วันนี้เราจะมาดูอีกกฎหนึ่ง นอกจากจะมีกฎของโคไซน์ แล้วยังมีอีกกฎอีกข้อหนึ่งเขาเรียกว่า กฎของไซน์ ซึ่งกฎนี้ก็ศึกษาได้จากสามเหลี่ยมใดๆนี่แหละครับ เรามาดูว่ากฎของไซน์ที่ว่านี้น่าตาเป็นอย่างไร ไปดูกันเลย
ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a,b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A,B และ C ตามลำดับ จะได้
\[\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}\]
นี่คือกฎของไซน์ครับ ต่อไปเราก็จำนำกฎของไซน์นี้ไปแก้โจทย์ปัญหากันครับ ไปดูตัวอย่างกันเลย
แบบฝึกหัด โจทย์กฎของไซน์
1. กำหนด \(\hat{A}=45^{\circ}\quad ,\hat{C}=60^{\circ}\quad ,b=20\) จงหา c และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC
วิธีทำ จากกฎของไซน์ \(\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}\)
เนื่องจาก
\begin{array}{lcl}\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}&=&180^{\circ}\\45^{\circ}+\hat{B}+60^{\circ}&=&180^{\circ}\\\hat{B}&=&75^{\circ}\end{array}
แทนค่าลงไปในกฎของไซน์เลยครับจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{\sin 75^{\circ}}{20}&=&\frac{\sin 60^{\circ}}{c}\\c&=&\frac{20\sin 60^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}\\&=&\frac{20\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}\\&=&\frac{10\sqrt{3}\times 2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}\\&=&10\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)\\&=&17.93\end{array}
2. จงหาส่วนที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม ABC โดยใช้กฎของไซน์
เมื่อกำหนดให้ \(a=4,b=8,\hat{A}=30^{\circ}\)
วิธีทำ จาก
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\)
จะได้
\begin{array}{lcl}\sin B&=&\frac{b\sin A}{a}\\\sin B&=&\frac{8\sin 30^{\circ}}{4}\\\sin B&=&2\times \frac{1}{2}\\\sin B&=&1\end{array}
เนื่องจาก
\(\sin 90^{\circ}=1\)
นั่นคือ
\(\hat{B}=90^{\circ}\) ครับ
จาก
\begin{array}{lcl}\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}&=&180^{\circ}\\30^{\circ}+90^{\circ}+\hat{C}&=&180^{\circ}\\\hat{C}&=&180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}\\\hat{C}&=&60^{\circ}\end{array}
นั่นคือ
\(\hat{C}=60^{\circ}\)
ต่อไปเมื่อหา มุมครบทั้ง 3 มุมแล้วก็หาความยาวของด้าน c ครับ วิธีการหาก็ง่ายๆครับเริ่มหากันเลยเริ่มต้นหาจากอันนี้ครับ
\(\frac{\sin C}{c}=\frac{\sin A}{a}\)
เริ่มทำกันเลย ก็แค่แทนค่าสิ่งที่เรารู้ลงไปครับ
\begin{array}{lcl}\frac{\sin C}{c}=\frac{\sin A}{a}\\c&=&\frac{a\sin C}{\sin A}\\c&=&\frac{4\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}\\c&=&\frac{4\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\\c&=&\frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}\\c&=&2\sqrt{3}\times 2\\c&=&4\sqrt{3}\end{array}
ดังนั้นจากตรงนี้เราจึงสรุปได้ว่า สามเหลี่ยม ABC นี้
มุม \(\hat{A}=30^{\circ}\)
มุม \(\hat{B}=90^{\circ}\)
มุม \(\hat{C}=60^{\circ}\)
ด้าน \(a\) ยาว 4 หน่วย
ด้าน \(b\) ยาว 8 หน่วย
ด้าน \(c\) ยาว \(4\sqrt{3}\) หน่วย
3.กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ดังรูป จงหาความยาวด้าน AC
วิธีทำ ใช้กฎของไซน์ \(\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}\)
จากรูป
\(\hat{B}=180^{\circ}-30^{\circ}=135^{\circ}\) และ
\(sin 135^{\circ}=sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
แทนค่าลงไปใน สูตรกฎของไซน์จะได้
\begin{array}{lcl}\frac{sin A}{a}&=&\frac{sin B}{b}\\\frac{sin 30^{\circ}}{6}&=&\frac{sin 45^{\circ}}{AC}\\AC&=&\frac{sin 45^{\circ}\times 6}{sin 30^{\circ}}\\AC&=&6\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times 2\\AC&=&6\sqrt{2}\end{array}
4.กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ดังรูป จงหาความยาวด้าน BC
วิธีทำ จากรูป
ใช้กฎของไซน์จะได้ว่า \(\frac{sin A}{a}=\frac{sin C}{c}\)
แทนค่าต่างๆลงไปจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{sin 60^{\circ}}{BC}&=&\frac{sin 45^{\circ}}{4}\\BC&=&\frac{4\times sin 60^{\circ}}{sin 45^{\circ}}\\BC&=&4\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{2}\\BC&=&2\sqrt{6}\end{array}
5. กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมี \(a=6,\quad b=7\) และ \(cos A=-\frac{3}{5}\) จงหาค่าของ \(sin B\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหน่อยหนึ่งคือ \(sin^{2}A+cos^{2}A=1\)
ควรวาดรูปประกอบด้วยถ้าใครมองภาพไม่ออกครับ เริ่มทำกันต่อเลย
\begin{array}{lcl}sin^{2}A+cos^{2}A&=&1\\sin^{2}A&=&1-cos^{2}A\\sin A&=&\sqrt{1-cos^{2}A}\\sin A&=&\sqrt{1-(-\frac{3}{5})^{2}}\\sin A&=&\frac{4}{5}\end{array}
เอาไปแทนค่าในกฎของไซน์
\begin{array}{lcl}\frac{sin A}{a}&=&\frac{sinB}{b}\\\frac{4}{5\times 6}&=&\frac{sin B}{7}\\sin B&=&\frac{14}{15}\end{array}
นี่คือการใช้กฎของไซน์ครับคล้ายๆกฎของกฎของโคไซน์ อย่างไรก็ลองอ่านดูครับไม่ยากครับ
6.กำหนดให้ \(ABC\) เป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมี \(A\hat{C}B=60^{\circ}\) ลากเส้นตรงจากจุด \(A\) ไปพบด้าน \(BC\) ที่จุด \(D\) โดยทำให้ \(B\hat{A}D=30^{\circ}\) ถ้าระยะ \(BD\) ยาว \(3\) หน่วย และระยะ \(AD\) ยาว \(2\) หน่วย แล้ว ระยะ \(CD\) ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
- \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
- \(\frac{7\sqrt{6}}{9}\)
- \(\frac{8\sqrt{6}}{9}\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดรูปครับเพื่อให้เห็นภาพชัดเจน สิ่งที่โจทย์ให้หาคือความยาวของ \(CD\) ผมกำหนดให้ยาว \(CD\) ยาว \(m\) แสดงว่าเรากำลังหาความยาวของ \(m\) นั่นเองคับ
ข้อนี้ต้องความรู้เรื่องของ กฎของไซน์ หรือ กฎของโคไซน์ แต่ผมขอใช้กฎของไซน์นะคับน่าจะง่ายกว่า
จากรูปที่เราวาดเราจะเห็นว่า \(x^{\circ}+y^{\circ}=90^{\circ}\)
จากกฎของไซน์จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{\sin x}{m}&=&\frac{\sin 60^{\circ}}{2}\\\frac{\sin x}{m}&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{2}\\m&=&\frac{4\sin x}{\sqrt{3}}\\m&=&\frac{4\sqrt{3}\sin x}{3}\quad \cdots (1)\end{array}
เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อน ต่อไปเราก็ต้องไปหาค่าของ \(\sin x\) กันคับ
เราจะเห็นค่าของ \(\sin x\) โดยกฎของไซน์ ดูจากรูปนะคับ
\begin{array}{lcl}\frac{\sin y}{2}&=&\frac{\sin 30^{\circ}}{3}\\\frac{\sin y}{2}&=&\frac{1}{6}\\\sin y&=&\frac{1}{3}\\from\quad x^{\circ}+y^{\circ}=90^{\circ}\\so\quad y^{\circ}=90^{\circ}-x^{\circ}\\then\\\sin(90^{\circ}-x)&=&\frac{1}{3}\\\cos x&=&\frac{1}{3}\end{array}
วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จากรูปจะได้ \(\sin x=\frac{2\sqrt{2}}{3}\) เอาค่า \(\sin x\) ที่ได้นี้ไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{4\sqrt{3}\sin x}{3}\\m&=&\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}\\m&=&\frac{8\sqrt{6}}{9}\quad\underline{Ans}\end{array}
สนับสนุนเว็บไซต์