วันนี้เราจะมาดูกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติครับ จะมาดูว่ากราฟของแต่ละฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นหน้าตาเป็นอย่างไรบ้าง แต่ผมจะไม่วาดให้ดูนะครับทุกคนสามารถเข้าไปวาดกราฟเองได้ครับแค่คีย์สมการของแต่ละฟังก์ชันเข้าไป เช่นอยากรู้ว่าหน้าตาของฟังก์ชันไซน์เป็นอย่างไรก็คีย์คำว่า
\(y=\sin x\) เข้าไปแล้วกด enter หน้าตาของกราฟก็จะปรากฏขึ้นมาเลยครับมีฟังก์ชันปรับแต่งมากมายลองเล่นดูสนุกครับ โปรแกรมที่ใช้ในการวาดกราฟนี้ชื่อว่าโปรแกรม Geogebra ครับมีความสามารถที่หลากหลายที่สำคัญยังมีเครื่องมือสำหรับใช้ทำงานออนไลน์ได้แบบนี้ด้วยครับ ต่อไปถ้าเราอยากรู้ว่ากราฟของแต่ละฟังก์ชันแต่ละความสัมพันธ์เป็นอย่างไรก็แค่คีย์ข้อมูลลงไปก็จะเห็นหน้าตาได้กราฟออกมาโดยง่ายดาย นี้คือความสามารถของเจ้าโปรแกรม Geogebra ลองฝึกใช้งานดูครับ ออกนอกเรื่องไปไกล เข้ามาที่เรื่องของเราบ้างก็คือ กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติก็จะมีดังนีั ลองคีย์ดูนะครับ
\(y=\sin x\)
\(y=\cos x\)
\(y=\tan x\)
\(y=\cot x\)
\(y=\sec x\)
\(y=\csc x\)
นี้คือฟังก์ชันพื้นฐานที่เราต้องรู้หน้าตาของมัน และเราสามารถขยายความรู้เพิ่มเติมออกไปได้ เช่น
\(y=2\sin x\)
\(y=3\cos x\)
สามารถลองวาดดูทำได้หมดครับ รอหน่อยพักหนึ่งโปรแกรมอาจจะโหลดช้าหน่อยครับ
ผมจะขอสรุปให้ครับสำหรับเรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติและจะทำแบบฝึกหัดให้ดู สักสองสามข้อครับ
ถ้าฟังก์ชันอยู่ในรูปของ \(y=n\sin(n\theta) , n>0\)
สามาถาหาคาบได้จาก \(\frac{2\pi}{n}\)
แอมพลิจูดคือ \(1\)
เรนจ์คือ \([-1,1]\)
ถ้าฟังก์ชันอยู่ในรูปของ \(y=n\cos(n\theta) ,n>0\)
สามารถหาคาบได้จาก \(\frac{2\pi}{n}\)
แอมพลิจูดคือ \(1\)
เรนจ์คือ \([-1,1]\)
ถ้าฟังก์ชันอยู่ในรูปของ \(y=a\sin(n\theta),n>0\)
คาบคือ \(\frac{2\pi}{n}\)
แอมพลิจูดคือ \(|a|\)
เรนจ์คือ \([-a,a]\)
ถ้าฟังก์ชันอยู่ในรูปของ \(y=a\cos(n\theta),n>0\)
คาบคือ \(\frac{2\pi}{n}\)
แอมพลิจูดคือ \(|a|\)
เรนจ์คือ \([-a,a]\)
แบบฝึกหัดเกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. จงหาแอมพลิจูดและคาบของฟังก์ชันต่อไปนี้
1) \(y=\frac{1}{2}\sin\theta\)
ได้กราฟหน้าตาแบบนี้คือ
จะเห็นว่าฟังก์ชันที่เขาให้มาคือ \(y=\frac{1}{2}\sin\theta\) อยู่ในรูปแบบ \(y=a\sin(n\theta\)
จะได้ว่า \(a=\frac{1}{2},\quad n=1\)
นั่นคือ \( คาบ=\frac{2\pi}{n}=\frac{2\pi}{1}\)
แอมพลิจูดคือ \(|a|=|\frac{1}{2}|\)
2) \(y=3\sin\theta\)
ได้กราฟหน้าตาแบบนี้ครับ
จะเห็นฟังก์ชันที่เขาให้มาคือ \(y=3\cos\theta\) อยู่ในรูปแบบ \(y=a\cos(n\theta)\)
จะได้ \(a=3,\quad n=1\)
นั่นคือ \( คาบ=\frac{2\pi}{n}=\frac{2\pi}{1}=2\pi\)
แอมพลิจูดคือ \(|a|=|3|=3\)
3)\(y=3\sin\frac{1}{2}\theta\)
จะได้กราฟหน้าตาแบบนี้ครับ
จะเห็นว่าฟังก์ชันที่เขาให้มาคือ \(y=3\sin\frac{1}{2}\theta\) ซึ่งอยู่ในรูปแบบ \(y=a\sin(n\theta\)
จะได้ \(a=3,\quad n=\frac{1}{2}\)
นั่นคือ \(คาบ=\frac{2\pi}{n}=\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi\)
แอมพลิจูดคือ \(|a|=|3|=3\)
4) \(y=3\cos\theta +1\)
ผมอยากให้ทุกคนเปรียบเทียบกันระหว่าง 2 กราฟนี้ว่ามันมีความเหมือนหรือต่างกันอย่างไรก็คือ
\(y=3\cos\theta\)
\(y=3\cos\theta+1\)
ดูรูปด้านล่างประกอบนะครับ จะเห็นว่ากราฟสองฟังก์ชันนี้ไม่ต่างกันมากเลย ต่างกันนิดเดียว คาบของทั้งสองฟังก์มีค่าเท่ากันครับคือ \(2\pi\) และค่าของแอมพลิจูดก็เท่ากันคือ 3 แต่ที่รูปร่างกราฟต่างกันเพราะว่า \(y=3\cos\theta+1\) มันต้องเลื่อนขึ้นบนไปตามแกน Y อีกหนึ่งหน่วย
เรามาดูความหมายของคำว่า คาบ กัน แอมพลิจูด กัน เพื่อความเข้าใจมากยิ่งขึ้นเพราะบางคนอาจจะลืมไปแล้ว
ฟังก์ชันตรีโกณมิติทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคาบ กล่าวคือ สามารถแบ่งแกน X ออกเป็นช่วงย่อย โดยที่ความยาวของแต่ละช่วงย่อยเท่ากันและกราฟในแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุดที่มีสมบัติดังกล่าวเรียกว่า คาบ
สำหรับฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมีค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด จะเรียกค่าที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าสูงสุดลบด้วยค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนั้นว่า แอมพลิจูด (amplitude)
นั่นก็คือ ถ้า \(a\) เป็นค่าสูงสุดและ \(b\) เป็นค่าต่ำสุดของฟังก์ชันที่เป็นคาบ จะได้ว่า แอมพลิจูดของฟังก์ชันนี้คือ \(\frac{1}{2}(a-b)\)
5) \(y=\sin(-\theta)-1\)
จะได้กราฟดังรูปครับ จะเห็นว่ากราฟของฟังก์ชันนี้คล้ายกราฟของฟังก์ชัน \(y=\sin\theta\) เลยครับแค่เลื่อนแกน Y ลงมาล่างหนึ่งหน่วยก็เท่านั้นเองครับ ดูรูปประกอบด้านล่าง
\(คาบ =2\pi\)
แอมพลิจูดเท่ากับ \(1\)
สนับสนุนเว็บไซต์