• การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานความแปรปรวนเมื่ออ่านข้อมูลผิด

    วันนี้เรามาดูวิธีการทำโจทย์เกี่ยวกับการหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาดซึ่งจะยกตัวอย่างให้ดูแค่ข้อ สองข้อ เพราะถ้าเข้าใจข้อเดียวข้ออื่นก็ทำในลักษณะเดียวกันครับ ไปดูวิธีการทำโจทย์เลย

    1. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 50 จำนวนมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบน่มาตรฐานเป็น 10 และ 4 ตามลำดับ แต่อ่านข้อมูลผิดไป 2 จำนวนคือ จาก 2 และ 3 อ่านเป็น 20 และ 30 ตามลำดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้อง

    วิธีทำ การทำข้อนี้ผมจะเริ่มหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ผิดก่อนนะคับ

    \begin{array}{lcl}\bar{x}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{50}x_{i}}{50}\\10&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{50}x_{i}}{50}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{50}x_{i}&=&500\end{array}

    ถ้าเราลองเอาผลรวมของข้อมูลที่ผิดมาแยกดูก็จะได้ดังนี้ \(500=450+20+30\) ลองลบที่เราอ่านเกินมา

    ข้อมูล 2 แต่อ่านเป็น 20 แสดงว่าอ่านเกินไป 18

    ข้อมูล 3 แต่อ่านเป็น 30 แสดงว่าอ่านเกินไป 27

    ดังนั้นผลรวมข้อมูลที่ถูกต้อง คือ \(450+(20-18)+(30-27)=455\) นั่นเองครับ

    นั่นคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกต้องคือ

    \begin{array}{lcl}\bar{x}&=&\frac{455}{50}\\&=&9.1\end{array}

    ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตอนที่อ่านข้อมูลผิดคือ 4  ดังนั้นความแปรปรวนตอนที่อ่านข้อมูลผิดคือ \(4^{2}=16\) นั่นเองครับ

    จากสูตรการหาความแปรปรวนคือ \(\sigma^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\bar{x}^{2}\)

    ใครที่จำสูตรไม่ได้ไปอ่านตามลิงค์นี้ครับความแปรปรวน

    แทนค่าลงไปจะได้

    \begin{array}{lcl}16&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{50}x_{i}^{2}}{50}-10^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{50}x_{i}^{2}&=&116\times 50\\\displaystyle\sum_{i=1}^{50}x_{i}^{2}&=&5800\end{array}

    หรือถ้าเราเอาผลรวมของกำลังสองความแปรปรวนของข้อมูลที่ผิดมาแยกดูจะได้ \(5800=4500+20^{2}+30^{2}\)

    ดังนั้นผลรวมของกำลังสองความแปรปรวมของข้อมูลที่ถูกต้องคือ \(4500+2^{2}+3^{2}=4513\)

    นั่นคือ ความแปรปรวมของข้อมูลที่ถูกต้องคือ

    \begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{50}x_{i}}{50}-\bar{x}^{2}\\\sigma^{2}&=&\frac{4513}{50}-9.1^{2}\\\sigma^{2}&=&7.45\\\sigma&=&\sqrt{7.45}\\\sigma&=&2.7\end{array}

    ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้องคือ \(9.1\) และ \(2.7\) ตามลำดับ


    2. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 20 จำนวนมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนเป็น 15 และ 9 ตามลำดับ แต่อ่านข้อมูลผิดไป 2 จำนวนคือ จาก 7 และ 17 อ่านเป็น 11 และ 11 ตามลำดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนที่ถูกต้อง

    วิธีทำ ถ้าข้อข้างบนเข้าใจ ข้อนี้ก็ทำเหมือนกัน

    เริ่มทำกันเลยครับหาผลรวมของข้อมูลที่ผิดก่อนนะครับจะได้ ผมอาจจะเขียนไม่ละเอียดนะข้อนี้ ต้องอ่านข้อข้างบนให้เข้าใจก่อนครับเพราะข้อข้างบนผมเขียนละเอียด

    \(\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}=20\times 15=300\)

    ต่อไป

    ข้อมูลที่ถูกคือ 7 แต่อ่านผิดเป็น 11 แสดงว่าอ่านเกินไป 4

    ข้อมูลที่ถูกคือ 17 แต่อ่านผิดเป็น 11 แสดงว่าอ่านน้อยไป 6 

    ดังนั้นผลรวมของข้อมูลที่ถูกต้องคือ

    \(\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}=20\times 15=300-4+6=302\)

    นั่นคือค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่ถูกต้องคือ

    \(\bar{x}=\frac{302}{20}=15.1\)

    ต่อไปความแปรปรวนตอนอ่านข้อมูลผิดคือ \(9\) ลองเอาไปแทนค่าในสูตรความแปรปรวนดูครับ

    จากสูตรการหาความแปรปรวนคือ \(\sigma^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\bar{x}^{2}\)

    แทนค่าลงไปจะได้

    \begin{array}{lcl}9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}}{20}-15^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}&=&4680\end{array}

    ลองเอาผลรวมของกำลังสองของข้อมูลที่ผิดมากระจายดูจะได้ \(4680=4438+11^{2}+11^{2}\)

    ดังนั้นผลรวมของกำลังสองของข้อมูลที่ถูกคือ \(4438+7^{2}+17^{2}=4476\)

    ดังนั้นความแปรปรวนที่ถูกต้องคือ

    \begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}}{20}-\bar{x}^{2}\\&=&\frac{4476}{20}-15.1^{2}\\&=&10.79\end{array}

    ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนที่ถูกต้องคือ \(15.1\) และ \(10.79\) ตามลำดับ

    โจทย์มีอีกเยอะครับอยากลองทำเองไปดาวน์โหลดตามลิงค์นี้ครับแบบฝึกหัดการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาด

    สามารถศึกษาเกี่ยวกับโจทย์พวกความแปรปรวนจากลิงค์ต่อไปนี้

    เฉลย Pat 1 เรื่องโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

    การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานความแปรปรวนเมื่ออ่านข้อมูลผิด

    โจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

    แบบฝึกหัดการหาความแปรปรวนของข้อมูลหลายชุด

    แบบฝึกหัดการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาด

    ความแปรปรวน

  • ความแปรปรวน

    ความแปรปรวนของประชากร  (population variance)

        ความแปรปรวน คือ กำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน  ความแปรปรวนของประชากรที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ หาได้โดยใช้สูตร

    \begin{array}{lcl} \sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}\end{array}

    มีสองสูตรให้เลือกใช้ในครับใช้อันไหนก็ได้ครับ

    และความแปรปรวนของประชากรที่แจกแจงความถี่ หาได้จากสูตร

    \begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}\end{array}

    เมื่อ

    \(k\) แทนจำนวนอัตรภาคชั้น

    \(x_{i}\) แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)

    \(f_{i}\) แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)

    ความแปรปรวนของตัวอย่าง (sample vaviance)

       ความแปรปรวนของตัวอย่างทั้งกรณีไม่แจกแจงความถี่และแจกแจงความถี่ คือ กำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างในทั้งสองกรณีตามลำดับ

       ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวอย่าง คำนวณได้ดังนี้

    กรณีข้อมูลไม่แจกแจงความถี่

    \[s^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{X})^{2}}{n-1}\]

    หรือ

    \[s^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{X}^{2}}{n-1}\]

    กรณีข้อมูลแจกแจงความถี่

    \[s^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}(x_{i}-\bar{X})^{2}}{n-1}\]

    หรือ

    \[s^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}x_{i}^{2}-n\bar{X}^{2}}{n-1}\]

    โดยที่

    \(x_{i}\)  แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)

    \(f_{i}\) แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)

    \(\bar{X}\) แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง

    \(n\) แทนจำนวนตัวอย่างทั้งหมด \((n=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i})\)

    \(k\) แทนจำนวนอันตรภาคชั้นหรือจำนวนกลุ่ม

    เริ่มทำแบบฝึกหัดกันเลยดีกว่าครับแบบฝึกหัดไม่ยากนะครับแต่จะเน้นความเข้าใจและความรู้พื้นฐานครับ

    1. ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 4 คน ถ้าอายุของบิดา มารดา และบุตรทั้งสี่คน เป็น 45,  42,  20,  17,  16  และ 14  ปีตามลำดับ  จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุของสมาชิกทุกคนในครอบครัวนี้ และในอีก 5 ปีข้างหน้า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุสมาชิกทุกคนในครอบครัวนี้จะเป็นอย่างไร

    วิธีทำ

    อายุของคนในครอบครัวนี้เป็น 45,42,20,17,16,14  จะได้ว่า

    ค่าเฉลี่ยเลขคณิต \(=\frac{45+42+20+17+16+14}{6}=\frac{154}{6}=25.67 \quad ปี\)

    ต่อไปหาความแปรปรวนครับ ใช้สูตรนี้นะครับ เพราะข้อมูลที่เขาให้มาเป็นประชากรและเป็นข้อมูลแบบไม่แจกแจงความถี่ครับ

    \begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}}{6}-25.67^{2}\\&=&\frac{45^{2}+42^{2}+20^{2}+17^{2}+16^{2}+14^{2}}{6}-(25.67)^{2}\\&=&\frac{4930}{6}-658.9489\\&=&162.72\quad ปี^{2}\end{array}

    เนื่องจากความแปรปรวน

    \(\sigma^{2}=162.72\)

    ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน\(\quad(\sigma)\)

    \begin{array}{lc}\sqrt{\sigma^{2}}&=&\sqrt{162.72}\\\sigma&=&12.76 \quad ปี\end{array}

    นั่นคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ  12.76 ปี

    ในอีก 5 ปีข้างหน้า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุสมาชิกในครอบครัวนี้จะมีค่าเท่าเดินนะครับเพราะว่าข้อมูลของเราเป็นอายุมันจะเพิ่มขึ้นเท่าเดิมเสมอครับ

    2. ความแปรปรวนของน้ำหนักในรอบ 6 ปี ซึ่งมีนำหนัก 60,40,60,50,70 และ 80 กิโลกรัมตามลำดับเท่ากับกี่กิโลกรัม2

    วิธีทำ  ก่อนจะหาความแปรปรวมเราต้องหาค่าเฉลี่ยก่อน จะได้ค่าเฉลี่ยคือ

    \begin{array}{lcl}\overline{x}&=&\frac{60+40+60+50+70+80}{6}\\&=&\frac{360}{6}\\&=&60\end{array}

    ต่อไปให้เราหาตัวนี้ครับ \((x_{i}-\overline{x})^{2}\) ก็คือเอาข้อมูลก็คือน้ำหนักของแต่ละปีไปลบกับค่าเฉลี่ยแล้วยกกำลังสองจะได้ดังนี้

    \((60-60)^{2}=0^{2}=0\)

    \((40-60)^{2}=(-20)^{2}=400\)

    \((60-60)^{2}=0^{2}=0\)

    \((50-60)^{2}=(-10)^{2}=100\)

    \((70-60)^{2}=10^{2}=100\)

    \((80-60)^{2}=20^{2}=400\)

    ต่อไปเราจะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}(x_{i}-\overline{x})^{2}&=&0+400+0+100+100+400\\&=&1000\end{array}

    ดังนั้นเราจะได้ความแปรปรวนของน้ำหนักคือ

    \begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}(x_{i}-\overline{x})^{2}}{N}\\&=&\frac{1000}{6}\quad kg^{2}\end{array}


    3. ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีความแปรปรวนเป็น \(8+\sqrt{60}\)  แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ เริ่มทำกันเลย

    \begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&8+\sqrt{60}\\so\\S.D.&=&\sqrt{8+\sqrt{60}}\\&=&\sqrt{8+2\sqrt{15}}\\&=&\sqrt{5}+\sqrt{3}\end{array}


    4. จากการคำนวณอายุเฉลี่ยของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น 6 คน ได้เป็น 15 ปี ผลบวกกำลังสองของอายุแต่ละคนเป็น 1404 ปี ความแปรปรวนของอายุคน 6 คนนี้เป็นกี่ปี2

    วิธีทำ  จากโจทย์ได้ว่า

    \(\overline{x}=15\)

    \(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=1404\)

    ดังนั้น

    \begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-(\overline{x})^{2}\\&=&\frac{1404}{6}-15^{2}\\&=&9\end{array}

    สามารถศึกษาเกี่ยวกับโจทย์พวกความแปรปรวนจากลิงค์ต่อไปนี้

    เฉลย Pat 1 เรื่องโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

    การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานความแปรปรวนเมื่ออ่านข้อมูลผิด

    โจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

    แบบฝึกหัดการหาความแปรปรวนของข้อมูลหลายชุด

    แบบฝึกหัดการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาด

    ความแปรปรวน

  • เฉลย Pat 1 เรื่องโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

    วันนี้ผมจะพาทุกคนทำโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานครับ ซึ่งก่อนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือค่าที่แสดงถึงการกระจายของข้อมูลครับ ที่ส่วนเบียงเบนมากแสดงว่าข้อมูลมีการกระจายมาก แต่ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อยแสดงว่าข้อมูลมีการกระจายน้อยครับ  ซึ่งสูตรในการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้น สามารถแบ่งได้ดังนี้คือ

    1. สูตรสำหรับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานข้อมูลที่เป็นประชากร คือ

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}}\end{array}

    หรือ

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\end{array}

    เลือกใช้สูตรไหนก็ได้ครับขึ้นอยู่กับโจทย์ 

    เมื่อ \(\mu\)  คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร

    2. สูตรสำหรับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานข้อมูลที่เป็นกลุ่มตัวอย่าง คือ

    \begin{array}{lcl}s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}}\end{array}

    หรือ

    \begin{array}{lcl}s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2}}{n-1}}\end{array}

     เมื่อ \(\bar{x}\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง

    มาดูโจทย์กันเลยครับ

     1.ข้อมูลชุดหนึ่งมี 8  จำนวน  ผลรวมของข้อมูลทั้งหมดเท่ากับ  48  และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลมีค่าเท่ากับ  3  แล้วผลรวมของกำลังสองของข้อมูลมีค่าเท่าใด (360)

    วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ถามตรงๆเลยครับไม่ยาก  ก็คือถามหา \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}\)   ดังนั้นควรใช้สูตรนี้ครับ

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\end{array}

    เนื่องจากผลรวมข้อข้อมูลเท่ากับ 48 ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะหาได้คือ  \(\mu=\frac{48}{8}=6\)  แทนค่าทั้งหมดลงไปในสูตรด้านบนจะได้

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\\3&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}-6^{2}}\\9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}-36\\\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}&=&45\\\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}&=&360\end{array}

    ข้อนี้ตอบ 360 


    2.นักเรียน 2  คนสอบได้คะแนนเฉลี่ยเป็น  60  คะแนน  มีพิสัยเป็น  10  คะแนนแล้ว  ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนของนักเรียนทั้ง       2  คนมีค่าเท่าใด (5)

    วิธีทำ ข้อนี้ค่อยๆทำตามที่โจทย์บอกมาครับ ให้คะแนนสอบนักเรียนสองคนเรียงจากน้อยไปหามากเป็น a,b จากโจทย์จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\mu&=&\frac{a+b}{2}\\60&=&\frac{a+b}{2}\\a+b&=&120\quad \cdots (1)\end{array}

    พิสัยมีค่าเป็น 10 คะแนนดังนั้นจึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}b-a&=&10 \cdots (2)\end{array}

    นำ \( (2)+(1)\) จะได้ 

    \begin{array}{lcl}2b&=&130\\b&=&65\end{array}

    ดังนั้นจะได้ \(a=55\)   จึงว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนนักเรียนสองคนนี้คือ

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{N}}\\\sigma&=&\sqrt{\frac{(65-60)^{2}+(55-60)^{2}}{2}}\\\sigma&=&5\end{array}


    3. นักเรียน 2 คนสอบวิชาสถิติ  มีคะแนนเฉลี่ยเป็น  75  ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเป็น  10  แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของนักเรียนทั้งสองมีค่าเท่าใด (10)

    วิธีทำ ข้อนี้ก็ทำตามที่โจทย์บอกมาเลยครับ ให้ a,b เป็นคะแนนสอบนักเรียนที่เรียงจากน้อยไปมากจะได้

    \begin{array}{lcl}\mu&=&\frac{a+b}{2}\\75&=&\frac{a+b}{2}\\a+b&=&150\end{array}

    ดังนั้น \(b=150-a\)

    จากโจทย์บอกว่า ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 10  จากสูตรในการหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยคือ

    \begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}|x_{i}-\mu|}{N}\\จะได้\\10&=&\frac{|a-75|+|b-75|}{2}\\10&=&\frac{|a-75|+|150-a-75|}{2}\\|a-75|+|150-a-75|&=&20\\-(a-75)+150-a-75&=&20\\-2a+150&=&20\\-2a&=&-130\\a&=&65\end{array}

    ดังนั้น

    \(b=85\)

    เมื่อหา ค่าของ \(a,b\) ได้แล้วก็สามารถหาส่วนเบี่ยงเบนได้ครับจะได้

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{(a-75)^{2}+(b-75)^{2}}{2}}\\&=&\sqrt{\frac{(65-75)^{2}+(85-75)^{2}}{2}}\\&=&\sqrt{100}\\&=&10\end{array}


    4.ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงจากน้อยไปหามาก ดังนี้  a,3,5,7,b  ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 7 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ\(2\sqrt{10}\) แล้วค่าของ 2a+b เท่ากับเท่าใด  (ข้อ 40 Pat 1 มี.ค. 57)

    วิธีทำ ข้อนี้ทำตามที่โจทย์บอกเลยครับ โจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับ 7 นั่นคือ

    \begin{array}{lcl}\frac{a+3+5+7+b}{5}&=&7\\a+b+15&=&35\\a+b&=&20\end{array}

    ดังนั้นเราจะได้ว่า

    \(b=20-a\)

    และโจทย์บอกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาคือเท่า \(2\sqrt{10}\) ดังนั้นจะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}}\\2\sqrt{10}&=&\sqrt{\frac{(a-7)^{2}+(3-7)^{2}+(5-7)^{2}+(7-7)^{2}+(b-7)^{2}}{5}}\\40&=&\frac{(a-7)^{2}+(3-7)^{2}+(5-7)^{2}+(7-7)^{2}+(b-7)^{2}}{5}\\200&=&(a-7)^{2}+16+4+(20-a-7)^{2}\\200-20&=&(a-7)^{2}+(13-a)^{2}\\180&=&a^{2}-14a+49+169-26a+a^{2}\\180&=&2a^{2}-40a+218\\90&=&a^{2}-20a+109\\0&=&a^{2}-20a+19\\0&=&(a-1)(a-19)\\so\\a=1,a=19\end{array}

    แต่ต้องใช้ \(a=1\) นะครับเพราะว่า \(a\) ต้องน้อยกว่า 3 นะ ดูที่โจทย์เขาเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากคือ a,3,5,7,b

    นั่นคือ \(a=1\) จะได้ \(b=20-a=20-1=19\)

    นั่นคือ ค่าของ \(2a+b=2(1)+19=21\) นั่นเองครับ ไม่ยากเท่าไรนะ


    5.ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเท่ากับ 72 คะแนน ความแปรปรวน(ประชากร) เท่ากับ 600 ถ้ามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน ซึ่งสอบได้ 60 คะแนน ทำให้ค่าเฉลี่ยเปลี่ยนเป็น 70 คะแนน ความแปรปรวนของข้อมูลชุดใหม่เท่ากับเท่าใด

    (ข้อ 42 Pat1 มี.ค.53)

    วิธีทำ  ข้อนี้ถ้าใครคิดไม่ออกก็ค่อยๆดูเฉลยครับ ผมจะหาจำนวนคนที่เข้าสอบหรือก็คือหา N ก่อนนะครับ  เริ่มเลย

    ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเท่ากับ 72 คะแนนนั่นหมายความว่า

    \begin{array}{lcl}\frac{ผลรวมของคะแนนสอบ}{N}&=&72\\ผลรวมของคะแนนสอบ&=&72N\end{array}

    ถ้ามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน ซึ่งสอบได้ 60 คะแนน ทำให้ค่าเฉลี่ยเปลี่ยนเป็น 70 คะแนน  นั่นหมายความว่า

    \begin{array}{lcl}\frac{ผลรวมของคะแนนสอบเมื่อมาสอบเพิ่มอีกหนึ่งคน}{N+1}=70\\ผลรวมของคะแนนสอบเมื่อมาสอบเพิ่มอีกหนึ่งคน&=&70(N+1)\end{array}

    คนที่มาสอบเพิ่มอีก 1 คนทำคะแนนสอบได้ 60 คะแนน นั่นหมายความว่า

    \begin{array}{lcl}70(N+1)-72N&=&60\\70N+70-72N&=&60\\-2N&=&-10\\N&=&5\end{array}

    นั่นก็คือมีคนเข้าสอบทั้งหมด 5 คนนั่นเองครับ

    และโจทย์บอกอีกว่าตอนสอบไปครั้งแรกความแปรปรวนเท่ากับ 600 นั่นคือ

    \begin{array}{lcl}600&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{5}-72^{2}\\600+72^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=5}x_{i}^{2}}{5}\\5784\times 5&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}&=&28920\end{array}

    เก็บไว้ก่อนครับ ไปดูต่อ  ต่อไปโจทย์บอกว่ามีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนและให้หาความแปรปรวนหลังจากที่มีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนครับจะได้ความแปรปรวนหาได้ดังนี้คือ

    \begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}\\&=&\frac{28920+(60)^{2}}{6}-70^{2}\\&=&520\end{array}

    นั่นคือหลังจากที่มีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนทำให้ความแปรปรวนมีค่าเป็น 520


    6.ถ้าความยาวรัศมีของวงกลม 10 วง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 3 และมีความแปรปรวนเท่ากับ 5 แล้วผลรวมของพื้นที่วงกลมทั้ง 10 วงนี้มีค่าเท่าใด (Pat1 ก.ค.52 ข้อ 40)

    1.  \(90\pi\)
    2. \(95\pi\)
    3. \(140\pi\)
    4. \(340\pi\)

    วิธีทำ ข้อนีักำหนดให้ วงกลมแต่ละวงมีรัศมียาวเท่ากับ \(r_{i}\) ดงนั้นจะได้ว่าพื้นที่วงกลมทั้ง 10 วงคือ

    \begin{array}{lcl}\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+\pi r_{3}^{2}+...+\pi r_{i}^{2}+...+\pi r_{10}^{2}&=&\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+...r_{i}^{2}+...+r_{10}^{2})\\&=&\pi\displaystyle\sum_{i=1}^{10} r_{i}^{2}\quad (1)\end{array}

    เก็บสมการ \((1)\)ไว้ก่อนครับ ต่อไปโจทย์บอกว่าความแปรปรวนของรัศมีวงกลมนี้เท่ากับ 5 นั่นคือ จะได้

    \begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}-\mu^{2}\\5&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}-3^{2}\\5+9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}&=&140\end{array}

    เอาค่าที่ได้นี้ไปแทนในสมการที่ \(1\) จึงได้ว่าสมวงกลม 10 วงนี้มีพื้นที่เท่ากับ

    \(140\pi\) ตารางหน่วย นั่นเองครับ


    7. กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{11}\) เป็นข้อมูล 11 จำนวนซึ่งเรียงค่าจากน้อยไปมาก ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับมัธยฐาน และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 5.2 โดยที่ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}=42.8\) แล้ว \(\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (A-NET มี.ค.52 ข้อ 24)

    1. 1. 100
    2. 2. 114.28
    3. 3. 142.28
    4. 4. 157.20

    วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากแต่ต้องออกแรกเขียนเยอะหน่อยครับ ข้อนี้จากโจทย์จะได้ว่า มัธยฐานคือ \(x_{6}\) นั่นเอง ดังนั้นจะได้ว่า \(\bar{x}=x_{6}\) ทำต่อเลยครับเริ่มจากสิ่งที่โจทย์บอกนั่นแหละครับ

    \begin{array}{lcl}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{11}x_{i}}{11}&=&x_{6}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}\\42.8+\displaystyle\sum_{i=6}^{11}&=&11x_{6}\\\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8 \quad\cdots (1)\end{array}

    เก็บสมการ \((1)\) ไว้ก่อนครับ ต่อไปโจทย์บอกว่า \(M.D.=5.2\) นั่นก็คือ

    \begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{x}|}{n}\\5.2&=&\frac{|x_{1}-x_{6}|+|x_{2}-x_{6}|+\cdots +|x_{1}-x_{11}|}{11}\\5.2\times 11&=&-(x_{1}-x_{6})-(x_{2}-x_{6})-...-(x_{5}-x_{6})+(x_{6}-x_{6})+(x_{7}-x_{6})+...+(x_{11}-x_{6})\\57.2&=&-(x_{1}-x_{6})-(x_{2}-x_{6})-...-(x_{5}-x_{6})+0+(x_{7}-x_{6})+...+(x_{11}-x_{6})\\57.2&=&-\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+5x_{6}+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}-5x_{6}\\57.2&=&-42.8+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}\\\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}&=&100\quad \cdots (2)\end{array}

    จากสมการ \((1)\) คือ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\x_{6}+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\x_{6}+100&=&11x_{6}-42.8\\10x_{6}&=&142.8\\x_{6}&=&14.28\end{array}

    เริ่มหาคำตอบกันครับ โจทย์บอกให้หาค่า \(\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}\) 

    จากสมการที่ \((1)\) และค่าของ \(x_{6}\) ที่เราหาไว้แล้วเราก็จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\&=&11(14.28)-42.8\\&=&114.28\end{array}


    8. ลูกเต๋า 3 ลูก มีความยาวของด้านแต่ละลูกแตกต่างกัน ถ้านำลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกวางซ้อนกันจะสูง 6 เซนติเมตร และทาสีของลูกเต๋าทุกด้านและทุกลูกจะได้พื้นที่รวมกัน 84 ตารางเซนติเมตร แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความยาวของด้านของลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกมีค่าเท่าใด

    วิธีทำ  ให้ลูกเต๋าทั้ง 3 ลูก มีความยาวด้านเท่ากับ a,b และ c  ตามลำดับ

    โจทย์บอกว่า ถ้านำลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกวางซ้อนกันจะสูง 6 เซนติเมตร นั่นคือ  \[a+b+c=6\quad\cdots (1)\]

    โจทย์บอกอีกว่า ทาสีของลูกเต๋าทุกด้านและทุกลูกจะได้พื้นที่รวมกัน 84 ตารางเซนติเมตร ตรงนี้ถ้าใครเคยเห็นลูกเต๋า จะเห็นว่าลูกเต๋ามีทั้งหมด 6 หน้า และเราให้ลูกเต๋าลูกแรกมีความยาวด้านเท่ากับ \(a\) ดั้งนั้นเราสามารถหาพื้นที่หน้าลูกเต่าได้คือ 

    เอาด้าน คูณ  ด้าน  นั่นก็คือ \(a\times a\)  แต่ลูกเต๋ามันมี 6 หน้าดังนั้นพื้นที่ของลูกเต่าทั้งลูกคือ \(6a^{2}\) และอีกสองลูกที่เหลือก็ทำเหมือนกันก็จะมีพื้นที่เป็น \(6b^{2}\) และ \(6c^{2}\)  ตามลำดับ นั่นคือมีพื้นที่รวมกัน

    \begin{array}{lcl}6a^{2}+6b^{2}+6c^{2}&=&84\\6(a^{2}+b^{2}+c^{2})&=&84\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=&\frac{84}{6}\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=&14 \quad \cdots (2)\end{array}

    จากสมการที่สองเราสามารถเขียนใหม่ได้นะก็คือ \[\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}=14\]

    ดังนั้นจาก สมการที่ \((1)\) และ \((2)\) เราสามรถหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้แล้วครับ โดยหาจากสูตรนี้ครับ

    \[\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\]

    จากสูตรนะครับ จะเห็นว่า \(\mu\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากรในที่นี้ก็คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวด้านของลูกเต๋านั้นเองครับจะได้

    \[\mu=\frac{a+b+c}{3}=\frac{6}{3}=2\]

    เอาไปแทนค่าในสูตรส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{14}{3}-2^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{14}{3}-4}\\&=&\sqrt{\frac{14-12}{3}}\\&=&\sqrt{\frac{2}{3}}\quad\underline{Ans}\end{array}

  • โจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

    วันนี้ผมจะพาทุกคนทำโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานครับ ซึ่งก่อนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือค่าที่แสดงถึงการกระจายของข้อมูลครับ ที่ส่วนเบียงเบนมากแสดงว่าข้อมูลมีการกระจายมาก แต่ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อยแสดงว่าข้อมูลมีการกระจายน้อยครับ  ซึ่งสูตรในการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้น สามารถแบ่งได้ดังนี้คือ

    1. สูตรสำหรับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานข้อมูลที่เป็นประชากร คือ

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}}\end{array}

    หรือ

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\end{array}

    เลือกใช้สูตรไหนก็ได้ครับขึ้นอยู่กับโจทย์ 

    เมื่อ \(\mu\)  คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร

    2. สูตรสำหรับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานข้อมูลที่เป็นกลุ่มตัวอย่าง คือ

    \begin{array}{lcl}s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}}\end{array}

    หรือ

    \begin{array}{lcl}s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2}}{n-1}}\end{array}

     เมื่อ \(\bar{x}\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง

    มาดูโจทย์กันเลยครับ

     1.ข้อมูลชุดหนึ่งมี 8  จำนวน  ผลรวมของข้อมูลทั้งหมดเท่ากับ  48  และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลมีค่าเท่ากับ  3  แล้วผลรวมของกำลังสองของข้อมูลมีค่าเท่าใด (360)

    วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ถามตรงๆเลยครับไม่ยาก  ก็คือถามหา \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}\)   ดังนั้นควรใช้สูตรนี้ครับ

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\end{array}

    เนื่องจากผลรวมข้อข้อมูลเท่ากับ 48 ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะหาได้คือ  \(\mu=\frac{48}{8}=6\)  แทนค่าทั้งหมดลงไปในสูตรด้านบนจะได้

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\\3&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}-6^{2}}\\9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}-36\\\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}}{8}&=&45\\\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}&=&360\end{array}

    ข้อนี้ตอบ 360 


    2.นักเรียน 2  คนสอบได้คะแนนเฉลี่ยเป็น  60  คะแนน  มีพิสัยเป็น  10  คะแนนแล้ว  ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนของนักเรียนทั้ง       2  คนมีค่าเท่าใด (5)

    วิธีทำ ข้อนี้ค่อยๆทำตามที่โจทย์บอกมาครับ ให้คะแนนสอบนักเรียนสองคนเรียงจากน้อยไปหามากเป็น a,b จากโจทย์จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\mu&=&\frac{a+b}{2}\\60&=&\frac{a+b}{2}\\a+b&=&120\quad \cdots (1)\end{array}

    พิสัยมีค่าเป็น 10 คะแนนดังนั้นจึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}b-a&=&10 \cdots (2)\end{array}

    นำ \( (2)+(1)\) จะได้ 

    \begin{array}{lcl}2b&=&130\\b&=&65\end{array}

    ดังนั้นจะได้ \(a=55\)   จึงว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนนักเรียนสองคนนี้คือ

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{N}}\\\sigma&=&\sqrt{\frac{(65-60)^{2}+(55-60)^{2}}{2}}\\\sigma&=&5\end{array}


    3. นักเรียน 2 คนสอบวิชาสถิติ  มีคะแนนเฉลี่ยเป็น  75  ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเป็น  10  แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของนักเรียนทั้งสองมีค่าเท่าใด (10)

    วิธีทำ ข้อนี้ก็ทำตามที่โจทย์บอกมาเลยครับ ให้ a,b เป็นคะแนนสอบนักเรียนที่เรียงจากน้อยไปมากจะได้

    \begin{array}{lcl}\mu&=&\frac{a+b}{2}\\75&=&\frac{a+b}{2}\\a+b&=&150\end{array}

    ดังนั้น \(b=150-a\)

    จากโจทย์บอกว่า ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 10  จากสูตรในการหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยคือ

    \begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}|x_{i}-\mu|}{N}\\จะได้\\10&=&\frac{|a-75|+|b-75|}{2}\\10&=&\frac{|a-75|+|150-a-75|}{2}\\|a-75|+|150-a-75|&=&20\\-(a-75)+150-a-75&=&20\\-2a+150&=&20\\-2a&=&-130\\a&=&65\end{array}

    ดังนั้น

    \(b=85\)

    เมื่อหา ค่าของ \(a,b\) ได้แล้วก็สามารถหาส่วนเบี่ยงเบนได้ครับจะได้

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{(a-75)^{2}+(b-75)^{2}}{2}}\\&=&\sqrt{\frac{(65-75)^{2}+(85-75)^{2}}{2}}\\&=&\sqrt{100}\\&=&10\end{array}


    4.ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงจากน้อยไปหามาก ดังนี้  a,3,5,7,b  ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 7 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ\(2\sqrt{10}\) แล้วค่าของ 2a+b เท่ากับเท่าใด  (ข้อ 40 Pat 1 มี.ค. 57)

    วิธีทำ ข้อนี้ทำตามที่โจทย์บอกเลยครับ โจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับ 7 นั่นคือ

    \begin{array}{lcl}\frac{a+3+5+7+b}{5}&=&7\\a+b+15&=&35\\a+b&=&20\end{array}

    ดังนั้นเราจะได้ว่า

    \(b=20-a\)

    และโจทย์บอกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาคือเท่า \(2\sqrt{10}\) ดังนั้นจะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^{2}}{N}}\\2\sqrt{10}&=&\sqrt{\frac{(a-7)^{2}+(3-7)^{2}+(5-7)^{2}+(7-7)^{2}+(b-7)^{2}}{5}}\\40&=&\frac{(a-7)^{2}+(3-7)^{2}+(5-7)^{2}+(7-7)^{2}+(b-7)^{2}}{5}\\200&=&(a-7)^{2}+16+4+(20-a-7)^{2}\\200-20&=&(a-7)^{2}+(13-a)^{2}\\180&=&a^{2}-14a+49+169-26a+a^{2}\\180&=&2a^{2}-40a+218\\90&=&a^{2}-20a+109\\0&=&a^{2}-20a+19\\0&=&(a-1)(a-19)\\so\\a=1,a=19\end{array}

    แต่ต้องใช้ \(a=1\) นะครับเพราะว่า \(a\) ต้องน้อยกว่า 3 นะ ดูที่โจทย์เขาเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากคือ a,3,5,7,b

    นั่นคือ \(a=1\) จะได้ \(b=20-a=20-1=19\)

    นั่นคือ ค่าของ \(2a+b=2(1)+19=21\) นั่นเองครับ ไม่ยากเท่าไรนะ


    5.ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเท่ากับ 72 คะแนน ความแปรปรวน(ประชากร) เท่ากับ 600 ถ้ามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน ซึ่งสอบได้ 60 คะแนน ทำให้ค่าเฉลี่ยเปลี่ยนเป็น 70 คะแนน ความแปรปรวนของข้อมูลชุดใหม่เท่ากับเท่าใด

    (ข้อ 42 Pat1 มี.ค.53)

    วิธีทำ  ข้อนี้ถ้าใครคิดไม่ออกก็ค่อยๆดูเฉลยครับ ผมจะหาจำนวนคนที่เข้าสอบหรือก็คือหา N ก่อนนะครับ  เริ่มเลย

    ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเท่ากับ 72 คะแนนนั่นหมายความว่า

    \begin{array}{lcl}\frac{ผลรวมของคะแนนสอบ}{N}&=&72\\ผลรวมของคะแนนสอบ&=&72N\end{array}

    ถ้ามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน ซึ่งสอบได้ 60 คะแนน ทำให้ค่าเฉลี่ยเปลี่ยนเป็น 70 คะแนน  นั่นหมายความว่า

    \begin{array}{lcl}\frac{ผลรวมของคะแนนสอบเมื่อมาสอบเพิ่มอีกหนึ่งคน}{N+1}=70\\ผลรวมของคะแนนสอบเมื่อมาสอบเพิ่มอีกหนึ่งคน&=&70(N+1)\end{array}

    คนที่มาสอบเพิ่มอีก 1 คนทำคะแนนสอบได้ 60 คะแนน นั่นหมายความว่า

    \begin{array}{lcl}70(N+1)-72N&=&60\\70N+70-72N&=&60\\-2N&=&-10\\N&=&5\end{array}

    นั่นก็คือมีคนเข้าสอบทั้งหมด 5 คนนั่นเองครับ

    และโจทย์บอกอีกว่าตอนสอบไปครั้งแรกความแปรปรวนเท่ากับ 600 นั่นคือ

    \begin{array}{lcl}600&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{5}-72^{2}\\600+72^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=5}x_{i}^{2}}{5}\\5784\times 5&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}&=&28920\end{array}

    เก็บไว้ก่อนครับ ไปดูต่อ  ต่อไปโจทย์บอกว่ามีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนและให้หาความแปรปรวนหลังจากที่มีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนครับจะได้ความแปรปรวนหาได้ดังนี้คือ

    \begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}\\&=&\frac{28920+(60)^{2}}{6}-70^{2}\\&=&520\end{array}

    นั่นคือหลังจากที่มีคนมาสอบเพิ่มอีก 1 คนทำให้ความแปรปรวนมีค่าเป็น 520


    6.ถ้าความยาวรัศมีของวงกลม 10 วง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 3 และมีความแปรปรวนเท่ากับ 5 แล้วผลรวมของพื้นที่วงกลมทั้ง 10 วงนี้มีค่าเท่าใด (Pat1 ก.ค.52 ข้อ 40)

    1.  \(90\pi\)
    2. \(95\pi\)
    3. \(140\pi\)
    4. \(340\pi\)

    วิธีทำ ข้อนีักำหนดให้ วงกลมแต่ละวงมีรัศมียาวเท่ากับ \(r_{i}\) ดงนั้นจะได้ว่าพื้นที่วงกลมทั้ง 10 วงคือ

    \begin{array}{lcl}\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+\pi r_{3}^{2}+...+\pi r_{i}^{2}+...+\pi r_{10}^{2}&=&\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+...r_{i}^{2}+...+r_{10}^{2})\\&=&\pi\displaystyle\sum_{i=1}^{10} r_{i}^{2}\quad (1)\end{array}

    เก็บสมการ \((1)\)ไว้ก่อนครับ ต่อไปโจทย์บอกว่าความแปรปรวนของรัศมีวงกลมนี้เท่ากับ 5 นั่นคือ จะได้

    \begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}-\mu^{2}\\5&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}-3^{2}\\5+9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}}{10}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}r_{i}^{2}&=&140\end{array}

    เอาค่าที่ได้นี้ไปแทนในสมการที่ \(1\) จึงได้ว่าสมวงกลม 10 วงนี้มีพื้นที่เท่ากับ

    \(140\pi\) ตารางหน่วย นั่นเองครับ


    7. กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{11}\) เป็นข้อมูล 11 จำนวนซึ่งเรียงค่าจากน้อยไปมาก ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับมัธยฐาน และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 5.2 โดยที่ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}=42.8\) แล้ว \(\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (A-NET มี.ค.52 ข้อ 24)

    1. 100

    2. 114.28

    3. 142.28

    4. 157.20

    วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากแต่ต้องออกแรกเขียนเยอะหน่อยครับ ข้อนี้จากโจทย์จะได้ว่า มัธยฐานคือ \(x_{6}\) นั่นเอง ดังนั้นจะได้ว่า \(\bar{x}=x_{6}\) ทำต่อเลยครับเริ่มจากสิ่งที่โจทย์บอกนั่นแหละครับ

    \begin{array}{lcl}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{11}x_{i}}{11}&=&x_{6}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}\\42.8+\displaystyle\sum_{i=6}^{11}&=&11x_{6}\\\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8 \quad\cdots (1)\end{array}

    เก็บสมการ \((1)\) ไว้ก่อนครับ ต่อไปโจทย์บอกว่า \(M.D.=5.2\) นั่นก็คือ

    \begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{x}|}{n}\\5.2&=&\frac{|x_{1}-x_{6}|+|x_{2}-x_{6}|+\cdots +|x_{1}-x_{11}|}{11}\\5.2\times 11&=&-(x_{1}-x_{6})-(x_{2}-x_{6})-...-(x_{5}-x_{6})+(x_{6}-x_{6})+(x_{7}-x_{6})+...+(x_{11}-x_{6})\\57.2&=&-(x_{1}-x_{6})-(x_{2}-x_{6})-...-(x_{5}-x_{6})+0+(x_{7}-x_{6})+...+(x_{11}-x_{6})\\57.2&=&-\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+5x_{6}+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}-5x_{6}\\57.2&=&-42.8+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}\\\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}&=&100\quad \cdots (2)\end{array}

    จากสมการ \((1)\) คือ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\x_{6}+\displaystyle\sum_{i=7}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\x_{6}+100&=&11x_{6}-42.8\\10x_{6}&=&142.8\\x_{6}&=&14.28\end{array}

    เริ่มหาคำตอบกันครับ โจทย์บอกให้หาค่า \(\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}\) 

    จากสมการที่ \((1)\) และค่าของ \(x_{6}\) ที่เราหาไว้แล้วเราก็จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=6}^{11}x_{i}&=&11x_{6}-42.8\\&=&11(14.28)-42.8\\&=&114.28\end{array}


    8. ลูกเต๋า 3 ลูก มีความยาวของด้านแต่ละลูกแตกต่างกัน ถ้านำลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกวางซ้อนกันจะสูง 6 เซนติเมตร และทาสีของลูกเต๋าทุกด้านและทุกลูกจะได้พื้นที่รวมกัน 84 ตารางเซนติเมตร แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความยาวของด้านของลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกมีค่าเท่าใด

    วิธีทำ  ให้ลูกเต๋าทั้ง 3 ลูก มีความยาวด้านเท่ากับ a,b และ c  ตามลำดับ

    โจทย์บอกว่า ถ้านำลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกวางซ้อนกันจะสูง 6 เซนติเมตร นั่นคือ  \[a+b+c=6\quad\cdots (1)\]

    โจทย์บอกอีกว่า ทาสีของลูกเต๋าทุกด้านและทุกลูกจะได้พื้นที่รวมกัน 84 ตารางเซนติเมตร ตรงนี้ถ้าใครเคยเห็นลูกเต๋า จะเห็นว่าลูกเต๋ามีทั้งหมด 6 หน้า และเราให้ลูกเต๋าลูกแรกมีความยาวด้านเท่ากับ \(a\) ดั้งนั้นเราสามารถหาพื้นที่หน้าลูกเต่าได้คือ 

    เอาด้าน คูณ  ด้าน  นั่นก็คือ \(a\times a\)  แต่ลูกเต๋ามันมี 6 หน้าดังนั้นพื้นที่ของลูกเต่าทั้งลูกคือ \(6a^{2}\) และอีกสองลูกที่เหลือก็ทำเหมือนกันก็จะมีพื้นที่เป็น \(6b^{2}\) และ \(6c^{2}\)  ตามลำดับ นั่นคือมีพื้นที่รวมกัน

    \begin{array}{lcl}6a^{2}+6b^{2}+6c^{2}&=&84\\6(a^{2}+b^{2}+c^{2})&=&84\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=&\frac{84}{6}\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=&14 \quad \cdots (2)\end{array}

    จากสมการที่สองเราสามารถเขียนใหม่ได้นะก็คือ \[\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}=14\]

    ดังนั้นจาก สมการที่ \((1)\) และ \((2)\) เราสามรถหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้แล้วครับ โดยหาจากสูตรนี้ครับ

    \[\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}}\]

    จากสูตรนะครับ จะเห็นว่า \(\mu\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากรในที่นี้ก็คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวด้านของลูกเต๋านั้นเองครับจะได้

    \[\mu=\frac{a+b+c}{3}=\frac{6}{3}=2\]

    เอาไปแทนค่าในสูตรส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเลยครับ

    \begin{array}{lcl}\sigma&=&\sqrt{\frac{14}{3}-2^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{14}{3}-4}\\&=&\sqrt{\frac{14-12}{3}}\\&=&\sqrt{\frac{2}{3}}\quad\underline{Ans}\end{array}


    แบบฝึกหัดมาเสริมครับ เป็นแบบฝึกหัดที่เกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นโจทย์ที่เกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าเฉลี่ยเลขคณิต โจทย์อาจจะยากนะคับต้องตั้งใจอ่านนิดหนึ่ง

    9.ให้ \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{5}\) เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 6 ถ้า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}=30\) จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้

    วิธีทำ เราก็หาคำตอบจากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้นั่นแหละครับ โจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับกับ 6 นั่นก็คือ

    \(\bar{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}}{5}=6\quad\cdots  (1)\)

    จากสมการที่\((1)\) จะได้ว่า

    \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}=30\quad\cdots  (2)\)

    และโจทย์ยังให้อันนี้เรามาอีกก็คือ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}=30\) เราเอาอันนี้มากระจายจะได้

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}^{2}-8x_{i}+16)&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-8\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{5}16&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-8(30)+(16)(5)&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}&=&190\end{array}

    สิ่งที่เราหามาข้างบนก็เพื่อนำมาแทนค่าในสูตรของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานก็คือสูตรนี้

    \[S.D.=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\]

    ทำต่อเลยคับจะได้

    \begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{190}{5}-6^{2}}\\&=&\sqrt{2}\quad\underline{Ans}\end{array}


    10. ถ้า \(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{10}\) เป็นข้อมูลชุดหนึ่งซึ่ง \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับ \(M^{2}\) เมื่อ \(M=15\)  จงหาค่าของ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2x_{i}+5)\) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้

    วิธีทำ สิ่งที่เราต้องรู้ข้อนี้ก็คือสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตก็คือ ถ้า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าน้อยที่สุดแล้ว เราจะได้ว่า \(M\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต นั่นก็คือ

    \[\bar{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}}{10}=M=15\quad\cdot (1)\]

    จากสมการที่ \((1)\) เราจึงได้ว่า

    \[\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=10\times 15=150\quad\cdots (2)\]

    ต่อไปโจทย์บอกว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าเท่ากับ \(M^{2}\) ดังนั้นจะได้สมการนี้ออกมาคือ

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}&=&M^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-15)^{2}&=&15^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}^{2}-30x_{i}+225)&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-30\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{10}225&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-30(150)+(225)(10)&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}&=&2475\end{array}

    ตอนนี้เราได้ค่าต่างๆที่คำนวณมา ดังต่อไปนี้

    \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=150\)

    \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=2475\)

    \(\bar{X}=15\) 

    เรานำค่าที่เราได้มานี้มาคำนวณหาคำตอบกันเลยครับจะได้ดังนี้

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2x_{i}+5)&=&2\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{10}5\\&=&2(150)+(5)(10)\\&=&300+50\\&=&350\quad\underline{Ans}\end{array}

    ต่อไปหา ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

    \begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{2475}{10}-15^{2}}\\&=&\sqrt{22.5}\quad\underline{Ans}\end{array}


    11. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็น 8 และ 3 ตามลำดับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\) เป็น 10 และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=567\)  จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\)

    วิธีทำ ข้อนี้เริ่มทำที่โจทย์บอกว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{1},x_{2},x_{3}\) มีค่าเท่ากับ 3  เราจะได้ดังนี้คือ

    \begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\3&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{3}-(8)^{2}}\\9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{3}-64\\\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}&=&219\quad\cdots (1)\end{array}

    และโจทย์บอกอีกว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=567\) จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=4}^{6}x_{i}^{2}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}\\&=&567-219\\&=&384\quad\cdots (2)\end{array}

    จากสมการที่ \((1),(2)\) เราสามารถนำไปหาคำตอบได้แล้ว ก็คือ โจทย์ให้หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\) จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=4}^{6}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{384}{3}-10^{2}}\\&=&\sqrt{28}\quad\underline{Ans}\end{array}


    12.ในการสอบสัมภาษณ์นักเรียน 3 คน ปรากฎว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 53  มัธยฐานเท่ากับ 50 และพิสัยเท่ากับ 21 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยในการสอบครั้งนี้เป็นเท่าใด

    วิธีทำ กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็นข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามาก ดังนั้นจึงได้ว่า \(x_{2}=50\)

    และโจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 53 จึงได้ว่า

    \begin{array}{lcl}\frac{x_{1}+50+x_{3}}{3}&=&53\\x_{1}+x_{3}&=&159-50\\x_{1}+x_{3}&=&109\quad\cdots (1)\end{array}

    และโจทย์ยังบอกอีกว่าพิสัยเท่ากับ 21 จึงได้ว่า

    \(x_{3}-x_{1}=21\quad\cdots (2)\)

    ต่อไปเพื่อจะหาค่าของ \(x_{1}\) กับ \(x_{3}\) ต้องเอาสมการที่ \((1)+(2)\) จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}(x_{1}+x_{3})+(x_{3}-x_{1})&=&109+21\\x_{3}&=&65\end{array}

    และแทนค่า \(x_{3}=65\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า \(x_{1}=44\)

    ต่อไปเราต้องหาค่าพวกนี้ก่อน \(|x_{i}-\bar{X}|\) จะได้ว่า

    \(|44-53|=9\)

    \(|50-53|=3\)

    \(|65-53|=12\)

    ดังนั้น \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|=9+3+12=24\)

    ต่อไปหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเลยคับผม

    \begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|}{N}\\&=&\frac{9+3+12}{3}\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}


    13. ข้อมูลชุดหนึ่งมี N ตัว มี 1 อยู่ \(X\%\) นอกนั้นเป็น \(0\) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด

    วิธีทำ  การทำข้อนี้เดี๋ยวผมจะยกตัวอย่างให้ดูแบบนี้นะคับ สมมติผมมีข้อมูลแบบนี้คือ

    \(1,1,1,1,0,0,0,0,0,0\)

    จากข้อมูลที่กำหนดให้จะเห็นว่ามีข้อมูล 1 อยู่ \(40\%\)  และได้ว่า

    \(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}=\frac{4}{10}=\frac{40}{100}\)

    \(\bar{X}=\frac{4}{10}=\frac{40}{100}\)

    ดังนั้นเราจะได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลนี้เท่ากับ

    \begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{40}{100}-(\frac{40}{100})^{2}}\end{array}

    พอเห็นตัวอย่างข้างบนนี้หลายคนน่าจะมองเห็นวิธีการตอบของข้อนี้แล้วนะคับ ว่าจะตอบอย่างไร

    ดังนั้นข้อนี้เขาบอกว่ามีข้อมูล 1 อยู่ \(X\%\) จึงทำให้ได้ว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ

    \begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{X}{100}-(\frac{X}{100})^{2}}\end{array}

    สามารถศึกษาเกี่ยวกับโจทย์พวกความแปรปรวนจากลิงค์ต่อไปนี้

    เฉลย Pat 1 เรื่องโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

    การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานความแปรปรวนเมื่ออ่านข้อมูลผิด

    โจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

    แบบฝึกหัดการหาความแปรปรวนของข้อมูลหลายชุด

    แบบฝึกหัดการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาด

    ความแปรปรวน