วันนี้ผมจะพาทำทุกคนหัดทำแบบฝึกหัดเรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ หรือบางคนอาจจะเรียกว่าอินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งก่อนหน้านี้ผมได้เขียนมาอธิบายมาบ้างแล้วใครสนใจอ่านก็ไปตามอ่านที่ลิงค์นี้ได้เลยครับพื้นฐานเรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ   แต่วันนี้ผมจะพยายามเขียนใหม่หมดเลยและจะพยายามทำให้ครอบคลุมทุกฟังก์ชัน อย่างไรก็พยายามอ่านนะครับ อ่านหนังสือหลายๆเล่มหลากหลายสำนักก็จะได้ดี เพราะบางทีบางเล่มเขียนสรุปมากไปทำให้ไม่ค่อยรู้ที่มาทีไป พอเจอโจทย์ยากๆอาจจะงงได้ หรือเจอโจทย์ง่ายมากๆที่ต้องใช้เบสิคบางทีก็ทำไม่ได้เพราะเราอ่านทึ่เขาสรุปมาแล้วเลยไม่เข้าใจที่มาที่ไป ไม่เข้าใจพื้นฐานฉะนั้นแล้วผมจะแนะนำให้อ่านหนังสือหลายๆเล่ม บทความนี้เป็นแค่ส่วนหนึ่งเท่านั้นที่จะช่วยฝึกได้บ้าง อย่างไรเราต้องหัดทำแบบฝึกหัดเองเยอะๆครับ เรามาดูผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวแรกกันเลยครับ

ฟังก์ชัน  arcsine

ผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ

นี่คือกราฟของฟังก์ชัน arcsine  หรือก็คือกราฟของฟังก์ชัน  \(y=\arcsin x\)  นั่นเองตามรูปจะเห็นว่า

โดเมนของฟังก์ชัน arcsine ก็คือ x  จะอยู่ในช่วง \(x\in[-1,1]\)

เรนจ์ของฟังก์ชัน arcsine  ก็คือ  y  จะอยู่ในช่วง \(y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)  หรือก็คือ  \(y\in[-90^{\circ},90^{\circ}]\)  หรือ ก็คือ y จะตกอยู่ในควอดเรนต์ที่ 1 หรือ ควอดเรนต์ที่ 4  นั่นเองครับ

เพราะฉะนั้นถ้ามีคนมาถามว่าจงหาค่าของ  \(y=\arcsin\frac{1}{2}\)  ถ้าเราตอบว่า  \(y=150^{\circ}\) จะผิดครับเพราะอยู่นอกเหนือเรนจ์ ข้อนี้ต้องตอบว่า  \(y=30^{\circ}\)

ฟังก์ชัน arccosine

ผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิตินี่คือกราฟของฟังก์ชัน arccosine  หรือก็คือกราฟของฟังก์ชัน  \(y=\arccos x\)   นั่นเองครับตามรูปจะเห็นว่า

โดเมนของฟังก์ชัน  arccosine  ก็คือ x  จะอยู่ในช่วง  \(x\in[-1,1]\)

เรนจ์ของฟังก์ชัน  arccosine  ก็คือ  y  จะอยู่ในช่วง  \(y\in[0,\pi]\)    หรือก็คือ 

\(y\in[0^{\circ},180^{\circ}]\)  พูดอีกอย่างก็คือ  y  ต้องตกอยู่ในควอดเรนจ์ที่ 1  หรือ ควอดเรนจ์ที่ 2 เท่านั้นครับ

เพราะฉะนั้นถ้ามีคนมาถามว่าจงหาค่าของ  \(y=\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\)     ถ้าเราตอบว่า \(y=315^{\circ}\)  จะผิดเพราะ y จะตกอยู่ในควอร์เรนจ์ที่ 1  หรือ 2 เท่านั้นข้อนี้ต้องตอบ  \(y=45^{\circ}\)  ครับถึงจะถูก

ฟังก์ชัน  arctangent

ผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิตินี่คือกราฟของฟังก์ชัน arctangent  หรือก็คือกราฟของฟังก์ชัน   \(y=\arctan x\)   นั่นเองครับดูตามรูปจะเห็นว่า 

 

โดเมนของฟังก์ชัน arctangent  ซึ่งก็คือ x จะเป็นจำนวนจริง ก็คือ  \(x\in R\)

เรนจ์ของฟังก์ชัน  arctangent  ก็คือ y จะอยู่ในช่วง  \(y\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)      หรือก็คือ  \(y\in(-90^{\circ},90^{\circ})\)    พูดอีกอย่างก็คือ y  ตกอยู่ในควอดเรนจ์ที่ควอร์ดเรนจ์ที่ 1 หรือ ควอดเรนจ์ที่ 4  แต่ไม่เอาจุดปลายของควอดเรนจ์ในครับเพราะเป็นช่วงเปิดดูดีๆด้วย

เพราะฉนั้นถ้ามีคนมาถามว่าจงหาค่าของ  \(y=\arctan 1\)  ถ้าเราตอบว่า  \(y=225^{\circ}\)  ก็จะผิดเพราะอยู่เหนือจากควอดเรนจ์ที่กำหนด  ต้องตอบว่า  \(y=45^{\circ}\)

ตอนนี้เราได้รู้โดเมนและเรนจ์ของผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว ต่อไปเราก็นำความรู้อันนี้มาทำแบบฝึกหัดกันเลยครับ อย่าลืมตั้งใจเรียนที่โรงเรียนด้วยจะได้อ่านเข้าใจง่ายยิ่งขึ้นครับ

1. จงหาค่าต่อไปนี้

1) \(\arcsin 0\)

วิธีทำ  ผมกำหนดให้

\(y=\arcsin 0\)   ความหมายของสมการตรงนี้ก็คือ ไซน์ของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเป็นศูนย์โดยที่มุมนั้นต้องตกอยู่ควอดเรนต์ที่ 1  หรือ  4  อย่าลืมนะข้างบนที่ผมทำให้อ่านเรนจ์ของฟังก์ชัน arcsine ต้องตกอยู่ในควอดเรนจ์ที่ 1  หรือ 4  เท่านั้น   เริ่มทำเลยนะ

\[y=\arcsin 0\]     ความหมายคือ

\[\sin y= 0\]      เนื่องจาก

\[\sin 0^{\circ}=0\]

ดังนั้นจึงได้ว่า

\(\arcsin 0=0^{\circ}\)   นั่นเองครับ   พอเข้าใจไหมเอ่ย 


2) \(\arccos 1\)

วิธีทำ  ผมกำหนดให้

\(y=\arccos 1\)   ตรงนี้ความหมายของมันก็คือ คอสของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเท่ากับ 1 โดยที่มุมนั้นต้องตกอยู่ในควอดเรนจ์ที่ 1 หรือ 2  เท่านั้น  เริ่มทำกันเลย

\[y=\arccos 1\]     ความหมายคือ

\[\cos y=1\]      เนื่องจาก

\[\cos 0^{\circ}=1\]      

ดังนั้นจึงได้ว่า

\(\arccos 1=0^{\circ}\)    นั่นเองครับ


3) \(\arctan 0\)

วิธีทำ  ผมกำหนดให้

\(y=\arctan 0 \)  ความหมายตรงนี้ก็คือ แทนของมุนอะไรเอ่ยมีค่าเท่ากับศูนย์ โดยที่มุมนั้น มุมในที่นี้ก็คือค่า y   ค่า  \(y\in(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)  ตามที่ผมเขียนให้ดูด้านบนตรงที่เป็นฟังก์ชัน arctangent    เริ่มทำกันเลยครับ

\[y=\arctan 0\]    ความหมายคือ

\[\tan y=0\]     เนื่องจาก

\[\tan 0^{\circ}=0\]

ดังนั้นจึงได้ว่า

\(\arctan 0 =0^{\circ}\)  นั่นเองครับ


4)  \(\arcsin (-1)\)

วิธีทำ  ผมกำหนดให้

\(y=\arcsin (-1)\)     ความหมายก็คือ ไซน์ของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเท่ากับลบหนึ่ง โดยที่มุมนั้นในที่นี้ก็คือค่า  y  ค่า  \(y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)  ก็คือตกอยู่ในคอดเรนต์ที่ 1 หรือ 4  ตามที่ผมเขียนไว้ในดูด้านบนครับ  เริ่มทำกันเลย

\[y=\arcsin (-1)\]    ความหมายคือ

\[\sin y=-1\]    เนื่องจาก

\[\sin -\frac{\pi}{2}=-1\]

ดังนั้น

\(\arcsin (-1)=-\frac{\pi}{2}\) 


5) \(arctan \frac{\sqrt{3}}{3}\)

วิธีทำ  กำหนดให้

\(y=\arctan \frac{\sqrt{3}}{3}\)    ความหมายคือ

\[\tan y=\frac{\sqrt{3}}{3}\]  

เนื่องจาก

\[\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]

ดังนั้น

\(arctan \frac{\sqrt{3}}{3}=30^{\circ}\)


6) \(\arcsin -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

วิธีทำ  ผมกำหนดให้

\(y=\arcsin -\frac{\sqrt{2}}{2}\)     ความหมายคือ

\[\sin y= -\frac{\sqrt{2}}{2}\]     เนื่องจาก

\[\sin -45^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\]

ดังนั้น

\(\arcsin -\frac{\sqrt{2}}{2}=-45^{\circ}\)  หรือใครจะตอบเป็นมุมในหน่วยเรเดียนก็ได้ก็คือ 

\(\arcsin -\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\pi}{4}\)


3. จงหาค่าต่อไปนี้

1) \(\cos\left[\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]\)

วิธีทำ ผมกำหนดให้  \(y=arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})\)

แสดงว่าตอนนี้  เรากำลังหาค่าของ  \(\cos y\)  นั่นเองครับ  เราต้องหา y  ให้ได้ครับ ไปหา  y  กันเลย

จาก

\[y=arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]      จะได้

\[\sin y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]     เนื่องจาก

\[\sin -60^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]    ดังนั้น

\(y=-60^{\circ}\)

ข้อนี้ก็คือเขาให้เราหาค่า  \(\cos-60^{\circ}\)  นั่นเองครับ

\(\cos -60^{\circ}=\frac{1}{2}\)


2) \(\sin\left[\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right]\)

วิธีทำ  กำหนดให้  \(y=\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\)

แสดงว่าเรากำลังหาค่าของ  \(\sin y\)  นั่นเองครับ ถ้าหาค่า y ได้ก็หาคำตอบข้อนี้ได้ครับ

จาก

\[y=\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\]      จะได้

\[\sin y=-\frac{1}{2}\]     เนื่องจาก

\[\sin -30^{\circ}=-\frac{1}{2}\]    ดังนั้น

\(y=-30^{\circ}\)

ข้อนี้ก็คือให้เราหาค่าของ  \(sin-30^{\circ}\)   นั่นเองครับ

\(\sin-30^{\circ}=-\frac{1}{2}\)


3) \(\tan\left(\arcsin\frac{1}{3}\right)\)

วิธีทำ  กำหนดให้  \(y=\arcsin\frac{1}{3}\)  ดังข้อนี้เรากำลังหาค่าของ \(\tan y\)  นั่นเองครับ

จาก

\[y=\arcsin\frac{1}{3}\]    จะได้

\[\sin y=\frac{1}{3}\]   ลองวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดูครับแล้วหาความด้านทั้งหมดของสามเหลี่ยมมุมฉากออกมาก็จะได้รูปดังนี้ครับ

อย่าลืมนะโจทย์ข้อนี้จริงๆแล้วเขาต้องการให้เราหาค่าของ  \(\tan y\)   จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนี้เราก็สามารถหาค่าของ \(\tan y\)  ได้ใช่ไหมใครหาไม่เป็นให้ไปอ่านเรื่องนี้ก่อนอัตราส่วนตรีโกณมิติ 

  

ดังนั้นจะได้

\(\tan y=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)


4)  \(\cot\left[\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\right]\)

วิธีทำ  ผมกำหนดให้  \(y=\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\)   ดังนั้นข้อนี้เขาให้หาค่าของ  \(\cot y\)   นั่นเองครับ

จาก 

\[y=\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\]   จะได้

\[\sin y= -\frac{\sqrt{2}}{3}\]    ทำเหมือนเดิมครับคือวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และเป็นที่น่าสังเกตอีกอย่างคือ ค่าของ \(\sin y\)  ติดลบ นั่นคือเราจะได้ว่า มุม y  ต้องตกอยู่ในควอดเรนต์ที่ 4  อาจจะมีคนแย้งว่ามุม y ตกอยู่ในควอดเรนต์ที่ 3 ไม่ได้เหรอ คำตอบคือไม่ได้เพราะตามนิยามฟังก์ชัน arcsine มุมต้องตกอยู่ในควอดเรนต์ที่ 1 หรือ 4  เท่านั้น ข้อนี้ค่าไซน์ y เท่ากับลบรูทสองส่วนสามมันติดลบดังนั้น มุม y จึงตกอยู่ในควอดเรนต์ที่ 4 ครับ  วาดรูปสามเหลี่ยมฉากเลยครับ

อย่าลืมนะโจทย์ข้อนี้จริงๆแล้วเขาให้เราหาค่าของ  \(\cot y\)  นั่นเอง ดังเราสามารถหาค่าคอทวายได้จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้เลยครับ

\(\cot y=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}\)   แต่อย่าพึ่งตอบนะ หยุดก่อนดูดี เนื่องจากมุม y เรานี้ตกอยู่ในควอดเรนต์ที่ 4  ตามที่ผมได้กล่าวไว้แล้วข้างต้น ควอดเรนต์ที่ 4 ค่า \(\cot\) จะมีค่าเป็นลบครับ ดังนั้นข้อนี้ตอบ

\(\cot y=-\frac{\sqrt{14}}{2}\)


5)  \(\sin (\arcsin\frac{4}{5} +\arcsin\frac{12}{13})\) 

วิธีทำ กำหนดให้

\(arcsin\frac{4}{5}=A\)  

\(\arcsin\frac{12}{13}=B\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\sin(\arcsin\frac{4}{5}+\arcsin\frac{12}{13}&=&\sin (A+B)\\&=&\sin A\cos B +\cos A\sin B\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนคับ ต่อไปเราก็ไปหาค่าพวก \(\sin A ,\cos B ,\cos A ,\sin B\) ครับผมวิธีการหาก็คือ

จากที่เราให้ \(\arcsin\frac{4}{5}=A\) เราจะได้

\(\sin A=\frac{4}{5}\) เราวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะได้รูปดังนี้

จากรูปจะได้ \(\cos A=\frac{3}{5}\)

จากที่เราให้ \(\arcsin\frac{12}{13}=B\) เราจะได้

\(\sin B=\frac{12}{13}\) เราวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะได้รูปดังนี้

จากรูปจะได้ว่า \(\cos B=\frac{5}{13}\)

นำค่า   \(\sin A ,\cos B ,\cos A ,\sin B\) ที่เราหาได้ไปแทนค่าในสมการที่ \((1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\sin (A+B)&=&\sin A\cos B +\cos A\sin B\\&=&\frac{4}{5}\frac{5}{13}+\frac{3}{5}\frac{12}{13}\\&=&\frac{20}{65}+\frac{36}{65}\\&=&\frac{56}{65}\quad\underline{Ans}\end{array}