• concept ความน่าจะเป็น ม.3

    ก่อนที่เราจะทำอะไร ก่อนที่เราจะเรียนรู้อะไรสักอย่างหนึ่งเราต้องมีการศึกษา ทำความรู้จักกับสิ่งที่เราจะ

    เรียนว่ามีส่วนประกอบอะไรบ้าง หลักๆที่เราต้องรู้มีอะไรบ้าง มีอะไรบ้างที่เราจำเป็นต้องรู้ ดังนั้นวันนี้เรามาทำความรู้จักกับความหมาย และองค์ประกอบอื่นๆของความน่าจะเป็นกันว่า มีอะไรบ้าง......... ก่อนที่เราจะลงลึกหัดทำโจทย์ปัญหา

  • เฉลย o-net ม.6 เรื่องความน่าจะเป็น

    1. สโมสรแห่งหนึ่งมีสมาชิกเป็นชาย \(m\) คน เป็นหญิง \(w\) คน ต่อมามีสมาชิกเพิ่มขึ้น โดยเป็นชายอีก 25 คน และเป็นหญิงอีก 35 คน ถ้าสุ่มสมาชิกมาหนึ่งคนจากทั้งหมด แล้วความน่าจะเป็นที่จะได้สมาชิกเป็นชาย เท่ากับเท่าใด (o-net 59 ข้อ 31)

    1. \(\frac{m}{w}\)
    2. \(\frac{m}{w+m}\)
    3. \(\frac{m+25}{w+35}\)
    4. \(\frac{m+25}{m+w+35}\)
    5. \(\frac{m+25}{m+w+60}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยาก ใครที่ต้องการศึกษาเรื่องความน่าจะเป็นเพิ่มเติมให้ไปอ่านตามลิงก์นี้คับ

    ก่อนอื่นเลยไปหาจำนวนคนทั้งหมดก่อนคือจำนวนชายและหญิงรวมกัน ก็คือ

    \(m+w+25+35=m+w+60\)

    ต่อไปเขาถามหาความน่าจะเป็นที่สุ่มสมาชิกมาหนึ่งคนแล้วได้เป็นชาย แสดงว่าเราต้องรู้จำนวนสมาชิกที่เป็นผู้ชาย ซึ่งก็คือ

    \(m+25\)

    ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สุ่มสมาชิกมาหนึ่งคนแล้วได้เป็นผู้ชาย เท่ากับ

    \(P(E)=\frac{m+25}{m+w+60}\)


    2. ครอบครัวหนึ่งมีพ่อ แม่ และลูก 2 คน ไปเที่ยวสวนสนุกแห่งหนึ่ง ถ้าจัดคนทั้งสี่ถ่ายรูปกับรูปปั้นโดราเอมอน โดยยืนเรียงกันให้โดราเอมอนอยู่ตรงกลาง และลูกทั้งสองคนไม่ยืนติดกัน จะมีจำนวนวิธีจัดได้กี่วิธี (o-net 57 ข้อ 26)

    1. 8
    2. 10
    3. 12
    4. 16
    5. 18

    วิธีทำ

    ข้อนี้ผมจะมีรูปให้ดูประกอบ  โดราเอมอนจะยืนอยู่ตรงกลางเสมอ ดังนั้น

    ลูกคนที่ 1 เลือกที่ยืนถ่ายรูปได้ 4 วิธี

    ลูกคนที่ 2 เลือกที่ยืนถ่ายรูปได้แค่ 2 วิธี กล่าวคือ ถ้าลูกคนที่หนึ่งยืนทางด้านซ้ายโดราเอมอน ลูกคนที่ 2 ก็ต้องมายืนทางขวาตรงไหนก็ได้มีให้เลือก 2 ที่

    พ่อ เลือกที่ยืนถ่ายรูปได้ 2 วิธี กล่าวคือ ลูกสองคนยืนไปแล้ว 2 ที่ดังนั้นเหลือให้พ่อเลือกยืน  2 ที่

    แม่ เลือกที่ยืนถ่ายรูปได้ 1 วิธี

    ดังนั้น  จำนวนวิธีที่จัดได้คือ \(4\times 2\times 2\times 1=16\) วิธี


    3. กนกมีถุงเท้าสีขาว 1 คู่ สีน้ำเงิน 2 คู่ และสีดำ 3 คู่ เขาใส่ถุงเท้าไว้ในลิ้นชักโดย ไม่ได้ จัดแยกเป็นคู่ ถ้าเขาสุ่มหยิบถุงเท้าจากลิ้นชักมา 2 ข้างแล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้ถุงเท้าสีเดียวกันมีค่าเท่ากับข้อใด (o-net 57 ข้อ 27)

    1. \(\frac{1}{66}\)
    2. \(\frac{1}{22}\)
    3. \(\frac{1}{11}\)
    4. \(\frac{1}{6}\)
    5. \(\frac{1}{3}\)

    วิธีทำ ข้อนี้อยากให้ไปอ่านทบทวนเรื่องนี้ก่อนคับ การจัดหมู่(Combination) 

    จากโจทย์เราจะได้ว่ามีถุงเท้าทั้งหมด 10 ข้าง และเราหยิบถุงเท้าจากลิ้นชักมาครั้งละ 2 ข้าง  ดังนั้นจะได้จำนวนวิธีหยิบทั้งหมดคือ

    \(C_{12,2}=\frac{12!}{(12-2)!2!}=\frac{12!}{10!2!}=\frac{12\times 11}{2}=66\)

    จำนวนวิธีหยิบถุงเท้ามา 2 ข้างแล้วได้เป็นสีขาวทั้งคู่ คือ

    \(C_{2,2}=1\)

    จำนวนวิธีหยิบถุงเท้ามา 2 ข้างแล้วได้เป็นสีน้ำเงินทั้งคู่ คือ

    \(C_{4,2}=\frac{4!}{(4-2)!2!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4\times 3}{2}=6\)

    จำนวนวิธีหยิบถุงเท้ามา 2 ข้างแล้วได้เป็นสีดำทั้งคู่ คือ

    \(C_{6,2}=\frac{6!}{(6-2)!2!}=\frac{6!}{4!2!}=\frac{6\times 5}{2}=15\)

    ดังนั้นความน่าจะเป็นหยิบถุงเท้ามา 2 ข้างแล้วได้สีเดียวกันคือ \(P(E)=\frac{1+6+15}{66}=\frac{22}{66}=\frac{1}{3}\)


    4. ตู้บรรจุลูกบอลสีเขียว สีเหลือง และสีแดง มีจำนวนลูกบอลเป็นอัตราส่วนดังนี้ สีเขียว : สีเหลือง เท่ากับ 4:7 และ สีเหลือง : สีแดง เท่ากับ 3:4 ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลมาหนึ่งลูกจากตู้นี้ แล้วความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกบอลสีเหลืองเท่ากับเท่าใด (o-net 58 ข้อ 28)

    1. \(\frac{1}{3}\)
    2. \(\frac{2}{5}\)
    3. \(\frac{5}{9}\)
    4. \(\frac{10}{13}\)
    5. \(\frac{21}{61}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องอัตราส่วน มาช่วยแต่ก็ไม่ได้ยากอะไร เริ่มทำกันเลย

    ขาว : เหลือง                         เหลือ : แดง

     4   :  7                                   3  :  4

    จากข้อมูลด้านบน เราต้องทำให้ลูกบอลสีเหลืองซึ่งตอนนี้คือ 7 กับ 3 ให้มันเท่ากันก่อนคือทำให้เป็น 21 (ค.ร.น 7 กับ 3 คือ 21) เริ่มทำเลย

              ขาว : เหลือง                                                         

    \( 4\times 3 =12 :  7\times 3=21\)   

           เหลือง : แดง                           

     \( 3 \times 7=21 :  4\times 7=28\)

    ตอนนี้เราได้จำนวนลูกบอลที่แท้จริงแล้วคือ

    ขาว : เหลือง                         เหลือ : แดง

     12   :  21                                  21  :  28

    นั่นคือ

    จำนวนลูกบอลทั้งหมดคือ \(12+21+28=61\)

    จำนวนลูกบอลสีเหลืองคือ \(21\)

    ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบมาหนึ่งลูกแล้วได้ลูกบอลสีเหลืองคือ \(P(E)=\frac{21}{61}\)


    5. ผลการสำรวจขนาดของเสื้อยืดสำหรับนักเรียนชั้น ม.6 จำนวน 250 คน เป็นดังนี้

    ขนาด จำนวนนักเรียน (คน)
    S 28
    M 96
    L 73
    XL 39
    XXL 14
    รวม 250

    ถ้าสุ่มเลือกนักเรียนกลุ่มนี้มา 1 คน ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะสวมเสื้อยืดขนาด \(M\) หรือ \(XL\) เท่ากับเท่าใด (o-net 58 ข้อ 38)

    วิธีทำ  ข้อนี้ถามหาความน่าจะเป็นของ 2 เหตุการณ์ ดังนั้นนำมาบวกกันเลยครับผม จึงได้ว่า

    \(P(E)=\frac{96}{250}+\frac{39}{250}=\frac{135}{250}=\frac{27}{50}=0.54\)


    6. ถ้าแต่ละวันในเดือนสิงหาคม มีความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้าหรือตอนเย็นเท่ากับ 0.86 ความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเย็นเท่ากับ 0.67  และความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกทั้งตอนเช้าและตอนเย็นเท่ากับ 0.35 แล้วความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกในตอนเช้ามีค่าเท่ากับเท่าใด (o-net 57 ข้อ 40)

    วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดภาพ เวนน์-ออยเลอร์ ช่วยนิดหน่อยจะได้ดูง่าย

    กำหนดให้ \(P(A)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้า ซึ่งเป็นสิ่งที่โจทย์ถามหา

    \(P(B)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเย็น เท่ากับ 0.67

    \(P(A\cap B)\) คือความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกทั้งตอนเช้าและตอนเย็น เท่ากับ 0.35

    \(P(A\cup B)\) คือความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้าหรือตอนเย็น เท่ากับ 0.86

    จะได้รูป เวนน์-ออยเลอร์ ดังนี้

    ซึ่งความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้า มีค่าเท่ากับ \(0.54\) ใช้แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ และบวก ลบ นิดหน่อย ก็หาคำตอบได้แล้ว

    หรือใครจะใช้สูตรตามที่เรียนมาในหนังสือคณิตศาสตร์ ม.5 ก็ได้คือ

    \begin{array}{lcl}P(A\cup B)&=&P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\0.86&=&P(A)+0.67-0.35\\0.86&=&P(A)+0.32\\P(A)&=&0.86-0.32\\P(A)&=&0.54\end{array}

    ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้า เท่ากับ \(0.54\)


    7. ในปี พ.ศ. 2557 ประเทศไทยมีความน่าจะเป็นที่จะประสบภาวะน้ำท่วมเท่ากับ \(\frac{3}{11}\) และความน่าจะเป็นที่จะประสบภัยแล้งเท่ากับ \(\frac{1}{3}\)  ถ้าความน่าจะเป็นที่จะประสบภาวะน้ำท่วมหรือภัยแล้งเท่ากับ \(\frac{6}{11}\) แล้วความน่าจะเป็นที่ประเทศไทยจะประสบทั้งภาวะน้ำท่วมและภัยแล้งในปี พ.ศ. 2557 เท่าก้บเท่าใด (o-net 56 ข้อ 28)

    1. \(\frac{1}{33}\)
    2. \(\frac{2}{33}\)
    3. \(\frac{1}{11}\)
    4. \(\frac{2}{11}\)
    5. \(\frac{3}{11}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ผมขอใช้สูตรตามที่เราเรียนในหนังสือเรียน สสวท. กันเลยนะคับผม

    กำหนดให้

    \(P(A)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะประสบภัยน้ำท่วม ซึ่งเท่ากับ \(\frac{3}{11}\)

    \(P(B)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะประสบภัยแล้ว ซึ่งเท่ากับ \(\frac{1}{3}\)

    \(P(A\cup B)\) คือความน่าจะเป็นที่จะประสบภัยน้ำท่วมหรือภัยแล้ง ซึ่งเท่ากับ \(\frac{6}{11}\)

    \(P(A\cap B)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะประสบทั้งภัยน้ำท่วมและภัยแล้ง

    จาสูตร \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}P(A\cup B)&=&P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\\frac{6}{11}&=&\frac{3}{11}+\frac{1}{3}-P(A\cap B)\\\frac{6}{11}&=&\frac{20}{33}-P(A\cap B)\\P(A\cap B)&=&\frac{20}{33}-\frac{6}{11}\\P(A\cap B)&=&\frac{2}{33}\quad\underline{Ans}\end{array}


    8.ทาสีเหรียญสามอัน ดังนี้

    เหรียญแรก ด้านหนึ่งทาสีขาว  อีกด้านหนึ่งทาสีแดง

    เหรียญที่สอง  ด้านหนึ่งทาสีฟ้า อีกด้านหนึ่งทาสีแดง

    เหรียญที่สาม ด้านหนึ่งทาสีฟ้า อีกด้านหนึ่งทาสีขาว

    ถ้าโยนเหรียญทั้งสามอันนี้พร้อมกัน แล้วความน่าจะเป็นที่เหรียญทั้งสามจะขึ้นหน้าเหรียญต่างสีกันทั้งหมดเท่ากับเท่าใด(o-net 59 ข้อ 40)

    วิธีทำ  ข้อนี้วาดแผนภาพต้นไม้ (tree-diagram) เลยครับ การวาดแผนภาพต้นไม้ เป็นอีกทักษะหนึ่งในการทำโจทย์ความน่าจะเป็นนะคับใครวาดไม่เป็นรีบไปศึกษาเลยครับ จะได้แผนภาพต้นไม้ดังนี้

     โดยผมให้   ข  คือ ด้านเหรียญสีขาว , ฟ คือ ด้านเหรียญสีฟ้า , ด คือ ด้านเหรียญสีแดง 

    จากแผนภาพต้นไม้ จะเห็นว่าเมื่อเราโยนเหรียญสามอันพร้อมกัน ก็จะเกิดเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 8 เหตุการณ์ เช่น ขฟฟ คือ เหรียญแรกขึ้นหน้าสีขาว เหรียญสองและสามขี้นหน้าสีฟ้า ดังนั้น \(n(S)=8\)

    แต่เหตุการณ์ที่เราสนใจคือ เหรียญขึ้นหน้าสีต่างกัน ดังนั้นก็จะมี ขดฟ , ดฟข นั่น \(n(E)=2\)

    ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เหรียญทั้งสามจะขี้นหน้าเหรียญสีต่างกันคือ \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0.25\)


    9. ถ้าการที่ครอบครัวจะมีลูกชายหรือลูกสาวมีโอกาสเท่าๆกันแล้ว จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่ครอบครัวที่มีลูก 4 คน มีลูกคนที่สองเป็นหญิง และลูกคนที่สี่เป็นชาย เท่าก้บเท่าใด (o-net 59 ข้อ 32)

    1. 4
    2. 6
    3. 8
    4. 10
    5. 16

    วิธีทำ ข้อนี้วาดแผนภาพต้นไม้ครับ จะง่ายมากๆ  

    ผมกำหนดให้

    ช คือ ลูกชาย

    ญ คือ ลูกสาว

    จะได้แผนภาพต้นไม้ ดังนี้

    จากแผนภาพจะเห็นว่าเหตุการณ์ที่จะมีลูกคนที่สองเป็นหญิง  และคนที่สี่เป็น ชาย มีทั้งหมด 4 เหตุการณ์คือ ชญชช , ชญญช , ญญชช,ญญญช ข้อนี้จึงตอบ ตัวเลือกที่ 1.  แต่ถ้าเขาถามหาความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองเป็น หญิง และลูกคนที่สี่ เป็น ชาย ก็ตอบ \(\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0.25\)


    10. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอล 10 ลูก เป็นสีแดง 1 ลูก สีน้ำเงิน 2 ลูก และสีขาว 2 ลูก นอกนั้นเป็นสีอื่นๆ ความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกล่องใบนี้ให้ได้สีแดง 1 ลูก สีน้ำเงิน 1 ลูก และไม่ได้สีขาว เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 54 ข้อ 18)

    \(\frac{1}{12}\)

    \(\frac{1}{10}\)

    \(\frac{7}{60}\)

    \(\frac{2}{15}\)

    วิธีทำ  ดูที่โจทย์ก่อนว่าบอกอะไรมาบ้าง

    • มีลูกบอลสีแดง 1 ลูก
    • สีน้ำเงิน 2 ลูก
    • สีขาว 2 ลูก
    • สีอื่นอีก 5 ลูก

    รวมกันมีลูกบอลทั้งหมด 10 ลูก

    จำนวนวิธีในการหยิบลูกบอล 3 ลูกคือ \(C_{10,3}=\frac{10!}{(10-3)!3!}=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2}=120\)

    หยิบลูกบอล 3 ลูกไม่ได้สีขาวเลย นั่นหมายความว่าต้องได้สีแดง 1 ลูก สีน้ำเงิน 1 ลูก และสีอื่นอีก 1 ลูก ดังนั้นจำนวนวิธีในการหยิบลูกบอล 3 ลูกแล้วไม่ได้สีขาวเลยคือ

    \(C_{1,1}\times C_{2,1}\times C_{5,1}=1\times 2\times 5=10\) วิธี

    ดังนั้นความน่าจะเป็นที่หยิบลูกบอล 3 ลูกแล้วไม่ได้สีขาวเลยคือ \(\frac{10}{120}=\frac{1}{12}\)


    11. จากการสำรวจนักเรียนห้องหนึ่ง จำนวน 30 คน พบว่า มีนักเรียนไม่ชอบรับประทานปลา 12 คน และชอบรับประทานปลาหรือกุ้ง 23 คน ถ้าสุ่มนักเรียนมา 1 คน ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่ชอบรับประทานกุ้งเพียงอย่างเดียวมีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. \(\frac{1}{6}\)
    2. \(\frac{1}{5}\)   
    3. \(\frac{2}{5}\)
    4. \(\frac{3}{5}\)

    วิธีทำ ข้อนี้วาดรูปดูครับ ก็คือวาดแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ นั่นแหละครับ

    เขาบอกว่ามีนักเรียนไม่ชอบรับประทานปลา 12 คน ก็แสดงว่านักเรียนคนนั้นอาจจะชอบกินกุ้ง หรือ ไม่ชอบกินกุ้งก็ได้ก็จะได้แผนภาพดังนี้

    พื้นที่สีส้มที่ผมระบายในรูปข้างบนคือมีจำนวนทั้งหมด 12 คนนะคับ เข้าใจไหมคือพวกไม่ชอบกินปลามีจำนวน 12 คน

    มีนักเรียนทั้งหมด  30 คน ผมเอา 30 คนนี้ไปลบออกจาก 12 คือลบออกจากพวกที่ไม่ชอบกินปลาจะเหลือ 18 คน นั่นหมายความว่านักเรียนชอบกินปลา 18 คน

    แต่เขาบอกว่าชอบกินปลาหรือกุ้งมี 23 คน แต่ตอนนี้เรารู้ว่าชอบกินปลา 18 คนแล้วแสดงว่าชอบกินกุ้งอย่างเดียว 5 คน (18+5=23)   

    นั่นก็คือ สุ่มนักเรียนมา 1 คนความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนั้นจะชอบกินกุ้งเพียงอย่างเดียวเท่ากับ \(\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\)       

  • เฉลยคณิตวิชาสามัญความน่าจะเป็น

    1. ร้านขายไอศกรีมแห่งหนึ่ง มีไอศกรีม 10 รส โดยมีรสกะทิเป็น 1 ใน 10 รส ในวันเด็ก ร้านนี้ได้แจกไอศรีมฟรีให้แก่ เด็กคนละ 1 ถ้วย  ถ้วยละ 2 รส ถ้าสุ่มเด็กที่ได้รับแจกไอศกรีมมาหนึ่งคน ความน่าจะเป็นที่ถ้วยไอศกรีมของเด็กคนนี้ไม่มีรสกะทิเท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ ตอนนี้ให้เราจินตนาการว่า เรามี ไอศกรีม 10 รศ คือ A,B,C,D,E,F,G,H,I,J   ผมให้ A เป็นรสกะทินะ ฉะนั้นในไอศกรีมหนึ่งถ้วยก็อาจจะประกอบไปด้วยรส AB อยู่ด้วยกัน หรือว่า BC อยู่ด้วยกัน ดังนั้นจะมีได้ทั้งหมด 

    \[C_{10,2}=\frac{10!}{8!2!}=45\]

    นั่นก็คือจะมีไอศกรีมที่เป็นไปได้ทั้งหมด 45 ถ้วย

    ต่อไปเราจะเห็นว่าจะมีไอศกรีมรสกะทิทั้งหมด 9 ถ้วย ก็คือ AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH,AI,AJ 

    นั่นก็คือความน่าจะเป็นของถ้วยไอศกรีมของเด็กจะมีรสกะทิด้วยคือ \(\frac{9}{45}=\frac{1}{5}\)

    ดังนั้นความน่าจะเป็นของถ้วยไอศกรีมของเดก็จะไม่มีรสกะทิคือ \(\frac{4}{5}=0.8\quad\underline{Ans}\)


    2. จำนวนนับที่มีค่ามากกว่าเจ็ดแสนที่ได้จา่กการนำเลขโดด \( 0,7,7,8,8,9 \) มาจัดเรียง มีจำนวนทั้งหมดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. 120
    2. 150
    3. 250
    4. 350
    5. 550

    วิธีทำ การทำข้อนี้เป็นการสร้างเลขหกหลักที่มีค่ามากกว่าเจ็ดแสนนั่นเอง เช่น 

    779880,988770,807898  พวกนี้มากกว่า เจ็ดแสนแน่นอน

    077889,088977,089877  พวกนี้น้อยกว่า เจ็ดแสนเพราะหลักแสนเป็นเลขศูนย์  

    ดังนั้นแนวคิดข้อนี้ก็คือ หาจำนวนวิธีทั้งหมดในการสร้างเลขหกหลักจากเลขโดดที่เขากำหนดมาให้  แล้วลบด้วยกรณีที่หลักแสนเป็นเลข 0

    ซึ่งจะต้องใช้ความรู้เรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมดหรือก็คือมีบางสิ่งซ้ำกันนั่นเอง เอาละเรามาเรียนกันเลย

    ถ้าเราเอาเลขโดย 0,7,7,8,8,9 มาสร้างเลขหกหลักก็จะได้จำนวนเลขทั้งหมด

    \[\frac{6!}{2!2!}\] 

    ในกรณีที่หลักแสนเป็นเลข 0  ก็คือนำเลขโดด 7,7,8,8,9 มาสร้างเป็นเลขห้าหลักจะได้จำนวนเลขทั้งหมด

    \[\frac{5!}{2!2!}\] 

    แล้วก็เอามาลบกันก็จะได้คำตอบคับ

    \(\frac{6!}{2!2!}-\frac{5!}{2!2!}=150\) 


    3. \(\displaystyle\sum_{r=0}^{6}(-1)^{r}\binom{6}{r}7^{6-r}5^{r}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ ข้อนี้ลองกระจายดูก่อนคับ 

    เอาที่โจทย์ให้มาไปกระจายดูเลย\(\displaystyle\sum_{r=0}^{6}(-1)^{r}\binom{6}{r}7^{6-r}5^{r}\)

    จะได้แบบนี้

    \(=(-1)^{0}\binom{6}{0}7^{6-0}5^{0}+(-1)^{1}\binom{6}{1}7^{6-1}5^{1}+(-1)^{2}\binom{6}{2}7^{6-2}5^{2}+\cdots +(-1)^{6}\binom{6}{6}7^{6-6}5^{6}\)

    \(=\binom{6}{0}7^{6}-\binom{6}{1}7^{5}5^{1}+\binom{6}{2}7^{4}5^{2}-\binom{6}{3}7^{3}5^{3}+\cdots +\binom{6}{6}5^{6}\)

    ซึ่งมันไปตรงกับสูตรทฤษฎีบททวินาม ไปอ่านดูตามลิงก์นะคับ นั่นก็คือ

    \(\binom{6}{0}7^{6}-\binom{6}{1}7^{5}5^{1}+\binom{6}{2}7^{4}5^{2}-\binom{6}{3}7^{3}5^{3}+\cdots +\binom{6}{6}5^{6}=(7-5)^{6}=2^{6}=64\)


    4. กำหนดให้ \(S=\{1,2,3,\cdots ,10\}\) และ \(M=\{(x,y)|x,y\in S\}\) ถ้าสุ่มหยิบ \((x,y)\) จาก \(M\) มาหนึ่งตัวแล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้ \((x,y)\) ซึ่ง \(x^{2}+y^{2}<25\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. \(\frac{13}{100}\)
    2. \(\frac{15}{100}\)
    3. \(\frac{17}{100}\)
    4. \(\frac{19}{100}\)
    5. \(\frac{21}{100}\)

    วิธีทำ ข้อนี้เราหาสมาชิกทั้งหมดในเซต \(M\) จะได้เท่ากับ \(10\times 10=100\) ตัว หน้าตาคร่าวของเซต \(M\) ก็จะประมาณนี้

    \(M=\{(1,1),(1,2),(1,3),\cdots ,(10,10)\}\) ต่อไปเราก็ไปหาว่าคู่ไหนบ้างที่ยกกำลังสองแล้วรวมกันมีค่าน้อยกว่า 25 ซึ่งก็จะมี

    \((1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2)\) ก็คือคู่อันดับพวกนี้ ยกกำลังสองแล้วบวกกันได้ค่าน้อยกว่า 25 

    อย่างเช่น \((3,2)\to 3^{2}+2^{2}=9+4=13<25\) ซึ่งนับแล้วแบบนี้มีทั้งหมด 13 ตัว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบสมาชิกใน \(M\) แล้วได้คู่อันดับที่ยกกำลังสองแล้วบวกกันมีค่าน้อยกว่า 25 เท่ากับ \(\frac{13}{100}\) นั่นเอง


    5.นักเรียนห้องหนึ่งมีจำนวน 30 คน สอบวิชาคณิตศาสตร์ได้เกรด A   5 คน ได้เกรดB  15 คน และได้เกรดC  10 คน ถ้าสุ่มนักเรียน 3 คน จากห้องนี้แล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนอย่างน้อย 1 คนที่ได้เกรด A เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. \(\frac{44}{203}\)
    2. \(\frac{55}{203}\)
    3. \(\frac{66}{203}\)
    4. \(\frac{77}{203}\)
    5. \(\frac{88}{203}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ถ้าทำแบบตรงๆ ยาก ดังนั้นเราก็แบบนี้คือ เอา 1 ลบออกด้วยความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียน 3 คนแล้วไม่ใครได้เกรด A สักคนเลย

     

    มีนักเรียนอยู่ 30 คน จำนวนวิธีในการสุ่มนักเรียนมา 3 คนเท่ากับ \(\binom{30}{3}\) วิธี

    มีนักเรียนอยู่ 25 คนที่ไม่ได้เกรดA จำนวนวิธีสุ่มนักเรียนมา 3 คนซึ่งสามคนนั้นไม่ได้เกรดAเลยเท่ากับ \(\binom{25}{3}\) วิธี

    ดังนั้น

    ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 3 คนแล้วสามคนนั้นไม่ได้เกรดA เลยเท่ากับ \(\frac{\binom{25}{3}}{\binom{30}{3}}=\frac{25\times 24\times 23}{30\times 29\times 28}=\frac{115}{203}\)

    ตอนนี้ใกล้ได้คำตอบแล้ว

    ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 3 คนแล้วได้เกรด A อย่างน้อย 1 คน จะเท่ากับ 1 ลบออกด้วย ความน่าจะเป็นจะที่สุ่มนักเรียนมา 3 คนแล้วไม่ได้เกรด A เลยก็คือ

    \(1-\frac{115}{203}=\frac{88}{203}\quad\underline{Ans}\)


    6.ต้องการสร้างจำนวนที่มี 7 หลัก จากเลขโดด 7 ตัว คือ 1,2,3,3,4,5,6 โดยให้เลข 3 สองตัวติดกัน จะสร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน

    วิธีทำ  ข้อนี้หลักการทำ คือ เอาเลข 3 ที่มีสองตัวมามัดรวมกันเป็นหนึ่งมัด จะได้ว่ามีตัวเลขทั้งหมด 6 ตัว ก็คือนำตัวเลข 6 ตัวนี้มาการเรียงสับเปลี่ยนกันเพื่อให้ได้เลข 7 หลัก ซึงจะทำได้ทั้งหมด \(6!=720\) วิธี นั่นก็คือจะสร้างเลข 7 หลักที่มีเลข 3 สองตัวติดกันทั้งหมด \(720\) จำนวน


    7. ในการกระจาย \(\left(x^{2}+\frac{2}{x^{3}})^{10}\right)\) โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม จะได้ว่าพจน์ค่าคงตัวมีค่าเท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ   เราก็ใช้ทฤษฎีบททวินามกระจายพจน์นี้  พอเรากระจายไปเรื่อยๆ เราก็จะเจอพจน์ๆหนึ่งที่มีรูปแบบ แบบนี้

    \(\binom{10}{r}(x^{2})^{10-r}(2x^{-3})^{r}\) 

    ต่อไปเราจะเห็นว่าการที่ไอ้ก้อนนี้ \(\binom{10}{r}(x^{2})^{10-r}(2x^{-3})^{r}\) มันจะเป็นค่าคงตัว เลขชี้กำลังของ \(x\) มันต้องเป็น \(0\) ถูกต้องไหม

    เราเอาไอก้อนนี้   \(\binom{10}{r}(x^{2})^{10-r}(2x^{-3})^{r}\) มาจัดรูปนิดหน่อย จะได้

    \begin{array}{lcl}\binom{10}{r}(x^{2})^{10-r}(2x^{-3})^{r}&=&\binom{10}{r}x^{(20-2r)}2^{r}x^{-3r}\\&=&\binom{10}{r}x^{(20-5r)}2^{r}\end{array}

    ต่อไปเราจะได้ว่า เลขชี้กำลังของ \(x\) จะเป็น \(0\) ก็ต่อเมื่อ  \(20-5r=0\) นั่นก็คือถ้าเราแก้สมการจะได้ค่า \(r=4\)  ดังนั้นจะได้ว่า \(r=4\) จึงจะทำให้พจน์ที่ได้เป็นค่าคงตัว เราก็หาต่อเลยว่าค่าคงตัวที่ว่านั้นคือเลขอะไร เริ่มเลย

    \begin{array}{lcl}\binom{10}{r}x^{20-5r}2^{r}&=&\binom{10}{4}x^{20-(5)(4)}2^{4}\\&=&210\cdot x^{0}\cdot 16\\&=&210\times 16\\&=&3360\end{array}

    พจน์ค่าคงตัวที่ว่านั้นก็คือเลขนี้ครับ \(3360\) นั่นเอง

  • โจทย์ความน่าจะเป็น ม.5

    ความน่าจะเป็น เป็นเรื่องที่ค่อนข้างยาก แต่ถ้าเราหัดทำโจทย์บ่อยๆเราก็จะเข้าใจและทำได้ ไม่ยากนัก วันนี้

    ผมจะรวบรวมโจทย์ความน่าจะเป็นที่ไม่ยากไป ไม่ง่ายไปมายกตัวอย่างให้ผู้สนใจลองอ่านทำความเข้าใจกันดูคับ

    1. มีคน 10 คน ซึ่งใน 10 คนนี้ มีปารมีและภูผารวมอยู่ด้วย ถ้าจัดคน 10 คน นั่งเป็นวงกลม จงหาความน่าจะเป็นที่ปารมีและภูผาจะนั่งติดกัน

    วิธีทำ  ทบทวนสูตรในการหาค่าความน่าจะเป็นก่อน   \(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}\)

    n(S)  คือ จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดคน 10 คนนั่งเป็นวงกลม

    n(E)  คือ จำนวนวิธีจัดคนนั่งเป็นวงกลมโดยที่ปารมีและภูผาจะต้องนั่งติดกัน

    ดังนั้น

    n(S)=(10-1)!=9!    จัดของเป็นวงกลมใช้สูตร (n-1)!

    n(E)= (9-1)! 2!=8!2!  แนวคิดคือจับปารมีและภูผามัดรวมกันเป็นหนึ่งมัดเดียวกัน ฉนั้นจะเหลือสิ่งของ 9 สิ่งมาจัดเป็นวงกลมได้ (9-1)! วิธี และปารมี กับ ภูผา สามารถนำมาสลับที่กันอีกสองวิธีหรือก็คือ 2! นั่นเอง

    ดังนั้นข้อนี้ตอบ

    \(P(E)=\frac{8!2!}{9!}\)=\(\frac{2}{9}\)

    ความน่าจะเป็นที่ปารมีและภูผาจะนั่งติดกันคือ \(\frac{2}{9}\)


    2.กล่องใบหนึ่งมีบัตร 5 ใบ ซึ่งเขียนหมายเลข 1,2,3,4,5 กำกับไว้ ถ้าหยิบบัตรจากกล่องใบนี้พร้อมกัน 3 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มบนบัตรมากกว่า 10

    วิธีทำ 

    n(S) คือ จำนวนวิธีทั้งหมดในการหยิบบัตร 5 ใบโดยหยิบพร้อมกันครั้งละ 3 ใบ ดังนั้น

    \(n(S)=C_{5,3}=\frac{5!}{(5-3)!3!}=10\)

    n(E) คือ จำนวนวิธีที่บัตร 3 ใบที่หยิบมาพร้อมกันผมรวมของหมายเลขในบัตรมากกว่า 10 ดังนั้น

    n(E)={(3,4,5) ,(4,5,2)}=2

    ดังนั้นข้อนี้ตอบ

    \(P(E)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มมากกว่า 10 คือ \(\frac{1}{5}\)


    3.นักเรียนชาย 4 คน นักเรียนหญิง 4 คน ยืนเรียงแถวหน้ากระดาน จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนชายและนักเรียนหญิงจะยื้นสลับกัน

    วิธีทำ 

    n(S) คือ จำนวนวิธีจัดคน 8 คนยืนสลับที่กัน

    n(S)=8!

    n(E)  คือ จำนวนวิธีจัดคนให้ยืนโดยที่หญิง ชาย ยืนสลับกัน

    n(E)=4!4!2

    ดังนั้นข้อนี้ตอบ

    \(P(E)=\frac{4!4!2}{8!}\)


    4.กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วขนาดเดียวกัน 13 ลูก เป็นสีแดง 6 ลูก สีขาว 4 ลูก และสีเหลือง 3 ลูก โดยที่ลูกแก้วทุกลูกแตกต่างกัน ถ้าสุ่มหยิบลูกแก้วออกมา 3 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วสีต่างกันทั้ง 3 ลูก

    วิธีทำ

    \(n(S)=\binom{13}{3}=\frac{13!}{(13-3)!3!}=286\)

    \(n(E)=\binom{6}{1}\binom{4}{1}\binom{3}{1}=72\)

    \(P(E)=\frac{72}{286}\) 


    5.ชายคนหนึ่งมีเสื้ออยู่ 5 ตัว เป็นเสื้อสีขาว 3 ตัว สีฟ้า 2 ตัว และมีกางเกงขายาว 4 ตัว เป็นกาเกงสีขาว 1 ตัว สีเทา 3 ตัว ถ้าชายคนนี้แต่งตัวออกจากบ้านโดยไม่เจาะจงแล้ว จงหาความน่าจะเป็นที่ชายคนนี้จะสวมเสื้อและกางเกงสีต่างกัน

    วิธีทำ 

    n(S) คือจำนวนวิธีในการแต่งตัวทั้งหมด มีเสื้อให้เลือก 5  ตัว และมีกางเกงให้เลือก  4 ตัว ดังนั้นจำนวนวิธีในการแต่งตัวมีทั้งหมดคือ \(5\times 4 =20 \)  วิธี  อันนี้ใช้กฎการคูณในการคิด

    นั่นคือ  n(S)=20

    n(E) คือจำนวนวิธีที่ชายคนนี้แต่งตัวโดยเสื้อและกางเกงสีต่างกัน จะแบ่งการคิดออกเป็น 2 กรณี

    กรณี 1  คือชายคนนี้แต่งตัวโดยใส่เสื้อสีขาว

    เพราะฉะนั้นเขาเลือกใส่เสื้อได้ 3  วิธีแต่กางเกงเขาห้ามเป็นสีขาวฉนั้นเขาต้องใส่กางเกงเทาเลือกได้ 3 วิธีเพราะกางเกงสีเทามีสามตัว จำนวนวิธีทั้งหมดในการแต่งตัวแบบนี้คือ  \(3\times 3=9\)

    กรณี 2  คือชายคนนี้แต่งตัวโดยใส่เสื้อสีฟ้า

    เพราะฉะนั้นเขาเลือกใส่เสื้อได้ 2 วิธีและกางเกงเขาใส่กางเกงสีขาวก็ได้ สีเทาก็ได้ทำได้ 4 วิธีเพราะฉะนั้นจำนวนวิธีในการแต่งตัวแบบนี้คือ \( 2\times 4=8\)

    ดังนั้น n(E)=9+8=17

    ความน่าจะเป็นที่ชายคนนี้จะสวมเสื้อและกางเกงสีต่างกันคือ \(P(E)=\frac{17}{20}\)


    6.ตะกร้าใบหนึ่งมีส้ม มังคุดและมะม่วงรวมกัน 10 ลูก โดยที่จำนวนส้มเป็นสองเท่าของจำนวนมังคุดและมีมะม่วง 1 ลูก โดยที่ผลไม้ทุกลูกแตกต่างกัน ถ้าหยิบผลไม้อย่างไม่เจาะจงจากตะกร้าใบนี้จำนวน 3 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ผลไม้ชนิดละ 1 ลูก

    วิธีทำ  มะม่วงมีจำนวน 1 ลูก มังคุดไม่รู้มีกี่ลูกให้มังคุดมีจำนวน x ลูก ฉะนั้นส้มมีจำนวนเป็น 2x

    ผลไม้รวมกันมีจำนวน 10 ลูก จะได้ว่า 1+x+2x=10  , x=3 นั่นคือมังคุดมีจำนวน 3 ลูก ส้ม 6ลูก

    จึงได้ว่า

    \(n(S)=\binom{10}{3}=240\)

    \(n(E)=\binom{1}{1}\binom{3}{1}\binom{6}{1}=18\)

    ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ผลไม้ชนิดละหนึ่งลูก คือ \(P(E)=\frac{18}{240}=\frac{3}{40}\) 


    7.ถ้าความน่าจะเป็นที่นายธงชัยจะสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษเป็น 0.6 และ 0.5 ตามลำดับ และความน่าจะเป็นที่จะผ่านอย่างน้อย 1 วิชา เป็น 0.8 จงหาความน่าจะเป็นที่นายธงชัยจะสอบผ่านทั้งสองวิชานี้

    วิธีทำ ถ้าวาดแผนภาพเวน-ออยเลอร์ช่วยจะดูง่ายนะข้อนี้

    ให้ x คือความน่าจะเป็นที่นายธงชัยสอบผ่านทั้งสองวิชาดังนั้นจะได้ตามรูป

    โจทย์บอกว่าความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านอย่างน้อย 1 วิชา คือ 0.8 ความหมายของประโยคนี้คือสอบผ่านหนึ่งวิชาก็ได้หรือสอบผ่านทั้งสองวิชาก็ได้ ดังนั้นเราจึงได้ว่า

    (0.6-x)+x+(0.5-x)=0.8

    1.1-x=0.8

          x=0.3

    นั่นก็คือความน่าจะเป็นที่นายธงชัยจะสอบผ่านทั้งสองวิชาคือ 0.3  นั่นเอง

    8.มีนักเรียนกลุ่มหนึ่งจำนวน 120 คน ในจำนวนนี้พบว่ามีนักเรียนทีี่ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ 60 คน มีนักเรียนที่ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษจำนวน 50 คน และมีนักเรียนที่ชอบเรียนทั้งสองวิชา 20 คน ถ้าสุ่มเลือกนักเรียนจากกลุ่มนี้มา 1 คน แล้วจงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนที่เลือกมาจะ

    1) ชอบเรียนอย่างน้อย 1 วิชา

    2) ไม่ชอบเรียนทั้งสองวิชา

    3) ชอบเรียนคณิตศาสตร์แต่ไม่ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ

    วิธีทำ วาดแผนภาพเวน-ออย์เลอร์  เหมือนข้อที่ผ่านมา จะได้

    จากโจทย์จะได้ว่าชอบเรียนคณิตศาสตร์อย่างเดียว 40 คน

    ชอบเรียนภาษาอังกฤษอย่างเดียว 30 คน

    ชอบเรียนทั้งวิชาคณิตและอังกฤษจำนวน 20 คน

    ดังนั้นมีคนที่รักในการเรียนทั้งหมด 40+30+20=90 คน แต่นักเรียนมีทั้งหมด 120 คน ดังนั้นจะได้ว่ามีนักเรียนจำนวน 120-90=30 คนที่ไม่ชอบเรียนวิชาอะไรเลยถ้าดูจากแผนภาพก็คือตัวเลขที่อยู่ข้างนอกวงกลมนั่นเอง

    1)ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วชอบเรียนอย่างน้อยหนึ่งวิชาคือ

    ต้องเข้าใจคำว่าชอบเรียนอย่างน้อยหนึ่งวิชาก่อนนะครับก็คือชอบเรียนหนึ่งวิชาก็ได้ชอบเรียนสองวิชาก็ได้หรือชอบเรียนทั้งสองวิชาก็ได้ นั้นคือมีจำนวน 40+30+20=90 คน นั่นเอง

    ดังนั้นความน่าจะเป็นสุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนที่สุ่มเลือกมาชอบเรียนอย่างน้อย 1 วิชาเท่ากับ

    \(P(E)=\frac{90}{120}=\frac{3}{4}\)

    2)ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วไม่ชอบเรียนทั้งสองวิชา

    คนที่ชอบเรียนทั้งสองวิชามี 20 คนนะคับ ดังนั้นข้อนี้ตอบ

    \(P(E)=\frac{30}{120}=\frac{1}{4}\)

    3)ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วชอบเรียนคณิตศาสตร์แต่ไม่ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ

    ก็คือชอบเรียนคณิตศาสตร์อย่างเดียว \(P(E)=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}\)


    9. บ่อปลาแห่งหนึ่งเป็นรูปวงกลม อนุญาตให้เข้าตกปลาได้ครั้งละ 4 คน โดยให้นั่งอยู่รอบบ่อ ถ้าครอบครัวหนึ่งมากัน 7 คน ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าตกปลาครั้งหนึ่งๆจะมีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเสมอเท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ ถ้าเราเห็นโจทย์ที่มีลักษณะจัดอะไรสักอย่างรอบบ่อหรืออะไรก็ตามที่เป็นวงกลมรำลึกไว้เลยว่ามันต้องเกี่ยวข้องกับการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมแน่ไปอ่านให้เข้าใจก่อนนะครับ

    ข้อนี้เขาให้หา ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าตกปลาครั้งหนึ่งๆจะมีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเสมอ

    ดังนั้น  

    \(n(S)\)  ของข้อนี้คือจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดคน 4 คนจากทั้งหมด 7 คนไปนั่งตกปลารอบบ่อ เอาละต่อไปเราจะเริ่มหา \(n(S)\) กันเลยครับ

    จำนวนวิธีในการเลือกคน 4 คนจากทั้งหมด 7 คนจะเท่ากับ \(C_{7,4}=35\) วิธี  และเลือกแต่ละวิธีในจำนวนทั้งหมด 35 วิธีไปจัดนั่งตกปลารอบบ่อจะได้จำนวนวิธีทั้งสิ้น \(35(3!)\)  งงไหมเอ่ยถ้างงดูนี่

    วิธีที่ 1 จัดคน 4 คนนั่งรอบบ่อได้ 3! วิธี

    วิธีที่ 2 จัดคน 4 คนนั่งรอบบ่อได้ 3! วิธี

    ...   ....   ....   ....   ....   ....   ....

    วิธีที่ 35 จัดคน 4 คนนั่งรอบบ่อได้ 3! วิธี เช่นกัน

    ดังนั้นจำนวนวิธีนั่งการเลือกคน 4 คนจาก 7 คนมานั่งตกปลารอบบ่อมีจำนวนทั้งสิ้น \(35(3!)\)  วิธี

    ต่อไปหา \(n(E)\)  ก็คือหาจำนวนวิธีที่การตกปลาครั้งหนึ่งจะมีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเสมอ

    การคิดอันนี้ก็คือใช้หลักการง่ายๆครับมัดให้พ่อกับแม่อยู่รวมกันจากที่มีคนอยู่ 7 คน พ่อกับแม่มัดรวมกันเป็นมัดเดียวกันก็คือเป็นคนคนเดียวกันแล้วครับจะได้ว่ามีคนมาตกปลาเพียง 6 คนนั่นเองครับ ฉะนั้นจำนวนวิธีในการเลือกคน 4 คนจากทั้งหมด 6 คนเท่ากับ \(C_{6,4}=15\)  วิธี และในแต่ละวิธีใน 15 วิธีนำไปจัดให้นั่งตกปลารอบบ่อจะได้จำนวนวิธีทั้งหมด \(15(3!)\) วิธี 

    ฉะนั้นจำนวนวิธีการนั่งตกปลาที่มีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเท่ากับ \(15(3!)\) วิธี

    ดังนั้น  ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าตกปลาครั้งหนึ่งๆจะมีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเสมอคือ

    \(\frac{15(3!)}{35(3!)}=\frac{3}{7}\)  นั่นเองครับ


    10. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 4 ลูก สีแดง 5 ลูก โดยลูกบอลทั้ง 9 ลูกมีขนาดและลัษณะเหมือนกัน สุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องใบนี้ 3 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวอย่างมาก 2 ลูกมีค่าเท่าใด

    วิธีทำ โจทย์แบบนี้กก็คือพวกหยิบลูกบอลสีต่างๆถือว่าเป็นโจทย์ยอดฮิตเลยทีเดียวครับเป็นโจทย์ที่ครูเขาชอบเอาไปออกข้อสอบครับแต่ไม่ยากผมจะทำให้ดูแล้วพวกเราก็สามารถนำไปขยายต่อยอดได้ครับ

    โจทย์บอกว่าสุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องใบนี้ 3 ลูกแสดงว่า

    \(n(S)\)  คือจำนวนวิธีทั้งหมดในการสุ่มหยิบลูกบอล 3 ลูกจากลูกบอลทั้งหมด 9 ลูกจะได้ว่า

    \(n(S)=C_{9,3}=\frac{9!}{6!3!}=84\)  วิธี

    ส่วน \(n(E)\)  คือจำนวนวิธีในการหยิบได้ลูกบอลสีขาวอย่างมาก 2 ลูก อันนี้ต้องแยกคิดครับคำว่าหยิบได้อย่างมาก 2 ลูกความหมายก็คือหยิบได้ไม่เกิน 2 ลูกนั่นเองครับ ดังนั้น

    กรณีที่ 1 กรณีที่หยิบได้ลูกบอลสีขาว 1 ลูก จะได้จำนวนวิธีทั้งหมดคือ

    \(C_{4,1}\times C_{5,2}=40\) วิธี  ความหมายของบรรทัดนี้ก็คือหยิบสีขาวมา 1 ลูกจากทั้งหมด 4 ลูกแล้วไปหยิบสีแดงอีก 2 ลูกจากทั้งหมด 5 ลูก

    กรณีที่ 2 กรณีที่หยิบได้ลูกบอลสีขาว 2 ลูก จะได้จำนวนวิธีทั้งหมดคือ

    \(C_{4,2}\times C_{5,1}=30\) วิธี 

    กรณีที่ 3  กรณีที่หยิบไม่ได้ลูกบอลสีขาวเลย นั้นก็คือหยิบได้ลูกบอลสีแดงทั้งหมดคือ

    \(C_{5,3}=10\)  วิธี

    ดังนั้นในการหยิบจำนวนวิธีหยิบได้ลูกบอลได้เกิน 2 ลูกจะเท่ากับ \(40+30+10=80\) วิธี

    ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวอย่างมาก 2 ลูกมีค่าเท่ากับ\(\frac{80}{84}=\frac{20}{21}\)


    11. กล่องทึบใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีแดง 4 ลูก สีฟ้า 3 ลูก และสีเหลือง 3 ลูก โดยที่ลูกบอลแต่ละลูกแตกต่างกัน ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลออกจากกล่องนี้ 3 ครั้ง โดยหยิบครั้งละ 1 ลูก และใส่คืนก่อนหยิบลูกบอลครั้งต่อไป แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสีแดงจาการสุ่มหยิบลูกบอลครั้งที่ 1 และอีกสองครั้งถัดไปหยิบได้ลูกบอลสีอื่นเท่ากับเท่าใด (A-level 2 มี.ค.66/16)

    1. \(\frac{1}{6}\)
    2. \(\frac{2}{25}\)
    3. \(\frac{4}{27}\)
    4. \(\frac{18}{125}\)
    5. \(\frac{9}{250}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากคับ จะเห็นว่าเป็นการหยิบลูกบอลครั้งละลูก และใส่คือก่อนจะหยิบอีก ดังนั้นแต่ละครั้งที่จะหยิบจะมีลูกบอกรวมกันคือ 10 ลูกตลอด ดังนั้น

    \(n(S)=\binom{10}{1}]\times \binom{10}{1}\times\binom{10}{1}=10\times 10\times 10=1000\)

    โจทย์ถามหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกบอลสีแดงในการหยิบครั้งที่ 1 และครั้งถัดไปได้ลูกบอลสีอื่น

    จำนวนวิธีในการหยิบได้ลูกบอลสีแดงคือ \(\binom{4}{1}\)

    จำนวนวิธีในการหยิบครั้งที่ 2 โดยได้สีอื่นที่ไม่ใช่สีแดงคือ \(\binom{6}{1}\)

    จำนวนวิธีในการหยิบครั้งที่ 3 โดยได้สีอื่นที่ไม่ใช่สิแดงคือ \(\binom{6}{1}\)

    ดังนั้น

    \(n(E)=\binom{4}{1}\times\binom{6}{1}\times\binom{6}{1}= 4\times 6\times 6=144\)

    ดังนั้นความน่าจะเป็นการหยิบที่จะหยิบได้ลูกบอลสีแดงในการหยิบครั้งที่ 1 และอีกสองถังไปหยิบได้ลูกบอลสีอื่นคือ \(P(E)=\frac{144}{1000}=\frac{18}{125}\)


    12. ถุงทึบใบหนึ่งมีบัตรอักษรที่แตกต่างกันทั้งหมดอยู่ 12 ใบ ได้แก่ บัตรอักษร A บัตรอักษร B และบัตรอักษร C อย่างละ 4 ใบ ถ้าสุ่มหยิบบัตร 2 ใบออกมาจากถุง โดยหยิบบัตรทีละใบและไม่ใส่คืนก่อนหยิบบัตรใบที่สอง แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่บัตรแต่ละใบที่หยิบได้จะไม่ใช่บัตรอักษณ A เท่ากับเท่าใด (กสพท คณิต2 , มี.ค.65/25)

    1. \(\frac{14}{33}\)
    2. \(\frac{4}{9}\)
    3. \(\frac{16}{33}\)
    4. \(\frac{2}{3}\)
    5. \(\frac{10}{11}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ เป็นการหยิบบัตร 2 ใบ และหยิบทีละใบ หยิบแล้วไม่ใส่คืนนะคับ ดังนั้นจำนวนบัตรจะลงลง นั้นคือ 

    \(n(S)=\binom{12}{1}\times \binom{11}{1}=12\times 11=132\)

    ต่อไปโจทย์ถามหาความน่าจะเป็นบัตรที่หยิบได้ไม่ใช่บัตรอักษร A นั้นก็คือ ตัดบัตรอักษร A ทิ้งไปเลย ก็เหลือบัตรอักษร B และ C ซึ่งรวมแล้วคือมีจำนวนทั้งสิ้น 8 ใบ

    ดังนั้น

    จำนวนวิธีในการหยิบได้บัตรอักษรอื่นที่ไม่ใช่บัตรอักษร A ครั้งที่ 1 คือ \(\binom{8}{1}\)

    จำนวนวิธีในการหยิบได้บัตรอักษรอื่นที่ไม่ใช่บัตรอักษร A ครั้งที่ 2 คือ \(\binom{7}{1}\)

    ดังนั้น

    \(n(E)=\binom{8}{1}\times \binom{7}{1}=8\times 7=56\)

    ข้อนี้ตอบ \(P(E)=\frac{56}{132}=\frac{14}{33}\)

    สามารถฝึกทำโจทย์ความน่าจะเป็นเพิ่มเติมได้ที่ลิงค์นี้ต่อได้เลยครับฝึกทำโจทย์ความน่าจะเป็น ม.5