วันนี้เรามาเรียนเกี่ยวกับการหาอนุพันธ์อันดับสูงกันครับ ซึ่งการหาอนุพันธ์อันดับสูงถ้าพูดเป็นภาษาชาวบ้านก็คือการดิฟหลายๆครั้งนั่นเองครับ สมมติเรามีฟังก์ชัน \(f\) ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\) เรียก
\(f^{\prime}(x)\) ว่าอนุพันธ์อันหนึ่งของ \(f\) ที่ \(x\)
เรียก
\(f^{\prime \prime}(x)\) ว่าอนุพันธ์อันดับ 2 ของ \(f\) ที่ \(x\)
เรียก
\(f^{\prime \prime \prime}(x)\) ว่าอนุพันธ์อันดับ 3 ของ \(f\) ที่ \(x\)
เดี๋ยวเรามาอ่านบทนิยามเกี่ยวกับอนุพันธ์อันดับสูงที่เป็นทางการกันครับ หลังจากที่อ่านแบบภาษาบ้านๆไปแล้ว
บทนิยาม
ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้และ \(f^{\prime}\) เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\) ที่ \(x\) จะเรียกอนุพันธ์ของ \(f^{\prime}\) ที่ \(x\) ว่า อนุพันธ์อันดับสองของของ \(f\) ที่ \(x\) เขียนแทนด้วย \(f^{\prime \prime}\)
ต่อไปเรามาลองทำแบบฝึกหัดโจทย์อนุพันธ์อันดับสูงกันครับ
1. จงหาอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของฟังก์ชันต่อไปนี้
\(1)\quad f(x)=5x^{2}-4x+2\)
วิธีทำ ดิฟไปสองครั้งนั่นเองครับ
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&(2)(5)x^{2-1}-4\\f^{\prime}&=&10x-4\\f^{\prime \prime}(x)&=&10\end{array}
\(2)\quad f(x)=3x^{4}-2x+\sqrt{x}-5\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมคือดิฟสองครั้ง
\begin{array}{lcl}f(x)&=&3x^{4}-2x+x^{\frac{1}{2}}-5\\f^{\prime}(x)&=&12x^{3}-2+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\f^{\prime \prime}(x)&=&36x^{2}-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}\\f^{\prime \prime}(x)&=&36x^{3}-\frac{1}{4\sqrt{x^{3}}}\end{array}
\(3) \quad f(x)=\frac{x+1}{x}\)
วิธีทำ อันนี้ยากขึ้นนิดหนึ่งเพราะว่าต้องดิฟผลหาร
\begin{array}{lcl}f(x)&=&\frac{x+1}{x}\\f^{\prime}(x)&=&\frac{x\frac{d}{dx}(x+1)-(x+1)\frac{d}{dx}(x)}{x^{2}}\\f^{\prime }(x)&=&\frac{x-(x+1)}{x^{2}}\\f^{\prime}(x)&=&\frac{-1}{x^{2}}\\f^{\prime}(x)&=&-x^{-2}\\f^{\prime \prime}(x)&=&2x^{-3}\\f^{\prime \prime}(x)&=&\frac{2}{x^{3}}\end{array}
2. จงหาอนุพันธ์อันดับ 3 ของข้อมูลต่อไปนี้
\(1)\quad f(x)=x^{-5}+x^{5}\)
วิธีทำ หาอนุพันธ์อันดับ 3 ก็คือหาตัวนี้ \(f^{\prime \prime \prime}(x)\)
\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{-5}+x^{5}\\f^{\prime}(x)&=&-5x^{-6}+5x^{4}\\f^{\prime \prime}(x)&=&30x^{-7}+20x^{3}\\f^{\prime \prime \prime}(x)&=&-210x^{-8}+60x^{2}\end{array}
3. จงหา \(f^{\prime \prime \prime}(2)\) เมื่อ \(f(x)=3x^{2}-2\)
วิธีทำ ข้อนี้คือหาอนุพันธ์อันดับ 3 ของ \(f\) ที่ \(x=2\) นั่นเอง
\begin{array}{lcl}f(x)&=&3x^{2}-2\\f^{\prime}(x)&=&6x\\f^{\prime \prime}(x)&=&6\\f^{\prime \prime \prime}(x)&=&0\\so\\f^{\prime \prime \prime} (2)&=&0\end{array}
4. สุทธิชัยปล่อยวัตถุลงจากที่สูงลงสู่พื้นดิน วัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง \(s=16t^{2}\) เมตร ในเวลา \(t\) วินาที จงหา
1) ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้หลังจากปล่อยวัตถุไป 3 วินาที
วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับ เมื่อปล่อยวัตถุไปแล้ว 3 วินาทีวัตถุจะเคลื่อนที่ได้
\begin{array}{lcl}s&=&16t^{2}\\s&=&16(3)^{2}\\s&=&144\quad metre\end{array}
2) ความเร็วขณะเวลา 2 วินาที
วิธีทำ เนื่องจากระยะทางในขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(s=16t^{2}\) ดังนั้น
ความเร็วของวัตถุขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(\frac{ds}{dt}\) พูดเป็นภาษาชาวบ้านก็คือต้องการหาความเร็วก็เอาระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ หรือว่า \(s\) มาดิฟนั่นเองครับ
\begin{array}{lcl}v&=&\frac{ds}{dt}\\&=&\frac{d}{dt}(16t^{2})\\&=&16(2)t\\&=&32t\\so \quad when \quad t&=&2\\v&=&32(2)\\v&=&64\quad m/s\end{array}
ดังนั้นความเร็วขณะเวลา \(t=2\) วินาที เท่ากับ \(64\) เมตรต่อวินาที
3) ความเร่งขณะเวลา \(t\) ใดๆ
วิธีทำ ความเร่งขณะเวลา \(t\) ใดๆ หาได้จาก \(\frac{dv}{dt}\) พูดเป็นภาษาชาวบ้านคือ ต้องการหาความเร่งก็เอาความเร็วหรือว่า \(v\) มาดิฟนั่นเอง
จาก \(v=32t\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\frac{dv}{dt}&=&\frac{d}{dt}(32t)\\&=&32\end{array}
ดังนั้นความเร่งขณะเวลา \(t\) ใดๆคือ \(32\quad m/s^{2}\)
4) ความเร่งขณะเวลา \(5\) วินาที
วิธีทำ จากข้อ 3) ความเร่งในขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(32\) เมตร/\(วินาที^{2}\)
ดังนั้นความเร่งในขณะเวลา 5 วินาที เท่ากับ \(32\) เมตร/\(วินาที^{2}\)