กฎของโคไซน์ เราจะเห็นว่าฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นเป็นฟังก์ชันที่เป็นความสัมพันธ์ระหว่างมุมและความยาวของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งจากความสัมพันธ์ตรงนี้เราสามารถประยุกต์ใช้ตรงนี้ได้หลากหลายรูปแบบ เช่น ประยุกต์ใช้ความรู้นี้คำนวณหาความยาว ความสูงของตึก คำนวณหาความสูงในที่ที่เข้าไปวัดได้ยาก และ ความรู้ตรงนี้ได้ถูกขยาย พิสูจน์ออกมาเป็นกฎเกณฑ์ต่างๆมากมายเพื่อนำไปประยุกต์ใช้ประโยชน์ในด้านต่างๆ กฎที่น่าสนใจคือ กฎของโคไซน์ เรามาดูกฏของโคไซน์กันครับ ว่าเป็นอย่างไร
กฎของโคไซน์
ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a,b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A,B และ C ตามลำดับ จะได้
\begin{array}{lcl}a^{2}&=&b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\\b^{2}&=&c^{2}+a^{2}-2ca\cos B\\c^{2}&=&a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\end{array}
เรามาลองทำแบบฝึกหัดกันดูครับเพื่อทดสอบความเข้าใจ ค่อยๆอ่านนะครับ
แบบฝึกหัด
1. รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหนึ่งมีขนาดของมุมหนึ่งเท่ากับ 135 องศา ด้านประกอบมุมนี้ยาว 5 และ 10 เซนติเมตร เส้นทแยงมุมเส้นสั้นของรูปสี่เหลี่ยมนี้ยาวเท่าไร
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าวาดรูปดูจะเห็นภาพชัดเจนขึ้นครับ
เนื่องจากโจทย์บอกว่ามีมุมหนึ่งมุมเท่ากับ 135 องศา ดังนั้นมุมตรงข้ามมุมนี้ก็เท่ากับ 135 องศา เหมือนกันครับ ดังนั้นอีกสองมุมที่เหลือก็ก็หาได้จาก 360-(135+135)=90 องศา เอามุมที่ได้นี้มาแบ่งครึ่งก็จะได้มุมที่เหลือสองมุมนี้มีขนาด \(\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}\) ตามรูปข้างบนครับ ต่อไปไปเราก็ใช้มุม 45 องศานี่แหละหาขนาดความยาวของเส้นทแยงมุมก็คือความยาวของ a ดูตามรูปนะครับ ใช้กฏของโคไซน์เลยครับ พยายามดูสูตรดีๆนะครับ จะได้
\begin{array}{lcl}a^{2}&=&5^{2}+10^{2}-2(5)(10)\cos 45^{\circ}\\a^{2}&=&25+100-100\frac{\sqrt{2}}{2}\\a^{2}&=&125-50\sqrt{2}\\a^{2}&=&125-(50\times 1.414)\\a^{2}&=&54.3\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}a&=&\sqrt{54.3}\\a&=&7.37\end{array}
นั่นคือเส้นทแยงมุมยาวเท่ากับ 7.37 เซนติเมตร
2.กล้ามีที่ดินอยู่แปลงหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมซึ่งมีมุมมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก และด้านประกอบมุมฉากนี้ยาวเท่ากัน มุมที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากนี้มีขนาด 30 องศา และด้านที่ประกอบมุม 30 องศานี้ยาว 20 และ 40 เมตร อยากทราบว่า ที่ดินแปลงนี้ของกล้ามีพื้นที่กี่ตารางเมตร
วิธีทำ พยายามวาดรูปครับ จะทำให้เห็นภาพว่าควรแก้และควรทำตรงไหนก่อนครับ
ข้อนี้เราจะแบ่งการคิดออกเป็น 2 ส่วนคือ
ส่วนที่ 1 จะเป็นการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC
ส่วนที่ 2 จะเป็นการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ADC
แล้วเอาทั้ง 2 ส่วนมารวมกันก็จะเป็นพื้นที่ทั้งหมด เริ่มกันเลยครับ
ส่วนที่ 1 จะเป็นการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC
ซึ่งหาได้จากสูตร
\begin{array}{lcl}\triangle ABC&=&\frac{1}{2}\times AB\times CE\\&=&\frac{1}{2}\times 40\times 10\\&=&200\end{array}
ได้แล้วครับคำตอบส่วนที่ 1 เก็บไว้ก่อน
ส่วนที่ 2 จะเป็นการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ADC
ในการหาพื้นที่ส่วนที่ 2 นี้อาจจะยากหน่อยครับเพราะต้องทำหลายขั้นตอน ดูรูปประกอบนะครับจากรูปจะเห็นว่า
\begin{array}{lcl}\triangle ADC&=&\frac{1}{2}\times x \times x\\&=&\frac{1}{2}\times x^{2}\quad\quad...(1)\end{array}
ซึ่งเราติดค่าของ \(x\) ถ้ารู้เอ็กซ์เราก็หาพื้นที่สามเหลี่ยมนี้ได้ครับ
เรามาหา \(x\) กันเลยครับดูรูปประกอบนะครับ จากรูปจะได้ว่า
\[b^{2}=x^{2}+x^{2}\]
\[b^{2}=2x^{2}\]
\[x^{2}=\frac{b^{2}}{2}\quad\quad ...(2)\]
เราจะหาค่าของ \(x\) จากค่า \(b^{2}\) นี่แหละครับโดยใช้กฏของโคไซน์ครับ มองให้ออกนะครับจากกฏของโคไซน์เราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}b^{2}&=&40^{2}+20^{2}-2(40)(20)\cos 30^{\circ}\\b^{2}&=&1600+400-1600\frac{\sqrt{3}}{2}\\b^{2}&=&2000-800\sqrt{3}\end{array}
เอาค่า \(b^{2}\) นี้ไปแทนค่าในสมการที่ 2 จะได้
\begin{array}{lcl}x^{2}&=&\frac{b^{2}}{2}\\x^{2}&=&\frac{2000-800\sqrt{3}}{2}\\x^{2}&=&1000-400\sqrt{3}\end{array}
เอาค่า \(x^{2}\) นี้ไปแทนค่าในสมการที่ 1 จะได้
\begin{array}{lcl}\triangle ADC&=&\frac{1}{2}\times x^{2}\\&=&\frac{1}{2}(1000-400\sqrt{3})\\&=&500-200\sqrt{3}\\&=&153.6\end{array}
ต่อไปก็เอาพื้นที่ในส่วนที่ 1 บวกกับพื้นที่ในส่วนที่ 2 ก็จะรู้ว่ากล้ามีพื้นที่กี่ตารางเมตร
200+153.6=353.6 ตารางเมตร
3. จงหาความยาวของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งมีฐานยาว 60 หน่วยและขนาดของมุมยอดเป็น 30 องศา
วิธีทำ ข้อนี้ต้องว่ารูปก่อน ข้อนี้เวลาคิดใช้ กฎของไซน์ ก็ได้นะ และที่สำคัญต้องรู้สมบัติต่างๆของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วด้วยครับ คือ มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะมีขนาดเท่ากันและด้านประกอบมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะยาวเท่ากันด้วยครับ
จากรูปนะครับมุม C เรียกว่ามุมยอด ซึ่งโจทย์กำหนดให้มีขนาดเท่ากับ 30 องศา A และ B เรียกว่ามุมที่ ฐานซึ่งสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะมีขนาดของมุมที่ฐานเท่ากันครับ ดังนั้นขนาดของมุม A และ B คือ \(180^{\circ}-30^{\circ}=\frac{150^{\circ}}{2}=75^{\circ}\)
นั่นคือ มุม A และ B มีขนาด 75 องศา แต่ไม่จำเป็นต้องรู้ก็ได้ครับเพราะเราไม่ได้ใช้ประโยชน์อยู่แล้ว จากรูป \(a=b\) เพราะรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วด้านประกอบมุมยอดจะยาวเท่ากันครับ
เริ่มทำเลยครับ ใช้ กฎของโคไซน์นะครับ จะได้
\begin{array}{lcl}c^{2}&=&a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\\60^{2}&=&a^{2}+a^{2}-2aa\cos 30^{\circ}\\3600&=&2a^{2}-2a^{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\\3600&=&2a^{2}-\sqrt{3}a^{2}\\3600&=&2a^{2}-1.732a^{2}\\3600&=&0.268a^{2}\\a^{2}&=&\frac{3600}{0.268}\\a^{2}&=&13432.84\\a&=&115.9\end{array}
เนื่องจาก a=b ดังนั้น b=115.9 , c=60 จะได้ว่า
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีความยาวรอบรูปเท่ากับ 115.9+115.9+60=291.8 หน่วย ตอบแล้วนะครับ โจทย์ที่ยกตัวอย่างตัวเลขอาจจะไม่สวยแต่ถ้าเป็นข้อสอบจริงๆอาจจะเป็นตัวเลขสวยๆไม่ติดรูปหารกันลงตัวครับ
มาดูตัวอย่างการใช้กฎของโคไซน์อีกนะคับอันนี้เป็นข้อสอบ Pat1 บ้างครับไปดูกันเลย
1.กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมและ D เป็นจุดกึ่งกลางด้าน BC ถ้า AB=4 หน่วย, AC=3 หน่วย และ \(AD=\frac{5}{2}\) หน่วย แล้วด้าน \(BC\) ยาวเท่ากับเท่าใดต่อไปนี้ (Pat1 ก.ค.52/12)
- 3
- 4
- 5
- 6
วิธีทำ ข้อนี้ให้ลองวาดรูปสามเหลี่ยมก่อนครับจะได้รูปประมาณนี้
จากรูปกำหนดให้ \(BC\) ยาวเท่ากับ \(x\) หน่วย ดังนั้น \(BD=\frac{x}{2}\) และ \(DC=\frac{x}{2}\)
ในรูปสามเหลี่ยมรูปใหญ่นี้เราจะแยกสามเหลี่ยมออกเป็นสองรูปย่อยคือ สามเหลี่ยม ABD และสามเหลี่ยม ADC
เรามาดูสามเหลี่ยม ABD ก่อน
จากกฎของโคไซน์ จะได้ว่า
\(4^{2}=(\frac{5}{2})^{2}+(\frac{x}{2})^{2}-(2)(\frac{5}{2})(\frac{x}{2})cos\theta\)
จัดสมการต่อ จะได้ว่า
\(16=\frac{25}{4}+\frac{x^{2}}{4}-\frac{10x}{4}(cos\theta)\quad\cdots (1)\)
ต่อไปเรามาดูสามเหลี่ยม ADC บ้าง
จากกฎของโคไซน์ จะได้ว่า
\(3^{2}=(\frac{5}{2})^{2}+(\frac{x}{2})^{2}-(2)(\frac{5}{2})(\frac{x}{2})(cos(180^{\circ}-\theta))\)
เนื่องจาก \(cos(180^{\circ}-\theta)=-cos\theta\) จะได้สมการใหม่คือ
\(9=\frac{25}{4}+\frac{x^{2}}{4}-(\frac{10x}{4})(-cos\theta)\) จัดสมการอีกได้ว่า
\(9=\frac{25}{4}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{10x}{4}cos\theta\quad \cdots (2)\)
จากสมการที่ (1) และ (2)
นำสมการที่ \((1)+(2)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}16+9&=&\frac{50}{4}+\frac{2x^{2}}{4}\\100&=&50+2x^{2}\\x^{2}&=&\frac{50}{2}\\x^{2}&=&25\\x&=&\pm 5\end{array}
ดังนั้น \(BC\) ยาว 5 หน่วย