช้อักษร 4 ตัวจากคำว่า ABSOLUTE โดยที่อักษรทั้ว 4 ตัวนั้นไม่ซ้ำกัน จะสามารถสร้างได้ทั้งหมดกี่คำโดยไม่คำนึงถึงความหมาย
วิธีทำ ข้อนี้เขาเอาตัวอักษร 4 ตัวจากคำว่า ABSOLUTE มาสร้างคำใหม่ขึ้นมาโดยมีเงื่อนไขคือตัวอักษรที่เลือกมาห้ามซ้ำกัน ดังนั้นใช้กฎการคูณในการหาคำตอบ คือ มองเป็นทำงาน 4 ขั้นตอนเพราะเราต้องเลือกตัวอักษรมา 4 ตัวเพื่อที่จะมาสร้างให้ได้คำๆหนึ่ง
ขั้นตอนที่ 1 เลือกตัวอักษรมา 1 ตัวจากตัวอักษรทั้งหมด 8 ตัวดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 8 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกตัวอักษรมา 1 ตัวจากตัวอักษรที่เหลือคือ 7 ตัว ที่เหลือให้เลือกแค่ 7 ตัวเพราะจะเลือกตัวอักษรจากขั้นตอนที่ 1 ไม่ได้เพราะโจทย์บอกว่าตัวอักษรต้องไม่ซ้ำกัน ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 7 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกตัวอักษรมา 1 ตัวจากตัวอักษรที่เหลือ 6 ตัว ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 6 วิธี
ขั้นตอนที่ 4 เลือกตัวอักษรมา 1 ตัวจากตัวอักษรที่เหลือ 5 ตัว ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 5 วิธี
เพราะฉะนั้นจะมีวิธีสร้างคำได้ทั้งหมด \(8\times 7\times 6\times 5=1680\) คำ
8. กำหนด \(S=\{0,1,2,3,\cdots ,9\}\) จะสร้างจำนวนเต็มบวกคี่ 4 หลัก โดยใช้ตัวเลขจากเซต \(S\) ได้กี่จำนวน
วิธีทำ ข้อนี้มองเป็นทำงาน 4 ขั้นตอน โดยให้เราไปสนใจในการขั้นตอนที่สร้างหลักหน่วยก่อนเพราะต้องเป็นเลขคี่
ขั้นตอนสร้างหลักหน่วย ทำได้คือต้องเป็นเลข 1,3,5,7,9 ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 5 วิธี
ขั้นตอนสร้างหลักพัน ทำได้คือใส่เลข 1-9 ลงไปห้ามใส่เลข 0 นะดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 9 วิธี
ขั้นตอนสร้างหลักสิบ ทำได้คือใส่เลข 0-9 ลงไป ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 10 วิธี
ขั้นตอนสร้างหลักร้อย ทำได้คือใส่เลข 0-9 ลงไป ดังนั้นขั้นตอนนี้ทำได้ 10 วิธี
เพราะฉะนั้นจะมีวิธีสร้างเลข 4 หลักที่เป็นเลขคี่ได้ทั้งหมด \(5\times 9\times 10\times 10=4500\) จำนวน
9.เลขสามหลักที่มีค่าไม่น้อยกว่า 400 ประกอบด้วยเลขโดด 0,1,2,3,4,5 มีกี่จำนวน โดยแต่ละหลักจะใช้ตัวเลขซ้ำกันได้
วิธีทำ ข้อนี้มองเป็นการทำงาน 3 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 สร้างเลขหลักร้อย ทำได้ 2 วิธี เพราะหลักร้อยต้องเป็นเลข 4 หรือ 5 เท่านั้นเพราะเลขสามหลักต้องไม่น้อยกว่า 400
ขั้นตอนที่ 2 สร้างเลขหลักสิบ ทำได้ 6 วิธี เพราะใส่เลข 0-5 ได้หมดเลย
ขั้นตอนที่ 3 สร้างเลขหลักหน่วย ทำได้ 6 วิธี เพราะใส่เลข 0-5 ได้หมดเลย
ดังนั้น สร้างเลขสามหลักได้ทั้งหมด \(2\times 6\times 6=72\) จำนวน
สนับสนุนเว็บไซต์