ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

2. จงหา \(k\) ที่ทำให้ฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty,\infty)\)

1) \(f(x)=\left\{\begin{matrix}&7x-2\quad เมื่อ \quad x\leq 1\\&kx^{2}\quad เมื่อ \quad x>1\end{matrix}\right.\)

พิจารณาที่จุด \(x=1\)  จะได้

\(f(1)=7(1)-2=5\)

และ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}(7x-2)\\&=&7(1)-2=5\\\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}kx^{2}\\&=&k(1)^{2}=k\end{array}

เนื่องจาก ฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่อง เมื่อ

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=f(1)\)

ดังนั้น \(k=5\)

ต่อไปเดี่ยวจะลองนำแบบฝึกหัดจากหนังสือเรียน สสวท มาลองทำดูบางข้อ เพื่อเป็นแนวทางในการทำข้ออื่นต่อไป แบบฝึกหัด 2.2

1. จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดที่กำหนดให้หรือไม่

1) \(f(x)=3x-1\) ที่ \(x=0\)

วิธีทำ ข้อนี้ให้ตรวจสอบว่า ฟังก์ชัน \(f\) นี้ ต่อเนื่องที่ \(x=0\) หรือไม่ ข้อนี้อาจจะลองว่ากราฟดูก็ได้ แล้วดูว่าที่ \(x=0\) ฟังก์ชันนี้สามารถหาค่าได้ไหม ถ้าหาได้ ก็จะต่อเนื่อง หรือง่ายสุดก็ตรวจสอบตาม นิยามนี่แหละคับ 

จะเห็นว่า

\(f(0)=3(0)-1=-1\)

และ 

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}3x-1=3(0)-1=-1\)

จะเห็นได้ว่า \(f(0)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=-1\) ดังนั้น ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่ \(x=0\) นั่นเอง

2)\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&\frac{x^{2}-16}{x-4}\quad เมื่อ \quad x\leq 4\\&-\frac{1}{4}\quad เมื่อ \quad x=4\end{matrix}\right.\)

วิธีทำ ข้อนี้ให้ตรวจสอบว่าฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่ \(x=4\) หรือไม่ เริ่มตรวจสอบตามนิยามเลยนะคับ

จะได้

\(f(4)=-\frac{1}{4}\)

และ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{2}-16}{x-4}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}(x+4)\\&=&8\end{array}

ซึ่งจะเห็นได้ว่า

\(f(4)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}f(x)\) ดังนั้น ฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่องที่ \(x=4\) คับ

3)\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}\quad เมื่อ \quad x\leq 1\\&-\frac{2}{3}\quad เมื่อ \quad x=1\end{matrix}\right.\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องแยกตัวประกอบเป็นนะ พวกการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง และ ผลต่างกำลังสาม ต้องแยกเป็นนะคับไม่งั้นจะทำไม่ได้  เริ่มทำเลย

ข้อนี้เราให้เราตรวจสอบว่าฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่ \(x=1\) หรือไม่ เริ่มทำเลย

จะเห็นว่า

\(f(1)=-\frac{2}{3}\)

และ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x+1)}{x^{2}+x+1}\\&=&\frac{2}{3}\end{array}

ซึ่งจะเห็นได้ว่า

\(f(1)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\) 

ดังนั้น ฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่องที่ \(x=1\)

3. กำหนดให้ \(f(x)=\frac{2}{x-4}\) จงพิจารณาว่า \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงต่อไปนี้หรือไม่

1) \((-\infty ,4)\)            2)\((4,6]\)            3)\((4,\infty)\)

วิธีทำ 

1) ตรวจสอบว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,4)\)  ไหม

การตรวจสอบว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,4)\)  ไหม สิ่งที่ต้องทำคือ

ต้องตรวจสอบว่า \(f\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-\infty ,4)\)   เริ่มทำเลย

กำหนดให ้ \(c\in (-\infty ,4)\) ดังนั้น \(c<4\) และ \(c\neq 4\)  จึงได้ว่า

\(f(c)=\frac{2}{c-4}\quad (1)\)

ต่อไปหา \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)\) ได้ว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}\frac{2}{x-4}\\&=&\frac{2}{c-4}\quad (2)\end{array}

จะเห็นว่า \((1)=(2)\) ซึ่งก็คือ \(f(c)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)\) ดังนั้นจึงได้ว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,4)\)  

 2) ตรวจสอบว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((4,6]\) ไหม

การตรวจสอบ ต้องทำ 2 ข้อคือ

 2.1)\(f\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((4,6)\)

2.2) \(f(6)\) ต้องมีค่าเท่ากับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 6^{-}}f(x)\)

เรามาตรวจสอบข้อ 2.1) ก่อน

กำหนดให้ \(c\in (4,6)\) จะได้ว่า

\(f(c)=\frac{2}{c-4}\)

ต่อไปหา \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}\frac{2}{x-4}\\&=&\frac{2}{c-4}\end{array}

จะเห็นได้ว่า

\(f(c)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x)\) นั่นคือ \(f\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((4,6)\)

ต่อไปตรวจสอบข้อ 2.2) 

จะได้ว่า \(f(6)=\frac{2}{6-4}=1\) และ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 6^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 6^{-}}\frac{2}{x-4}\\&=&\frac{2}{6-4}\\&=&1\end{array}

จะเห็นว่า\(f(6)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 6^{-}}f(x)\)

ดังนั้น จาก ข้อ 2.1) และ 2.2) ทำให้ได้ว่า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((4,6)\)

4. กำหนดให้

\(g(x)=\left\{\begin{matrix}&2x-2\quad เมื่อ \quad x< -2\\&x-4\quad เมื่อ \quad -2\leq x\leq 1\\&4-x\quad เมื่อ \quad x>1\end{matrix}\right.\)

จงพิจารณาว่า \(g\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงต่อไปนี้หรือไม่

1) \((-\infty ,1]\)            2) \((-2,1]\)             3) \((-2,2]\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดกราฟ แล้วก็ดูจากกราฟถึงจะง่ายนะคับผม ถ้าไม่วาดกราฟบอกเลยยากคับ ก็ใช้โปรดแกรม geogebra วาดก็ได้ หรือว่าวาดมือก็ได้ เพราะฟังก์ชันที่โจทย์ให้มาวาดง่ายคับ ไม่ได้ซับซ้อนเลย ไปดูรูปเลย

1)  ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,1]\)  ไหม

ตรวจสอบ 2 ข้อคือ

1.1) \(g\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \(-\infty ,1)\)

1.2) \(g(1)\) ต้องเท่ากับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)\)  (ดูจากรูปเอานะง่ายดี)

ซึ่งจากรูปเห็นได้ว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-\infty ,1)\)  และ

\(g(1)=-3\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}x-4=-3\)

จะเห็นว่า \(g(1)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)\)

ดังนั้นจึงได้ว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-\infty ,1]\)

2)  ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-2,1]\)   ไหม

ตรวจสอบ 2 ข้อคือ

1.1) \(g\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-2 ,1)\)

1.2) \(g(1)\) ต้องเท่ากับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)\)  (ดูจากรูปเอานะง่ายดี)

ซึ่งจากรูปเห็นได้ว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-2 ,1)\)  และ

\(g(1)=-3\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}x-4=-3\)

จะเห็นว่า \(g(1)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)\)

ดังนั้นจึงได้ว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-2 ,1]\)

3)  ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-2,2]\)   ไหม

ตรวจสอบ 2 ข้อคือ

1.1) \(g\) ต้องต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-2 ,2)\)

1.2) \(g(2)\) ต้องเท่ากับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}g(x)\)  (ดูจากรูปเอานะง่ายดี)

ซึ่งเราจะเห็นว่า \(1\in (-2,2)\)

\(g(1)=-3\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=-3\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}g(x)=3\)

ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}g(x)\) ไม่มีค่า

นั้นคือ \(g(1)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}g(x)\) จึงได้ว่า \(g\) ไม่ต่อเนื่องที่จุด\(x=1\) จึงทำให้ \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \((-2,2)\)

ความต่อเนื่องบนช่วง

ตัวอย่าง  กำหนด \(f(x)=\sqrt{16-x^{2}}\) จงแสดงว่าฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([-4,4]\)

วิธีทำ  เขาให้เราแสดงว่าฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องบนช่วง \([-4,4]\)  นั่นคือ เราต้องแสดงตามนิยามข้อ 2. ข้างบนคือ ตามนี้ครับ

2. \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([a,b]\) ก็ต่อเมื่อ

1) \(f\) ต่อเนื่องทุกๆจุดในช่วง \((a,b)\)

2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow b^{-}} f(x)=f(b)\)

ก็คือเราต้องแสดงให้เข้าเห็นสองข้อคือ

1) \(f\) ต่อเนื่องทุกๆจุดในช่วง \((a,b)\)  วิธีทำ ก็คือ

กำหนดให้ \(c\in (-4,4)\) จะได้ว่า \(f(c)=\sqrt{16-c^{2}}\) ซึ่งจะเห็นว่า \(f(c)\) หาค่าได้แน่นอนข้างในรูทไม่ติดลบแน่นอนดังนั่น \(f(c)\) ต่อเนื่องทุกจุดในช่วง \((-4,4)\)

ต่อไปแสดงให้เข้าเห็นว่า

2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)=f(-4)\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}} f(x)=f(4)\)

จะแสดงนี้ก่อนนะ

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)=f(-4)\) ซึ่งจะเห็นว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}\sqrt{16-x^{2}}\\&=&\sqrt{16-(-4)^{2}}\\&=&0\quad \cdots (1)\end{array}

อีกอัน

\begin{array}{lcl}f(-4)=\sqrt{16-(-4)^{2}}=0\quad\cdots (2)\end{array}

จะเห็นได้ว่า \((1)=(2)\) ดังนั้น  \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4^{+}}f(x)=f(-4)\)

 ต่อไปจะแสดงนี่

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}f(x)=f(4)\) ซึ่งจะเห็นว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}\sqrt{16-x^{2}}\\&=&\sqrt{16-(4)^{2}}\\&=&0\quad \cdots (1)\end{array}

อีกอัน

\begin{array}{lcl}f(4)=\sqrt{16-(4)^{2}}=0\quad\cdots (2)\end{array}

จะเห็นได้ว่า \((1)=(2)\) ดังนั้น  \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}f(x)=f(4)\)

เราได้แสดงให้เห็นตามนิยามแล้ว ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \([-4,4]\)

มาดูแบบฝึกหัดจากหนังสือ สสทว. บ้างครับ แบบฝึกหัด 2.2

1. กำหนดกราฟของฟังก์ชัน \(f,\quad g\quad ,h\) ดังรูป จงพิจารณาว่า \(f,\quad g,\quad h\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงที่กำหนดในต่อละข้อหรือไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \([-1,1]\) หรือไม่

ต้องไปอ่านนิยามการต่อเนื่องบนช่วงๆดีนะคับ

จากรูปจะเห็นว่า

\(f(1)=2\)  

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-1}}f(x)\) มีค่าน้อยกว่า 1

ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(f(1)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)\) 

ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\) ไม่ต่อเนื่องในช่วง \([-1,1]\)

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,1)\) หรือไม่

จากรูปเห็นชัดเจนว่าฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-1,1)\)

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \([0,1]\) หรือไม่

\(f(1)=2\)  

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-1}}f(x)\) มีค่าน้อยกว่า 1

ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(f(1)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)\) 

ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\) ไม่ต่อเนื่องในช่วง \([0,1]\)

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,0]\) หรือไม่

จากรูปจะเห็นว่าฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องทุกจุดบนช่วง \((-1,0)\)

และ \(f(0)=1\)

และ

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=1\)

จะเห็นว่า \(f(0)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)\)

ดังนั้น ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,0)\)

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \([-1,1]\) หรือไม่

จากรูปชัดเจนเลยฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องที่จุด \(x=0\)

ดังนั้น ฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \([-1,1]\) เพราะว่าการที่มันจะต่อเนื่องมันต้องต่อเนื่องทุกจุดที่อยู่ในช่วงนะคับ

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,1)\) หรือไม่

จากรูปชัดเจนเลยฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องที่จุด \(x=0\)

ดังนั้น ฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \([-1,1]\) เพราะว่าการที่มันจะต่อเนื่องมันต้องต่อเนื่องทุกจุดที่อยู่ในช่วงนะคับ

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \([0,1]\) หรือไม่

จากรูป ดูจากรูปเอานะจะได้ง่าย

จะเห็นว่า \(g(0)=2\)

และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)=1\)

ดังนั้น \(g(0)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)\) 

นั่นก็คือ ฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \([0,1]\)

พิจาณาว่า ฟังก์ชัน \(g\) ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,0]\) หรือไม่

ดูจากรูปเอานะคับง่ายดี

จะเห็นว่า  \(g(0)=2\)

และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}g(x)=1\)

ดังนั้น \(g(0)\neq \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}g(x)\) 

นั่นก็คือ ฟังก์ชัน \(g\) ไม่ต่อเนื่องบนช่วง \((-1,0]\)

ลิมิตและความต่อเนื่อง

ต่อไปเข้าสู่ขั้นตอนการหาคำตอบ

โจทย์ให้หาค่าของ \(f(a+\frac{b}{16})\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(a+\frac{b}{16})&=&f(\frac{1}{16}+\frac{15}{16})=f(1)\end{array}

ดังนั้นโจทย์ต้องการหาค่า \(f(1)\) นั่นเองครับผม ง่ายเลยที่นี้  จะเห็นว่าเราต้องการหา \(f(1)\) ซึ่ง 1 มันน้อยกว่า 4 ดังนั้น เราต้องใช้ฟังก์ชันนี้ \(f(x)=x^{2}-b\) ในการหาค่า \(f(1)\) ครับจะได้

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{2}-b\\f(1)&=&1^{2}-15\\f(1)&=&-14\quad \underline{Ans}\end{array}

2. ถ้า

\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&-x+a & ;\quad x \leq -2\\&-\frac{2}{5}x+b&;\quad -2<x\leq 3\\&x^{2}-6x+11&;\quad x>3\end{matrix}\right.\)

ถ้าฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องที่ \(x=-2\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}f(x)\)

แล้วจงหาค่าของ \(|a+5b|\)

วิธีทำ โจทย์ข้อนี้ดูดีนะคับไม่ยาก จะเห็นว่าโจทย์บอกว่าต่อเนื่องที่จุดสองจุด คือต่อเนื่องที่จุด \(x=-2\) และต่อเนื่องที่ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}f(x)\)  ความหมายอีกอย่างก็คือ ต่อเนื่องที่จุด \(x=-2\)และต่อเนื่องที่จุด \(x=3\) นั่นเองครับผม

\(f\) ต่อเนื่องที่ \(x=-2\) ดังนั้น

\(f(-2)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2}f(x)\)

จะได้

\(f(-2)=-(-2)+a=2+a\)

จะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2}-\frac{2}{5}x+b\\&=&-\frac{2}{5}(-2)+b\\&=&\frac{4}{5}+b\end{array}

ดังนั้น เราได้ว่า

\(2+a=\frac{4}{5}+b\quad \cdots (1)\)

\(f\) ต่อเนื่องที่ \(x=3\) ดังนั้น

\(f(3)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}f(x)\)

จะได้

\(f(3)=-\frac{2}{5}(3)+b=-\frac{6}{5}+b\)

จะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow}x^{2}-6x+11\\&=&3^{2}+-(6)(3)+11\\&=&2\end{array}

ดังนั้นเราได้ว่า

\(-\frac{6}{5}+b=2\rightarrow b=\frac{16}{5}\) เอาค่า \(b\) ที่เราได้นี้ไปแทนในสมการ \((1)\) จะได้ \(a=2\)

เมื่อเรารู้ค่า \(a,b\) แล้ว เราก็หาคำตอบได้แล้วครับ

\begin{array}{\lcl}|a+5b|&=&|2+5\cdot\frac{16}{5}|\\&=&18\quad \underline{Ans}\end{array}

3. กำหนดให้ \(f(x)=|x^{2}+4x|\) และ \(g(x)=|x^{2}-16|\) ถ้า \(a,b\) เป็นคำตอบทั้งสองของสมการ \(f(x)=g(x)\) แล้ว

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}+\displaystyle\lim_{x\rightarrow b}\frac{f(x)}{g(x)}\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ เราต้องแก้สมการ \(f(x)=g(x)\) เพื่อหาค่าของ \(a\) กับ \(b\) ก่อนครับผม เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&g(x)\\|x^{2}+4x|&=&|x^{2}-16|\\|x^{2}+4x|^{2}&=&|x^{2}-16|^{2}\\(x^{2}+4x)^{2}&=&(x^{2}-16)^{2}\\(x(x+4))^{2}&=&[(x-4)(x+4)]^{2}\\x^{2}(x+4)^{2}&=&(x-4)^{2}(x+4)^{2}\\x^{2}(x+4)^{2}-[(x-4)^{2}(x+4)^{2}]&=&0\\(x+4)^{2}\cdot[x^{2}-(x-4)^{2}]&=&0\end{array}

จะได้ว่า

\((x+4)^{2}=0\) หรือ\(x^{2}-(x=4)^{2}=0\) 

กรณี \((x+4)^{2}=0\) จะได้ \(x=-4\)

กรณี \(x^{2}-(x-4)^{2}=0\) แก้สมการจะได้ \(x=2\) แก้สมการเองนะไม่ยาก

ดังนั้นตอนนี้เราได้คำตอบสองคำตอบคือ \(2,-4\) ผมกำหนดให้ \(a=2\) และ \(b=-4\) แล้วกันนะครับผม

ก่อนที่จะหาลิมิตเรามาดูตรงนี้กันก่อนจะเห็นว่า

\begin{array}{lcl}\frac{f(x)}{g(x)}&=&\frac{|x^{2}+4x|}{|x^{2}-16|}\\&=&\frac{|x(x+4)|}{|(x-4)(x+4)|}\\&=&\frac{|x|}{|(x-4)|}\end{array}

ผมจะหาลิมิตของแต่ละก้อน และค่อยมาบวกกันอีกทีนะครับผม

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{|x|}{|(x-4)|}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2}{-(x-4)}\\&=&1\end{array}

ต่อไปหาลิมิตอีกก่อนหนึ่ง

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4}\frac{|x|}{|(x-4)|}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4}\frac{-(x)}{-(x-4)}\\&=&\frac{4}{8}\\&=&\frac{1}{2}\end{array}

ดังนั้นคำตอบคือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{|f(x)|}{|(g(x)|}+\displaystyle\lim_{x\rightarrow b}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}&=&1+\frac{1}{2}\\&=&\frac{3}{2}\quad \underline{Ans}\end{array}

4. กำหนดให้

\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&\frac{2x^{2}-x-1}{x-1}&;x<1\\&a(x-2)+2&;x\geq 1\end{matrix}\right.\)

จงหาจำนวนจริง \(a\) ที่ทำให้ ฟังก์ชัน \(f\) มีความต่อเนื่องที่จุด \(x=1\) (โควต้า ม.เชียงใหม่)

วิธีทำ  จากโจทย์ \(f\) มีความต่อเนื่องที่ \(x=1\) แสดงว่า

\(f(1)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)\) ใช่ไหมครับตามนิยามของความต่อเนื่องของฟังก์ชันเลย

หา \(f(1)\) รอไว้ก่อนเลยครับผม จากโจทย์ ดูเงื่อนไขของฟังก์ชันดีๆนะ จะได้วา

\(f(1)=a(-1)+2=-a+2\)

ต่อไปหา \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)\) เริ่มหาเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow}\frac{2x^{2}-x-1}{x-1}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(2x+1)(x-1)}{(x-1)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1} 2x+1\\&=&2(1)+1\\&=&3\end{array}

ต่อไปก็ไปสู่ขั้นตอนการหาคำตอบเลยครับผม

จากที่ \(f\) ต่อเนื่องที่ \(x=1\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}f(1)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)\\-a+2&=&3\\a&=&-1\end{array}

ดังนั้นข้อนี้ \(a=-1\) นั่นเองคับ ข้อสอบโควต้าง่ายๆไม่ยากครับผม

ใครที่อยากเรียนแบบคลิปผมได้ทำคลิปไว้สอนแล้วครับ และจะอัพเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ถ้ามีเวลาว่างทำครับผม