ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก

Details: Written by Administrator; Parent Category: ความรู้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์; Category: ความรู้คณิตศาสตร์ม.5; Last Updated: 17 June 2021; Hits: 34872

ในการหาค่าเฉลี่ย เราสามารถ ถ่วงน้ำหนัก ให้กับข้อมูลที่นำมาหาค่าเฉลี่ยได้ด้วย ในกรณีที่ข้อมูลแต่ละตัวมีความสำคัญไม่เท่ากัน เราสามารถกำหนดค่าถ่วงน้ำหนัก(w)ให้กับข้อมูลแต่ละตัว ซึ่งจะทำให้ค่าเฉลี่ยเอนไปตามข้อมูลที่สำคัญมากกว่าข้อมูลที่ไม่สำคัญ ที่เห็นได้ชัดก็คือการคิดเกรดเฉลี่ย จะเห็นว่า แต่ละวิชาจะมีหน่วยกิตที่แตกต่างกันค่าหน่วยกิตก็คือค่าถ่วงน้ำหนักนั่นเอง ยิ่งหน่วยกิตมากวิชานั้นจะยิ่งสำคัญ เพราะถ้าหน่วยกิตมากแล้วเราได้เกรด 4 วิชานั้น เกรดเราจะพุ่งสูงขึ้น แต่ถ้าหน่วยกิตมากแต่เราได้เกรดวิชานั้นน้อย เวลาคิดเกรดเฉลี่ย เกรดก็เฉลี่ยก็จะถูกตึงต่ำลงครับ

สรุปก็คือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก เอาไว้คิดค่าเฉลี่ยในกรณีที่ข้อมูลที่เรานำมาคิดค่าเฉลี่ยมีความสำคัญไม่เท่ากัน เช่น การ คิดเกรดเฉลี่ย ต้องคิดแบบค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก มาดูตัวอย่างกันเลยครับ

แบบฝึกหัดค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัง

1. จากตารางจงหาค่าเฉลี่ยแบบไม่ถ่วงน้ำหนัก และแบบถ่วงน้ำหนักด้วยหน่วยกิต

	คณิตศาสตร์	วิทยาศาสตร์	ภาษาไทย	ภาษาฝรั่งเศส	สุขศึกษา
หน่วยกิต	2.5	2	2	1	0.5
เกรด	4	3	3	1	2

วิธีทำ

ถ้าเราคิดเกรดเฉลี่ยแบบไม่ถ่วงน้ำหนักก็จะได้ \(=\frac{4+3+3+1+2}{5}=\frac{13}{5}=2.6\)

แต่ถ้าเราหาค่าเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนักโดยใช้หน่วยกิตเป็นค่าถ่วงน้ำหนักก็จะได้

เกรดเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนัก \(=\frac{(4\times 2.5)+(3\times 2)+(3\times 2)+(1\times 1)+(2\times 0.5)}{2.5+2+2+1+0.5}=\frac{24}{8}=3\)

จะสังเกตเห็นว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักค่าของมันนี้จะเองไปทางวิชาที่มีหน่วยกิตมากคือ พวก คณิต วิทยาศาสตร์ ไทย

ฉะนั้นแล้ว ถ้าเขียนเป็นสูตรในการหาค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักคือ

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก \(=\frac{\sum w_{i}x_{i}}{\sum w_{i}}\)

เมื่อ

\(\sum w_{i}x_{i}\) คือ ผลคูณของหน่วยกิตกับข้อมูลแล้วเอาแต่ละตัวที่คูณกันนั้นมาบวกกัน

\(\sum w_{i}\) คือผลรวมของค่าถ่วงน้ำหนัก อย่างเช่นตัวอย่างข้างบน ก็ค่าถ่วงน้ำหนักคือหน่วยกิตนั่นเอง

มาทำแบบฝึกหัดต่อดีกว่าครับ

2. บริษัทแห่งหนึ่งมียอดขายในแต่ละไตรมาสของปี 2557 เป็นดังนี้

17 21 19 23 (หน่วย:ล้านบาท)

การพยากรณ์ยอดขายในไตรมาสถัดไปจะใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก ถ้าบริษัทถ่วงน้ำหนักข้อมูลด้วย 1,1,1 และ 3 ตามลำดับแล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักของข้อมูลชุดนี้เท่ากับกี่ล้านบาท(o-net 59/27)

วิธีทำ ง่ายครับข้อนี้ทำเลยนะครับ

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก \(=\frac{(17\times 1)+(21\times 1)+(19\times 1)+(23\times 3)}{1+1+1+3}=21\) ล้านบาท

3. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนคนหนึ่งซึ่งมีการสอบ 3 ครั้ง เป็นการสอบย่อย 2 ครั้ง และสอบปลายภาคอีก 1 ครั้ง ปรากฎว่าจากคะแนนเต็ม 100 คะแนน คะแนนที่นักเรียนสอบได้จากการสอบย่อย 2 ครั้งเป็น 74 และ 80 คะแนน และคะแนนที่สอบได้ตอนปลายภาคคือ 62 คะแนน ถ้าครูผู้สอนรายนี้คิดคะแนนเต็มจากการสอบปลายภาคจำนวน 70 คะแนน และคะแนนสอบย่อยแต่ละครั้ง ครั้งละ 15 คะแนน จงหาคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนคนนั้น

วิธีทำ ข้อนี้การหาค่าเฉลี่ยต้องหาแบบค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักครับ เพราะความสำคัญของที่เต็มที่จะเก็บมีความสำคัญไม่เท่ากัน กล่าวคือ

ค่าสังเกตมี 3 ค่า คือ \(x_{1}=74,\quad x_{2}=80,\quad x_{3}=62\)

ความสำคัญของคะแนนสอบย่อยหรือค่าถ่วงน้ำหนัก-ของคะแนนสอบย่อยคือ \(w_{1}=w_{2}=15\)

ความสำคัญของคะแนนสอบปลายภาคหรือค่าถ่วงน้ำหนักของคะแนนสอบปลายภาคคือ \(w_{3}=70\)

ดั้งนั้นคะแนนเฉลี่ยของวิชาคณิตศาสตร์ต้องคิดแบบค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}w_{1}}\\&=&\frac{15(74)+15(80)+70(62)}{15+15+70}\\&=&\frac{6650}{100}\\&=&66.50\end{array}

4. ถ้าอุณหภูมิเมื่อเวลา 12.00 น. ของแต่ละวันในสัปดาห์หนึ่งเป็น 33,35,32,37,34,36 และ 31 องศาเซลเซียส ตามลำดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอุณหภูมิที่มีหน่วยเป็นองศาฟาเรนไฮต์

วิธีทำ ให้ \(C\) เป็นตัวแปรแทนอุณหภูมิที่มีหน่วยเป็นองศาเซลเซียสและ \(F\) เป็นตัวแปรอุณหภูมิที่มีหน่วยเป็นองศาฟาเรนไฮต์ ความสัมพันธ์ระหว่าง \(C\) และ \(F\) คือ

\[\frac{C}{100}=\frac{F-32}{180}\]

หรือ

\[F=\frac{9}{5}C+32\]

เราหาค่าเฉลี่ยของอุณหภูมิที่มีหน่วยเป็นองศาเซลเซียสก่อนจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}C&=&\frac{33+35+32+37+34+36+31}{7}\\&=&34\end{array}

ดังนั้นจะได้อุณหภูมิที่มีหน่วยเป็นองศาฟาเรนต์ไฮต์คือ

\begin{array}{lcl}F&=&\frac{9}{5}C+32\\&=&\frac{9}{5}(34)+32\\&=&93.2\end{array}

นั่นคือ อุณหภูมิเฉลี่ยเมื่อเวลา 12.00 ของสัปดาห์นี้เป็น 93.2 องศาฟาเรนไฮต์

5.ในการสอบวิชาสถิติ 3 ครั้ง กำหนดให้น้ำหนักในการสอบเป็น 20% ,30% และ 50% ตามลำดับ นักศึกษาคนหนึ่งสอบวิชาสถิติได้คะแนนแต่ละครั้งเป็น 84 ,68 และ 75 ตามลำดับ จงหาคะแนนเฉลี่ยในการสอบวิชาสถิติของนักศึกษาคนนี้

วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่ามีกำหนดนัำหนักของคะแนนสอบ ดังนั้นในการหาค่าเฉลี่ย ต้องหาแบบถ่วงน้ำหนักครับผม เริ่มทำกันเลยไม่น่ายากทุกคนน่าจะมองเห็นวิธีการทำแล้วใช่ไหม เริ่มเลยหาคำตอบเลย

\begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{(84\times 20)+(68\times 30)+(75\times 50)}{20+30+50}\\&=&\frac{1680+2040+3750}{100}\\&=&\frac{7470}{100}\\&=&74.70\end{array}

6. ในการสอบเข้าศึกษาต่อของนักเรียนคนหนึ่งซึ่งมีคะแนนการทดสอบและความสำคัญของคะแนนทั่งหมด 5 วิชา จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน คะแนนที่สอบได้วิชาภาษาไทย สังคมศึกษา ภาษาอังกฤษ คณิตศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ คือ 84, 82, 44, 76 และ 72 ตามลำดับ ควมสำคัญของคะแนนของ 5 รายวิชา คือ 15,15,20,25 และ 25 ตามลำดับ จงหาคะแนนเฉลี่ยของการสอบเข้าศึกษาต่อ

วิธีทำ เนื่องจากข้อนี้จะเห็นว่าการให้ความสำคัญของแต่ละวิชาไม่เท่ากันก็คือมีการถ่วงน้ำหนักเกิดขึ้นนั่นเอง ดังนั้นในการหาค่าเฉลี่ยจึงต้องหาค่าเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนักครับ ซึ่งจากโจทย์จะเห็นได้ว่า

วิชาภาษาไทยสอบได้ 84 คะแนน ค่าถ่วงน้ำหนักคือ 15

วิชาสังคมศีกษาได้ 82 คะแนน ค่าถ่วงน้ำหนักคือ 15

วิชาภาษาอังกฤษได้ 44 คะแนน ค่าถ่วงน้ำหนักคือ 20

วิชาคณิตศาสตร์ได้ 76 คะแนน ค่าถ่วงน้ำหนัก 25

วิชาวิทยาศาสตร์ได้ ึ72 คะแนน ค่าถ่างน้ำหนัก 25

ดังนั้นคะแนนเฉลี่ยคะแนนสอบเข้าศึกษาต่อ ต้องคิดแบบถ่วงน้ำหนักครับจะได้

\begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{(84\times 15)+(82\times 15)+(44\times 20)+(76\times 25)}{15+20+25+25}\\&=&70.70\end{array}

นั่นคือคะแนนเฉลี่ยในการสอบเข้าศึกษาต่อเท่ากับ 70.70 คะแนน

7. ในการวัดผลประเมินผลการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 ของนักเรียนคนหนึ่งซึ่งมีคะแนนและความสำคัญของคะแนนทั้งหมด 4 ส่วน จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน ดังข้อมูลในตาราง จงหาคะแนนเฉลี่ยของการวัดผลประเมินผลการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 ของนักเรียนคนนี้

ส่วนที่	รายการ	คะแนนที่ได้	ความสำคัญของคะแนน
1	รายงาน	80	10
2	โครงงาน	86	20
3	ใบงานและแบบฝึกหัด	92	30
4	ทดสอบ	48	40
	รวม		100